基于流固耦合的单一裂隙浆液扩散规律研究

王东亮，郝兵元，梁晓敏

( 太原理工大学 矿业工程学院，山西 太原 030024 )

在岩体中常分布有节理、裂隙等软弱结构面，严重威胁着结构的稳定性[1]。裂隙注浆是指通过一定的外界压力将浆液注入到裂隙岩体中，使破碎的岩体形成一个完整的整体，从而改善岩体结构的力学性能[2]。目前注浆加固工程已经得到了广泛的应用，但由于注浆工程的隐蔽性，注浆理论的发展则远滞后于工程实践，注浆工程尤其是裂隙注浆仍缺乏科学的理论指导。浆液在裂隙中最终扩散距离以及注浆对岩体结构的影响难以查明；注浆参数的确定、注浆工程的设计很大程度上依赖施工经验，这些问题都严重制约着注浆理论的发展。

为解决这些问题，相关学者针对裂隙注浆浆液扩散规律展开了深入研究。王强[3]等基于宾汉流体渗流模型，推导出裂隙注浆中注浆量计算公式；张凯文[4]利用可视化裂隙注浆模型，研究了不同注浆因素下浆液的流动规律；C BAKER[5]等基于牛顿流体流变方程，建立了浆液在裂隙中的扩散方程。然而，在以上研究中，虽然探究了浆液在裂隙中的扩散规律，但均未考虑注浆对岩体结构的影响。在实际注浆工程中，往往存在着流固耦合效应，浆液压力会使得围岩体进行应力重分布，进而引起裂隙的变形，裂隙的变形又将影响浆液的流动[6]。

为此，基于幂律流体的本构方程，推导出幂律流体的浆液扩散方程。并考虑围岩应力场和浆液流体场的双向耦合，运用数值模拟软件，建立考虑流固耦合作用的单一裂隙注浆模型，分析了注浆压力、浆液密度、裂隙开度等因素对浆液扩散和裂隙变形的影响。希望本研究能对裂隙注浆理论和工程实践提供一定的借鉴。

1 浆液扩散理论模型

1.1 基本假设

( 1 ) 浆液为均质且各向同性的幂律流体。

( 2 ) 浆液不可压缩，其流动过程满足连续性方程。

( 3 ) 浆液流动过程不受重力及地下水的影响。

( 4 ) 裂隙岩体为弹性体，其变形为弹性变形。

1.2 模型简化

在实际岩体中，裂隙两表面往往不是平行的，由于地应力的作用，裂隙表面只有部分面积是贴合的，其他部分两表面则处于分离状态[7]。浆液进入裂隙后，首先对裂隙中的未接触部分进行充填，随着注浆过程的持续，浆液压力不断增大，浆液将逐渐承担裂隙两侧岩体的部分压力，而裂隙接触部分所受的压力因逐渐转移给浆液而减小，这时将进行应力重分布。随着浆液压力的不断增大，裂隙接触部分的法向应力减小为0，这时为裂隙变形的临界阶段[8]。若浆液压力持续增大，浆液将对裂隙表面的岩体施加压力，接触部分将逐渐分离，裂隙发生变形，裂隙开度变大[9]。

但由于裂隙两侧表面接触部分很少，且计算此部分的裂隙变形极为复杂，因此为计算方便，可将裂隙简化为两侧表面平行的平行板进行计算研究，简化模型如图1所示。

图1 裂隙简化模型Fig.1 Fracture simplified model

因平行板裂隙模型是轴对称的，且浆液流动过程中所有作用力也是对称的，因此可将裂隙模型简化为二维对称模型[10]进行研究，如图2所示。

图2 浆液流动计算模型Fig.2 Calculation model of slurry flow

1.3 基本方程

( 1 ) 流变方程

阮文军[11]的研究成果表明，水泥浆液在低水灰比( 0.5～0.7 )时可视为幂律流体，中等水灰比( 0.7～1.0 )时可视为宾汉流体，高水灰比( 大于1.0 )时可视为牛顿流体。由于注浆时用的水泥浆液水灰比都比较低，因此将注浆浆液视为幂律流体进行研究。幂律流体的基本流变方程为

式中，τ为剪切应力；K为稠度系数；γ为流体剪切速率；n为流体流变系数。

式( 1 )中，流体剪切速率γ表示剪切应力产生的速度变化率，其表达式为

其中，v为流体流速，则式( 1 )可改写为

( 2 ) 运动方程

为研究流固耦合作用下浆液的扩散规律，需要准确表述水泥浆液在裂隙中流动的所有细节，因此采用N-S方程作为浆液扩散的运动方程[12]。N-S方程是建立在动量守恒基础上的，其表达式为

( 3 ) 连续性方程

由于浆液的流动过程是连续的，因此其流动满足连续性方程[13-14]。因为假定浆液在流动过程中不可压缩，因此连续性方程是建立在质量守恒基础上的，其表达式为

( 4 ) 耦合控制方程

当浆液压力小于裂隙变形的临界压力时，裂隙宽度不变。随着浆液压力的不断增大，其值将大于裂隙变形的临界压力，此时裂隙将会发生变形，宽度增大[10]。流固耦合的过程也就是裂隙变形的过程，其控制方程为

式中，b为裂隙宽度；b0为初始裂隙宽度；p为浆液压力；p1为裂隙变形的临界压力；kn为弹性系数，kn＝D/E，D为注浆的影响范围，E为裂隙岩体的弹性模量。

1.4 浆液扩散方程

张凯文[4]的研究成果表明，幂律流体在裂隙中的流动满足质量守恒，且其流动沿y方向有一个压降，由图2可知

式中，ΔP为流体压力变化量；dL为所取流体微元沿x轴的长度。

流体压力变化ΔP的表达式为

由式( 6 )和式( 7 )可知，剪切应力满足

为方便计算，可引入符号A代表浆液压力在y方向变化，即

根据广义幂律流体的本构方程即式( 2 )，有

式中，C1为常数。

由于在裂隙表面处流体流速为0，即y＝b，v＝0，将此边界条件代入式( 11 )，得

则，式( 11 )可改写为

对式( 12 )进行积分可得裂隙内流体的平均流速为

在t时刻浆液的单位流量为

式中，q为浆液单位流量；x为t时刻的浆液扩散半径。

将式( 9 )代入式( 15 )，可得

对式( 16 )进行积分，可得浆液压力的表达式为

由于在初始时刻t＝0时，x＝r0，P＝Pc，将此边界条件代入式( 17 )，得

式中，r0为注浆孔半径；Pc为注浆压力。

将式( 18 )代入式( 17 )，可得浆液压力与浆液扩散半径的关系式为

式( 19 )即为幂律流体的浆液扩散方程。

2 不同注浆因素对浆液扩散范围的影响

2.1 工况设计

影响浆液扩散及裂隙变形的因素很多，总体可分为3方面因素[15-16]：浆液因素、裂隙因素、注浆工艺因素。浆液因素主要包括注浆材料、水灰比、浆液密度等；裂隙因素主要包括裂隙产状、粗糙度、张开度等；注浆工艺因素主要包括注浆孔径、注浆压力等[17]。为方便研究，本文从3方面因素中各选取一个代表性因素进行研究。

浆液因素方面，选取浆液密度作为代表性影响因素。由于裂隙注浆所采用浆液多为水泥浆液[18]，且其水灰比通常较小、密度较大。因此选择浆液密度分别为1 400，1 600，1 800 kg/m3三个梯度进行研究。裂隙因素方面，选取裂隙开度作为代表性影响因素。王强[3]的研究成果表明，裂隙开度小于1 mm时为闭合裂隙，裂隙开度为1～3 mm时为微张裂隙，裂隙开度为3～5 mm时为张开裂隙，裂隙开度大于5 mm时为宽张裂隙[19]。本文主要研究闭合裂隙和微张裂隙，选择裂隙开度分别为0.5，1.0，1.5 mm三个梯度进行研究。注浆工艺因素方面，选取注浆压力作为代表性影响因素。选择注浆压力分别为1，3，5 MPa三个梯度进行研究。具体工况设计见表1。

表1 工况设计Table 1 Working condition design

2.2 浆液扩散范围的影响因素

( 1 ) 注浆压力对浆液扩散范围的影响

为研究注浆压力对浆液扩散范围的影响，选取工况1、工况2和工况3进行模拟研究，控制注浆压力为惟一变量，利用COMSOL Multiphysics模拟软件的流-固耦合模块，根据简化后的理论模型( 图1 )，建立两侧平行的单一裂隙模型。岩体模型尺寸为10 m×10 m×10 m，注浆孔直径为25 mm，裂隙开度根据工况设计，裂隙上下边界为无滑移边界，注浆孔口处为定压力边界，对以上3个工况下的浆液扩散进行模拟研究。

不同注浆压力作用下浆液在裂隙内扩散20 min时的形态如图3所示，浆液随时间的扩散范围如图4所示。

图3 不同注浆压力下浆液扩散形态Fig.3 Morphology of slurry spreading under different grouting pressures

图4 不同注浆压力下浆液扩散范围Fig.4 Slurry spreading range under different grouting pressures

由图3和4可知：在不同注浆压力作用下，随着注浆时间的持续，浆液扩散范围在逐渐增大。扩散速率前期较快，然后随时间逐渐减慢。注浆压力为1 MPa时，在开始的1.4 min内，浆液在裂隙内并未扩散开，在1.4 min后浆液才逐渐开始扩散，分析原因可能是数值模拟中裂隙上下边界为无滑移边界，即浆液在裂隙壁面上速度为0[20-21]，故在刚开始注浆时，注浆量较小，浆液可能黏滞于裂隙壁面上，浆液流动较慢，后随着时间的延续，浆液流入量增大，在注浆压力的作用下，浆液逐渐克服其黏滞性阻力而快速流动。相同时间下，浆液扩散范围随注浆压力的增大而增大。注浆压力为1 MPa时，浆液扩散20 min的扩散半径为1.37 m；注浆压力为3 MPa时，浆液扩散20 min的扩散半径为2.39 m，相比于工况1注浆压力增加值为2 MPa，增幅为200%，浆液扩散半径增加值为1.02 m，增幅为74.45%；注浆压力为5 MPa时，浆液扩散20 min的扩散半径为3.03 m，相比于工况2 注浆压力增加值为2 MPa，增幅为66.67%，浆液扩散半径增加值为0.64 m，增幅为26.78%。为更清晰地反映不同因素对浆液扩散的影响，现定义影响指数公式为

式中，f 为影响指数，其绝对值越大，说明变量对浆液扩散范围的影响越大；n1，n2分别为影响因素的第2个取值相比第1个取值的增幅，影响因素的第3个取值相比第2个取值的增幅；m1，m2分别为影响因素在第2个取值下相比第1个取值浆液扩散范围的增幅，影响因素在第3个取值下相比第2个取值浆液扩散范围的增幅。

将n1＝200%，n2＝66.67%，m1＝74.45%，m2＝26.78%代入式( 20 )得影响指数 f＝0.39，可知浆液扩散范围与注浆压力正相关。

( 2 ) 浆液密度对浆液扩散范围的影响

选取工况2、工况4和工况5进行模拟研究，控制浆液密度为惟一变量。

不同浆液密度下浆液在裂隙内扩散20 min时的形态如图5所示，浆液随时间的扩散范围如图6所示。

图5 不同浆液密度下浆液扩散形态Fig.5 Slurry spreading morphology under different slurry density

图6 不同浆液密度下浆液扩散范围Fig.6 Slurry spreading range under different slurry densities

由图5和6可知：在不同浆液密度下，随着注浆时间的持续，浆液扩散范围在逐渐增大。扩散速率前期较快，然后随时间逐渐减慢。

将图5和6的模拟结果，n1＝14.29%，n2＝12.5%，m1＝-0.83%，m2＝-0.84%代入式( 20 )，得影响指数f＝-0.06，可知浆液扩散范围与浆液密度负相关，但其相关性极小，即浆液密度对浆液扩散范围的影响极小。

( 3 ) 裂隙开度对浆液扩散范围的影响

选取工况2、工况6和工况7进行模拟研究，控制裂隙开度为惟一变量。

不同裂隙开度下浆液在裂隙内扩散20 min时的形态如图7所示，浆液随时间的扩散范围如图8所示。

图7 不同裂隙开度下浆液扩散形态Fig.7 Slurry spreading morphology under different crack openings

图8 不同裂隙开度下浆液扩散范围Fig.8 Slurry spreading range under different crack openings

由图7和8可知：在不同裂隙开度下，随着注浆时间的持续，浆液扩散范围在逐渐增大。扩散速率前期较快，然后随时间逐渐减慢。相同时间下，浆液扩散范围随裂隙开度的增大而增大。

将图7和8的模拟结果，n1＝100%，n2＝50%，m1=7.24%，m2＝25.52%代入式( 20 )，得影响指数 f＝0.54，可知在闭合裂隙和微张裂隙中，浆液扩散范围与裂隙开度正相关。

由上述分析可知，各因素对浆液扩散范围的影响程度为：裂隙开度＞注浆压力＞浆液密度。

3 不同注浆因素对裂隙变形的影响

3.1 注浆压力对裂隙变形的影响

为研究注浆压力对裂隙变形的影响，根据第2节建立的模型，选取工况1～3进行模拟研究，控制注浆压力为惟一变量。不同注浆压力作用下浆液在裂隙内扩散20 min时裂隙的变形形态如图9所示，裂隙内不同位置处的( 法向 )变形量如图10所示。

图9 不同注浆压力下裂隙变形形态Fig.9 Crack deformation morphology under different grouting pressures

图10 不同注浆压力下裂隙变形量Fig.10 Crack deformation under different grouting pressures

由图9和10可知：在不同注浆压力作用下，注浆 孔口处裂隙变形量最大，随着距离的增大，裂隙变形量逐渐减小，分析原因可能是因为浆液压力在孔口处最大，致使裂隙产生较大变形，随着距离的增大，浆液压力逐渐减小致使裂隙变形量减小。相同位置处，裂隙变形量随注浆压力的增大而增大。不同注浆压力下的裂隙变形量差值在注浆孔口处最大，随着距离增大而不断减小，在距离注浆孔口4.6 m处差值接近于0。注浆压力为1 MPa时，浆液扩散20 min时裂隙最大变形量为0.021 6 mm；注浆压力为3 MPa时，浆液扩散20 min时裂隙最大变形量为0.089 1 mm，相比于工况1注浆压力增加值为2 MPa，增幅为200% ，裂隙最大变形量增加值为0.067 5 mm，增幅为312.5%；注浆压力为5 MPa时，浆液扩散20 min时裂隙最大变形量为0.178 3 mm，相比于工况2注浆压力增加值为2 MPa，增幅为66.67%，裂隙最大变形量增加值为0.089 2 mm，增幅为100.11% 。

为确定各因素对裂隙变形的影响，对式( 20 )各符号代表的含义重新定义： f为影响指数，其绝对值越大，说明变量对裂隙变形的影响越大；n1，n2分别为影响因素的第2个取值相比第1个取值的增幅，影响因素的第3个取值相比第2个取值的增幅；m1，m2分别为影响因素在第2个取值下相比第1个取值裂隙最大变形量的增幅，影响因素在第3个取值下相比第2个取值裂隙最大变形量的增幅。将n1＝200%，n2＝66.67%，m1＝312.5%，m2＝100.11%代入重新定义后的式( 20 )，得影响指数 f＝1.53，可知裂隙最大变形量与注浆压力正相关。

3.2 浆液密度对裂隙变形的影响

选取工况2、工况4和工况5进行模拟研究，控制浆液密度为惟一变量。不同密度的浆液在裂隙内扩散20 min时裂隙的变形形态如图11所示，裂隙内不同位置处的( 法向 )变形量如图12所示。

图11 不同浆液密度下裂隙变形形态Fig.11 Crack deformation morphology under different densities

图12 不同浆液密度下裂隙变形量Fig.12 Crack deformation under different slurry densities

由图11和12可知：在不同浆液密度下，注浆孔口处裂隙变形量最大，随着距离的增大，裂隙变形量逐渐减小。

将图11和12的模拟结果，n1＝14.29%，n2＝12.5%，m1＝-0.22%，m2＝-0.34%代入重新定义后的式( 20 )，得影响指数 f＝-0.02，可知裂隙最大变形量与浆液密度负相关，但其相关性极小，即浆液密度对裂隙最大变形量的影响极小。

3.3 裂隙开度对裂隙变形的影响

选取工况2、工况6和工况7进行模拟研究，控制裂隙开度为惟一变量。不同裂隙开度下浆液在裂隙内扩散20 min时裂隙的变形形态如图13所示，裂隙内不同位置处的( 法向 )变形量如图14所示。

图13 不同裂隙开度下裂隙变形形态Fig.13 Crack deformation morphology under different crack openings

图14 不同裂隙开度下裂隙变形量Fig.14 Crack deformation under different crack openings

由图13和14可知：在不同裂隙开度下，注浆孔口处裂隙变形量最大，随着距离的增大，裂隙变形量逐渐减小。在距离注浆孔2.5～4.5 m处，裂隙开度为1.0 mm的裂隙变形量小于裂隙开度为0.5 mm的裂隙变形量，分析原因可能是因为浆液在1 mm宽的裂隙中并未完全充填，从而未能引起裂隙的较大变形。其他位置处，裂隙变形量随裂隙开度的增大而增大。不同裂隙开度的裂隙变形量差值在注浆孔口处最大，随着距离的增大而不断减小，在距离注浆孔口4.7 m处差值接近于0。

将图13和14的模拟结果，n1＝100%，n2＝50%，m1＝24.62%，m2＝54.32%代入重新定义后的式( 20 )得影响指数 f＝0.67，可知在闭合裂隙和微张裂隙中，裂隙最大变形量与裂隙开度正相关。

由上述分析可知，各因素对裂隙变形的影响程度为注浆压力＞裂隙开度＞浆液密度。

4 结 论

( 1 ) 将水泥浆液看作一种幂律流体，基于幂律流体的本构方程，推导出幂律流体浆液的扩散方程。

( 2 ) 在闭合裂隙( b＜1 mm )和微张裂隙( 1≤b＜3 mm )中，浆液扩散范围与注浆压力及裂隙开度正相关，与浆液密度负相关，各因素对浆液扩散范围的影响程度由高到低依次为：裂隙开度、注浆压力、浆液密度。

( 3 ) 在闭合裂隙和微张裂隙中，裂隙变形量与注浆压力及裂隙开度正相关，与浆液密度负相关，各因素对裂隙变形量的影响程度由高到低依次为：注浆压力、裂隙开度、浆液密度。

( 4 ) 在实际注浆工程中，在闭合裂隙和微张裂隙注浆时，为增大浆液扩散范围，可适当减小浆液密度，即适当增大水灰比，同时增大注浆压力；为减小裂隙变形量，可适当增大浆液密度，并适当减小注浆压力。若综合考虑，应设计适当的浆液密度和注浆压力等参数值。