基于测量的量子计算研究进展*

2021-11-19 05:15张诗豪张向东李绿周

物理学报 2021年21期

张诗豪张向东李绿周†

1) (中山大学计算机学院,量子计算与计算机理论研究所,广州 510006)

2) (北京理工大学物理学院,先进光电量子结构设计与测量教育部重点实验室,北京 100081)

相比于量子门电路模型,基于测量的量子计算模型为实现普适量子计算提供了另一途径,且经过近二十年的发展其内涵已得到了极大丰富.本文对基于测量的量子计算模型的研究历史和现状进行综述.首先简要介绍该模型的基本理论,包括量子图态等资源态的概念和工作原理、模型的计算普适性和经典模拟方法、在相关量子信息处理领域的应用等.接着从量子物理特性的角度概括基于测量的量子计算模型和量子多体系统之间的紧密联系,包括量子纠缠、互文性、量子关联、对称保护拓扑序和量子物质相等作为计算资源所发挥的独特作用.然后,总结实现基于测量的量子计算模型的不同技术路线和实验成果.这些理论和实验方面的进展是不断推动可扩展容错量子计算机研制的力量源泉.最后,对该领域未来的研究方向进行讨论和展望,希望能启发读者进一步学习和探索相关课题.

1 引言

量子计算与量子信息是当代科学的前沿,具有广阔的发展前景[1].在现代量子信息科学中,有两类物理内涵丰富且实验可行的量子计算模型值得关注:1)基于幺正演化的量子门电路模型[2];2)基于测量的量子计算(measurement-based quantum computation,MBQC)模型[3,4].MBQC 模型在理论上和量子门电路模型等价,都可以实现普适的量子计算.就技术层面而言,MBQC 的实现仅取决于纠缠态的制备和对量子比特的测量操作,方便在光学和离子阱等体系中进行实验演示[5,6].随着量子技术的进步,MBQC 已用于构建量子Toffoli 门[7],演示量子算法[8-10],展示量子纠错码[11],执行基于测量的量子网络编码[12]等信息处理任务.

直观地看,如果将量子门电路的构建比作逐块搭建积木至目标结构,那么MBQC 的执行更像从一整块木材中挖除多余部分以得到所要结果.因此,相比之下MBQC 在实现量子计算时往往需要用到更多的量子比特(quantum bit,qubit)资源,如执行3-qubit 量子傅里叶变换(quantum Fourier transform,QFT)需制备1 个33-qubit 纠缠图态作为初始资源态[13].此外,量子电路的合成与优化有经典电路作为参照,而MBQC 没有直接的经典模型对应,因而在量子算法的设计层面需要更多巧思.尽管在实现量子计算上存在这些挑战,但人们发现MBQC 能与其他领域的研究相结合,如将图论、量子纠缠理论、计算复杂性、物质拓扑相、统计物理等主题联系起来,因而逐渐成为交叉领域的研究焦点[14].

本文从量子物理学和计算机科学的角度概括MBQC 模型的相关理论,包括MBQC 的基本原理、计算普适性及应用、相关衍生模型的计算特点及背后的物理属性,并且梳理了不同技术路线下的实验进展,探讨了未来的潜在研究方向.希望能对当前带噪声中等规模量子(noisy intermediate-scale quantum,NISQ) 时代[15]下的研究有所启示.

2 MBQC 的基本原理

2.1 量子计算的基础概念

为了便于读者更好地领会本文主旨,在正式介绍MBQC 的理论模型之前,这里先对量子计算中的一些关键概念进行说明.

量子信息处理的基本单元称为量子比特(qubit),它可以表示为两个状态|0〉和|1〉的叠加态:

其中复数c0和c1称为振幅且满足归一化条件,右矢(ket)|〉是表示量子态的狄拉克符号.1 个qubit 态可视为1 个二维复向量空间中的向量,而|0〉和|1〉构成此向量空间的正交基,称为计算基态(computational basis state).对于n个qubit 构成的量子系统,其计算基态|x1x2···xn〉共有 2n个,故此系统中的任意1 个量子态都可以由2n个振幅值确定.因此,用经典计算机存储1 个nqubit 量子态的所有振幅信息需要指数级增长的空间.实际上,量子态中往往蕴含着丰富的关联和纠缠信息[16],其中2-qubit 纠缠态的典型例子为4 个正交Bell 态:

量子计算即为对多量子比特所构成的量子态进行一系列特定操作以达成目标结果的新型计算模式,其过程遵循量子力学规律.主要有两类量子操作:量子门变换操作和测量操作.量子门可以表示为作用到量子态上的幺正矩阵,常用的单量子比特门如泡利算符(X,Y,Z)和Hadamard 门(H)为

单量子比特旋转门操作为

常用的两量子比特门有受控非(controlled-NOT,CNOT)门和受控Z(controlled-Z,CZ)门:

其上标 (a,b) 表示2-qubit 门的受控位和靶位分别为a和b.理论上[2](6)—(8)式中的单比特旋转门和(9)式的两比特门可以合成任意的幺正变换矩阵.

量子测量由一组作用到量子态空间的测量算符{Mm}描述,其中下标m表示测量1 个量子态|ψ〉后可能得到的结果,其发生概率为

相应地系统状态在测量后变化为

注意测量算符{Mm}需满足完备性关系:

以确保对于任意量子态|ψ〉,(10)式所示测量态|ψ〉后得到所有可能结果的概率之和为1.

最常见的量子测量是投影测量(projective measurement)操作,由1 个可观测量O描述.O是作用到量子态空间上的厄米算符,具有谱分解:

其中Pm为O本征空间的投影算符,m为相应本征值.测量量子态|ψ〉得到结果m的概率为

且测量后量子系统的态变化为

可以看出,当一般量子测量中符合(12)式的算符{Mm}为厄米算符,且满足MmMm′=δm,m′Mm时,(10)式和(11)式可分别约化到(14)式和(15)式,即为执行投影测量操作.通常(13)式中的投影算符Pm可以写为|φm〉〈φm|的形式,|φm〉称为投影测量基.例如,以(1)式为测量基可对量子态做单比特局域测量,以(2)式和(3)式为测量基可执行量子传态中所用Bell 测量[17,18].

在量子门电路模型中,通过排布好的量子门对输入态执行特定幺正变换以得到目标输出态,并可由测量操作读取结果.下面着重介绍本文关注的对象:基于测量的量子计算模型(MBQC).

2.2 MBQC 理论模型

首先需要指出的是,所谓基于测量的量子计算并非只能执行测量操作,而是指计算的过程主要由测量操作序列来确定.大部分情况下,人们提到MBQC 默认指的就是自2001 年Raussendorf 和Briegel[3,4]提出的单向量子计算 (one-way quantum computation,1WQC)模型.但是严格来讲,MBQC 也包含其他一些理论模型,如基于隐形传态的量子计算(teleportation-based model of quantum computation,TQC)模型[19],基于量子态转移的方法[20,21],关联空间中的MBQC 模型[22,23]等.下面主要对1WQC 进行解释,并简要介绍TQC.

与量子电路模型通过门变换得到目标态不同,1WQC 模型的执行过程分为3 步:1)制备“普适资源态”,即系统初始制备1 个可用于普适量子计算的特定纠缠态,并划分为S1和S2两部分;2)依次对S1部分执行适应性单qubit 测量,即该过程中的测量操作都是作用在单qubit 上的,且后一步测量操作的设置依赖于前一步的测量结果;3)对S2中qubit 进行泡利修正,根据第2)步中测量S1的结果,对作为输出态的S2部分执行(4)式和(5)式中的局域泡利操作X和Z,从而确定性地得到目标态[24-26].如果还需进一步读取该输出态的测量结果,那么泡利修正可直接吸收到对输出态的测量操作中[3,4],此时整个计算过程就只包含对资源态的适应性测量.1WQC 最常用的普适资源态为量子簇态(cluster states)和图态(graph states)[13,27,28],这里对二者进行简要介绍.2001 年Briegel 和Raussendorf[27]考虑在具有伊辛类型相互作用的自旋链或自旋晶格中的量子比特,按特定哈密顿量进行演化得到态为

其中C为一部分量子比特形成的“簇(cluster)”,对于一维链、二维晶格和三维晶格分别有T={1},T={(1,0),{0,1}}和T={(1,0,0),{0,1,0},{0,0,1}},当c+t∈/C时,这样的(16)式称为簇态.簇态同时具有所谓的最大连通性(maximum connectedness)和纠缠持久性(persistency of entanglement),并经论证可用作1WQC 模型的资源态[3].类似地,量子簇态的定义被进一步推广到与图相联系的量子图态[4].首先考虑1 个由N个顶点的集合V={a1,a2,···,aN}和连接它们的边的集合E构成的图G=(V,E) .图G的邻接矩阵AG为1 个N×N矩阵,其元素为

并且对于1 个给定的顶点a ∈V,其近邻顶点的集合Na ⊂V中的元素b满足{a,b}∈E.

对于任意1 个图G=(V,E),都可以定义1 个对应图态.令每1 个顶点a ∈V对应一个qubit,考虑与之相关的1 个厄米算符:

图态|G〉也可以根据图的结构直接制备.首先将所有顶点处的qubit制备为叠加态|+〉=(|0〉+,然后对所有邻接顶点{a,b}∈E上的一对qubit 执行(9)式中的幺正操作 CZ(a,b),就可得到图态|G〉:

在大信号掩盖下，机密信号的解调必然受到影响.下面分析机密信号解调BER(Bit Error Rate).机密信号在(i-1)Tw≤t

不同结构的图会导致具有不同性质的图态,见图1,其中线性簇态和马蹄形簇态均为图态特例[29],星形图态在局域幺正变换下等价于GHZ 态[30],可扩展的2D 方格图态用于执行普适MBQC[3,28].在大多数MBQC 的相关研究中,都将簇态视为定义在特定晶格结构上的图态例子[4,13,28,31],可按(20)式直接制备.下面介绍如何基于簇态确定性地执行任意单qubit 旋转操作和2-qubit CNOT 门.

图1 不同类型的图态 (a)线性簇态;(b)星形图态;(c)马蹄形簇态;(d)可扩展的二维方格图态Fig.1.Different types of graph states:(a) A linear cluster state;(b) a star-graph state;(c) a horseshoe cluster state;(d) the scalable 2D square graph state.

|ψout2〉与|ψout1〉仅相差一个整体相位因子,即图2(b)等价实现了图2(a).

进一步地,以上构造方法可推广到实现任意单qubit 旋转U=HRz(-γ)Rx(-β)Rz(-α) .将未经泡利X修正的图2(b)中线路作为基本单元串联3 次,其中各qubit 的测量基分别为|±α〉,|±β〉,|±γ〉并得到结果k,l,m ∈{0,1},则qubit 4 上的态为

接下来,介绍如何实现普适量子计算所需的2-qubit CNOT 门.注意图1(b)所示图态可视为六角晶格结构上的星形簇态[34],当在泡利X基中测量其qubit 1 和2 并分别得到结果m,n ∈{0,1},则剩余两个qubit 3 和4 所处的输出态为

因此,如图2(d)所示先制备这样的星形簇态,再对qubit 1 和2 做泡利X测量并对作为输出态的qubit 3 和4 做相应泡利修正,可确定性实现|ψout4〉=CNOT|+〉|+〉.更一般地,可验证当图2(d)中的输入qubit 3 和2 换成任意2-qubit态|ψin〉时,则经过后续操作最终qubit 3 和4 所处输出态为|ψout4〉=CNOT|ψin〉.类似地,测量图1(c)中马蹄形簇态的qubit 1 和4 并对qubit 2 和3 做泡利修正,可以实现2-qubit CZ 门[29].以上理论显示一般的输入态本身也可以由测量簇态来得到,因此当如图1(d)所示2D 方格图态足够大时,通过精心设计测量模式并辅以适当的泡利修正就能够确定性地实现普适量子计算[3].若量子方案需要对输出态做读取测量,那么泡利修正操作也可以合并到测量操作中[4].相比于1WQC 使用单比特测量来完成计算,下面简要介绍另一种使用两比特测量的MBQC 模型—基于传态的量子计算(TQC).

1999 年Gottesman 和Chuang[19]提出使用量子传态技巧[17,18]和单qubit 操作来实现普适量子计算.图3(a)为量子传态的1 个例子:Alice 对制备好的单qubit 态U|α〉和(2)式中Bell 态|β00〉的1 个qubit 执行联合Bell 测量,并将测量结果a和b发送给Bob.后者对|β00〉态的另1 个qubit 执行ZbXa,即可得到态U|α〉.实际上Alice 的操作等价于在一组新基为(2)式和(3)式中的Bell 态)中对态|α〉和|β00〉的1 个qubit做2-qubit 测量[35],则此时对U的实现只用到联合测量操作和泡利修正.

图3 基于传态的方案实现单量子比特门 (a)一方远程制备态 U|α〉并通过Bell 测量和泡利修正传给另一方,注意U 和Bell 测量可以直接合并成新的联合测量;(b)利用制备好的资源态 (I ⊗U)|β00〉来间接执行U|α〉Fig.3.Teleportation-based scheme for implementing any sing-qubit gate:(a) State U|α〉 is remotely prepared at one site and teleported to another site via Bell measurement and Pauli corrections,note here U and Bell measurement can be directly combined into a new joint measurement;(b) the scheme to indirectly implement U|α〉 via a prepared resource state (I ⊗U)|β00〉 .

另一种间接执行U的方式如图3(b)所示,将态|α〉和资源态 (I ⊗U)|β00〉中的1 个qubit 做Bell测量,并根据测量结果对另1 个qubit 做修正操作=UXU†和=UZU†,即可确定性地得到目标输出态U|α〉.这样的传态技巧可以从单量子比特门U推广到多量子比特门的作用,如用CNOT 门作用2-qubit 态等价于制备资源态(I(1)⊗CNOT(3,2)⊗I(4))|β00〉|β00〉并执行两组Bell 测量和相应泡利修正[19].因此,这种利用传态思想的计算方法的好处在于:即便目标操作U难以直接实现,也可以通过制备已知的初始资源态来间接地执行U.在Gottesman-Chuang 方案的启发下,后又发展出各种不同的TQC 模型,如Leung[35]提出对任意双量子比特执行适应性2-qubit 测量来完成计算.

2.3 MBQC 的计算普适性及其经典模拟

在1WQC 模型中,对2D 方格簇态执行特定模式的单qubit 测量就可以实现普适量子计算.反过来1 个自然的问题是:用于MBQC 的普适资源态具有何种必要属性? 更确切地,既然涉及有限纠缠的系统可以被经典计算机有效模拟[41],那么执行普适MBQC 的资源态中需要多少纠缠? 最强的“普适性”可以自然地定义为对资源态执行单qubit操作来产生任意量子态的能力,则此意义下的普适资源态(如2D 簇态)的多种纠缠度量必然随系统尺寸呈现无界增长.例如,2006 年Nest 等[32]引入熵纠缠宽度(entropic entanglement width)作为评判图态普适性的标准,并举出对应六角晶格、三角晶格、Kagome 晶格的普适资源图态例子.相对地,他们也揭示出n粒子1D 簇态,GHZ 态,W 态以及某些1D 自旋系统的基态至少不满足一种纠缠度量下的最大纠缠性,因此非普适资源[25].当普适性的概念为只要求MBQC 能够有效再现量子门电路的经典输出结果时,矩阵乘积态(matrixproduct state,MPS)和投影纠缠对态(projected entangled pair state,PEPS)可以作为相应关联空间量子计算的普适资源[22,23],而无需具备2D 簇态呈现的一些纠缠特征(如最大局域纠缠).

检验一种特定MBQC 模型计算能力的常用手段是考察其经典模拟方法:若目标MBQC 模型存在以多项式时间实现的有效经典模拟,则意味着该模型不具备加速计算的能力.在某些图态(如1D簇态和GHZ 态)上执行的1WQC 可以用经典计算机有效模拟[32,42,43].细致考虑图的拓扑结构和纠缠性质,研究者揭示出一系列特定资源态参与的MBQC 可以用张量网络方法有效模拟,如任意两体划分的纠缠(Schmidt 数)较小[44]或具有对数有界的Schmidt-rank 宽度情形[45],有限宽度的簇态计算[46],以及图的树宽度较小且最大度(degree)为常数的图态计算[42]等.除了图态外,参考平面图Ising 模型的严格可解性,基于环面码(toric code)态这种量子资源的MBQC 也可以有效经典模拟[47].这些围绕经典模拟的研究不仅有助于深入理解MBQC 计算能力的普适性,还能启发新的经典算法[48,49].

2.4 MBQC 在量子信息领域的应用

MBQC 在量子信息处理领域具有多方面应用.首先,作为一种普适量子计算模型,MBQC 模型已用于构建量子Toffoli 门[7],演示Deutsch-Jozsa,Bernstein-Vazirani 算法[8,9]以及Grover 量子搜索算法[5,29,50],执行QFT[13,28]和量子加法器[4],求解Simon 问题[10],计算非线性布尔函数[51,52]等量子算法相关场景.值得一提的是,1WQC 和量子电路模型在执行这些算法上是多项式时间等价的,但前者可能在并行化方面优于后者[53,54].例如,2010 年Browne 等[55]提出QFT 在1WQC 模型中能以常数深度近似执行,从而更有利于实验演示.因此,利用量子电路模型与MBQC 模型之间的转换关系来研究电路的深度复杂性具有理论和实用意义.

其次,相比于使用量子纠错码的量子电路模型,MBQC 也为实现容错通用量子计算提供了新的途径.早在2003 年,Raussendorf[56]就讨论了容错1WQC 方案:可使用2D 簇态模拟1D 容错量子电路.随后,Nielsen 和Dawson[57]也证明了当错误率低于某个阈值时,能够实现基于簇态的可扩展容错1WQC,并以光学量子计算中的光子损失噪声和去极化噪声为例数值研究了容错阈值[58].Raussendorf 等[59,60]还进一步利用3D 簇态中的2D 切片来模拟一种常用的纠错码—表面码(surface code),其中特定的测量模式可模仿拓扑量子计算中的任意子编织操作.这样以拓扑保护的量子门实现的容错MBQC 具有较高的容错阈值[61,62],且适合qubit 和连续变量系统的实验演示[63-65].

最后,MBQC 的理念还能运用到网络编码[12]、盲量子计算[66,67]、多人协作量子计算[68]、量子博弈[69]、量子通信[70]等量子信息处理场景中.例如,量子网络编码技术有望提升分布式量子计算中的资源利用率,而使用量子簇态实施纠缠交换(entanglement swapping)或基于测量的纠缠分布(entanglement distribution)时可以给电路深度[71]、最终的Bell 态保真度[12]等方面带来改善.又如盲量子计算是一种与MBQC 模型有紧密联系的安全计算协议.未来量子计算机可能趋向于以云计算形式提供给客户使用,因此如何保证客户的数据和计算过程的私密性显得尤为重要.2009 年Broadbent等[66]首次提出的通用盲量子计算协议中,客户端将制备好的随机量子比特发送给服务器,服务器将这些qubit 制备为brickwork 纠缠态并按客户的要求进行测量,再将测量结果返回给客户端,后者又根据这些测量结果确定后面量子比特的测量参数并发送给服务器.这样双方不断交互进行直至所有量子比特都被测量,协议完成.此协议秉承MBQC的基本思想,能够保证客户端的信息安全.在物理学领域,MBQC 模型可以用作研究经典自旋模型[72,73]、量子模拟架构[74]及对称保护的拓扑相[75]等物理理论的工具.

3 MBQC 的物理内涵

特定MBQC 模型的计算能力与其内在的物理属性有紧密联系,如一类利用量子关联及非适应性测量的计算模型可展现出相对经典局域隐变量模型的量子优势[76].下面从量子纠缠、量子关联、对称保护的拓扑相等角度概述相关物理内涵.

3.1 MBQC 中的量子纠缠

MBQC 模型的计算能力可以追溯到其所用纠缠资源态的性质.在2.3 节中,已概述了纠缠和MBQC 的普适资源态及经典可模拟性之间的关系.后续围绕量子纠缠在MBQC 中作用的研究包括:一些多体纠缠量子系统的基态(如自旋 5/2 系统[77]和自旋 3/2 系统[78])可用作普适MBQC 的资源态,而某些具有两体相互作用的自旋 1/2 无阻挫哈密尔顿(frustration-free Hamiltonian)系统则无此能力[79];关联空间中执行“普适态制备”意义下的MBQC 时,所用资源必然会展现类似簇态的极值纠缠特征[80];近年类比量子图态提出的超图态[81,82],其独特的纠缠和非局域性质导致相应MBQC 在一些方面优于图态方案,例如2016 年Gachechiladze等[83]揭示出超图态相比于GHZ 态对于粒子损失噪声具有更强的鲁棒性.

有趣的是,2009 年Gross 等[84]发现随机态等具有过多纠缠的量子态反而无益于MBQC 展现量子计算加速.同年,Bremner 等[85]也在抽象MBQC框架下得到了类似的结果.实际上,2017 年Morimae[86]论证了寻找适用于MBQC 的资源态通常是1 个困难任务.

3.2 MBQC 模型与量子关联

量子关联是量子计算、量子通信等领域的重要资源,其具体表现如量子非局域性(quantum nonlocality)[87]和量子互文性(quantum contextuality)[88]可用于分析和诠释MBQC 中通过测量纠缠资源态展现的计算能力.

2009 年,Anders 和Browne 通过定义1 个一般性的框架分析“关联的计算能力”[89],并以典型的GHZ 和CHSH 问题作为例子,揭示出局域实在模型的违背和纠缠资源态的计算能力之间的有趣关系,例如3-qubit GHZ 态加上线性副处理(经典异或门和非门)足以实现经典计算所用的普适与非门.如图4 所示,此计算模型包含两部分:1 个关联多方资源态和1 个经典控制计算机,彼此之间可以交换经典信息.其中关联多方资源由一些个体组成,控制计算机可为其提供k个不同的测量设置,每个个体经测量后得到l个可能结果中的1 个并返回控制计算机.当设置k=l=2 时,此框架与原始的量子one-way 模型相符.此外,他们还从计算复杂度的角度探讨了在使用不同的资源态(如簇态,二维图态,计算张量网络态等)和仅包含经典CNOT 操作和NOT 操作的计算机时,三种复杂度类别⊕L,P和BQP之间可能的转化关系.除了直接考察量子资源态中的关联,2014 年Hoban 等[90]提出利用量子方式生成的概率分布中的关联,来构造一种MBQC 的经典对应(称为“基于测量的经典计算”,MBCC),可以展现特定量子模型的非经典计算特性,如计算一种可能无法用传统经典计算设备有效模拟的IQP*量子线路.

图4 利用关联的计算模型.经典控制计算机提供k 个测量设置中的1 个作为对关联多方资源态中个体的经典输入(蓝色箭头),并且接收l 个测量结果中的1 个(红色箭头)作为输出Fig.4.A computational model exploiting correlations.The classical control computer provides one of k measurement settings as the classical input (blue arrows) to each of the parties in the correlated resource state and receives one of l possible measurement results (red arrows) as the output.

与具有适应性测量的MBQC 模型相比,2011年,Hoban 等[91]提出在一般的具有线性副处理(做模2 加法运算)且非自适应的MBQC (non-adaptive MBQC with linear side-processing,NMQC⊕)模型,通过测量特定纠缠态得到的非局域关联结果可以实现对非线性布尔函数的确定性计算、与多方Bell 不等式违背有关的概率计算等.2013 年,Raussendorf[51]展示了在一些自然的假设下,以高成功率计算1 个非线性布尔函数的MBQC 具有互文性.互文MBQC 中的1 个有趣例子是求解离散对数问题的量子算法,其相对经典算法能展现超多项式加速.2017 年,Oestereich 和Galvão[52]进一步基于互文性MBQC 发展出的非线性函数计算模型中,实现了可靠计算所需的3-MAJ 门和3 输入的XNAND 门.与仅能计算线性布尔函数的局域隐变量模型或非互文隐变量模型相比,NMQC⊕模型仅用少量量子资源就能展现量子优势,且2017年Abramsky 等[92]提出一种互文性度量方式来量化这样的量子优势.这是不同于某些量子霸权方案中通过不断扩展量子规模来达到量子优势的思路[93],为人们理解量子计算与经典计算之间的差异提供新颖的视角.此外,由于不需要用到传统适应性测量操作,NMQC⊕模型对实验维持相干性的要求更低,因而更容易在近期的实验平台上进行演示.2021 年,Demirel 等[76]于实验上演示了利用4 光子GHZ 态来计算简单的低度非线性函数.

3.3 MBQC 与对称保护的拓扑相

具有特定群对称性的量子态所呈现的多体纠缠可导致所谓的对称保护拓扑序(symmetry-protected topological order,SPTO)现象[94-97],而SPT态可以为MBQC 普适资源态的刻画提供一种新的视角.2012 年,Else 等[98]论证了所有属于1D 自旋链SPT 相的基态都具有“量子计算导线(quantum computational wires)”的统一属性,如Z2×Z2旋转对称性保护的1D 簇态和1D Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT)态,并能确保MBQC 中恒等门的完美操作.2015 年,Miller 和Miyake[99]展示了S4对称下的1D SPT 相能以任意高保真度执行单qubit 门操作且能作为TQC 的潜在资源,随后2017 年Raussendorf 等[100]将该结果推广到了执行更一般的MBQC 模型.

在1D 物质相研究的基础上,2015 年Nautrup和Wei[101]刻画了任意晶格上的元格态(plaquette state)呈现的非平凡SPTO,及用作MBQC 的普适资源态.与之不同的是,2016 年Miller 和Miyake[75]提出将3-qubit CCZ 门作用到位于Union Jack 晶格中三角元胞上的qubit,可以得到具有2D SPTO的资源态(系统具有Z2×Z2×Z2对称).该工作指出具有1D SPTO 的纠缠态(如传统簇态)配合任意单qubit 测量可以实现普适量子计算,而对于具有更加复杂纠缠形式的2D SPTO 只需执行泡利测量就可以得到相同的结果.基于Union Jack 态实现普适MBQC的工作将凝聚态物理中SPTO 的层级概念和量子计算中的所谓Clifford 层级联系起来.这样的量子计算普适性也于2018 年推广到了d维量子比特(qudit)系统的非平凡Zd×Zd×ZdSPT 态[102].除了以上运用群上同调(group cohomology)工具构建MBQC 的普适资源态及SPTO分类,最近一两年的工作系统性地研究所谓“量子物质的计算相(computational phases of quantum matter)”概念,指出具有普适计算能力的对称保护量子相由所谓的子系统对称性保护[103-105].在取得这些理论成果的同时,2018 年以来对SPT 态的表征和基于测量的算法也出现实验演示[106,107].

4 MBQC 的实验进展

除了理论进展外,在硬件方面当前量子技术已进入NISQ 时代,光量子、离子阱、超导体系、半导体量子点等多条技术路线并行发展,面向特定领域、特定问题的专用量子计算设备已取得了较大进步.下面概述量子实验中对于MBQC 算法的演示或相关量子原理的验证.

4.1 光量子系统

光子具有能同时应用于量子信息处理的多自由度(极化、轨道角动量、空间模式、频率等)和退相干率低等特点,近年来研究者围绕MBQC 计算模型开展了一系列基于光学系统的实验演示,主要包括以下几方面:

2005 年Walther 等[29]利用后选择技术制备4 光子簇态并实现1WQC 中的基本要素:单量子比特旋转门和两量子比特受控门,并演示四元素搜索的Grover 算法.随后的光学实验扩展到利用多光子多自由度制备纠缠图态,且运用前馈技术来克服执行测量操作时的随机误差,从而执行确定性1WQC 中的门操作[5,34,50,108,109],并演示Deutsch算法[8,110]和Simon 算法[10],量子博弈[69],盲量子计算[67],量子纠错码[111],关联空间中的MBQC 模型[112]等.2019 年,Reimer 等[113]利用光子的时间和频率自由度实验演示了基于多能级簇态的高维1WQC,显示出相对传统二能级簇态更高的抗噪特性.从技术上看,1WQC 模型与集成光量子芯片技术的结合有助于未来可扩展的光学量子信息处理[114,115].

在基于传态的计算模型方面,以Gottesman-Chuang 传态计算理论[19]为基础,2001 年Knill-Laflamme-Milburn (KLM) 方案[116]仅用分束器、相移器、单光子源和光探测器等构成的线性光学系统就能有效实现量子计算.具体而言,光探测过程中潜在的非线性可以通过测量转移到量子比特上,从而实现普适计算.2005 年,中国科学技术大学郭光灿课题组[117]利用线性光学操控、参数下转换产生的光子极化-路径纠缠以及符合测量中的后选择技术,实现了TQC 模型中关键的量子CNOT门传输.随后,该组又实现了传输单量子比特旋转作用于远程光子[118].2010 年,潘建伟课题组[119]也发展出了基于其他光子自由度和纠缠态来实现传输量子门的实验方案及演示工作.

除了离散变量系统,近年来MBQC 也在多模连续变量光学系统中得以实现.山西大学彭堃墀课题组[120-123]和东京大学Furusawa 课题组[65,124-126]在制备连续变量光学簇态和实验演示MBQC 方面积累了显著的系统性工作,当前基于连续变量系统执行容错MBQC 的挑战在于低错误率立方相位门的实现及可扩展的光学集成等方面.

4.2 离子阱体系

早在1995 年Cirac 和Zoller[127]就提出了将离子阱系统用于量子计算的方案.离子阱将一串离子囚禁在线性阱中,且用其冷却到基态的两个内能级编码1 个量子比特.单比特操作可以通过激光脉冲寻址作用在相应离子上实现,两比特的受控操作可通过用离子串的公共质心及声子协助完成,测量离子发出的荧光光谱就实现了量子态读取.离子阱系统在制备二维簇态上表现出良好的扩展性[128],且可在2D 离子阱阵列上演示适用于容错MBQC 方案的3D 簇态[129].2013 年Lanyon 等[6]制备多种不同类别的图态用于演示MBQC 中的普适门操作和纠错码,并获得较高的态保真度.进一步地,该课题组[130]也演示了离子阱系统图态对于多方Bell不等式的违背.

4.3 超导量子体系

在超导量子系统中,基于约瑟夫森效应构造超导约瑟夫森结作为量子比特,通过施加电流、电场或微波控制实现相应的量子门操作.早期MBQC相关的实验方案包括:超导量子电路中使用“一步法”制备大规模簇态[131],与腔QED 相结合的超导量子比特系统[132-134]等.2019 年,潘建伟组在超导电路系统制备具有真多方纠缠且保真度达到70%的12 量子比特簇态[135],Mooney 等[136]也基于IBM的量子云平台制备20 量子比特规模的图态并用特定的纠缠见证(entanglement witness)进行刻画,且Albarrán-Arriagada 等[137]提出使用几十个量子比特执行1WQC 且相比簇态更加节省资源的超导实验方案.这些成果为未来可扩展的MBQC 奠定了理论和实验基础.目前已有一些基于超导电路的量子计算云平台问世(如IBM Q),方便研究者们实验演示各种MBQC 相关的信息处理方案,如执行基于测量的量子网络编码[12].

4.4 其他方案

当前,基于其他物理体系来制备量子簇态和图态或演示MBQC 模型的方案包括光学晶格囚禁冷原子体系[138,139]、量子点[140,141]、核磁共振(NMR)系统[142]、腔量子电动力学(QED)[143]等.整体而言,当前基于离散变量系统演示MBQC 的实验规模还局限在几十个量子比特,而连续变量系统技术上可以产生具有上百万个不可分模式的簇态[126].这些实验技术与方法的新进展为未来实现大规模MBQC 提供了更多选择.

5 MBQC 的未来研究展望

如前文所述,MBQC 将量子信息处理和凝聚态物理领域中的问题相联系,相关研究内容至今还在不断拓展和深化.这里对未来具有潜力的研究方向进行讨论和展望.

1)构建基于新型资源态的MBQC 模型.例如在实现普适计算方面,对一类具有对称保护拓扑序的Union Jack 态执行单qubit 泡利X,Y和Z测量[75],或对2019 年Takeuchi 等[144]构造的特定超图态仅用泡利X和Z测量都足以实现普适量子计算.就计算鲁棒性而言,超图态本身的一些非局域性和纠缠性质使得其对于局域实在(local realism)呈现指数增加的违背,因而可以很好地抵抗粒子损失[83].如何基于其他类别的资源态设计抗噪且操作简便的普适MBQC 也符合实际的实验需求.此外,2019 年Gachechiladze 等[145]提出了一种3-一致超图态用作新型确定性MBQC 的资源态,且相关计算模型具有一些新的特征:仅用泡利测量就可以实现普适计算;允许并行执行所有的逻辑CCZ和SWAP 门;计算的逻辑深度等于逻辑Hadamard门的整体层数等.因此,有望进一步从深度复杂性和并行化计算的角度研究MBQC 的优化方案.

2)量子关联与特定计算模型之间的关系及其应用.在3.2 节中已介绍了MBQC 模型和量子关联非经典性之间的紧密联系,这些研究近年来启发了不少新奇的后续进展,如2018 年Mansfield 和Kashefi[146]提出“序列文本变换中的互文性”可能导致的计算优势,Frembs 等[147]展示在d维qudit系统中,强非局域性配合经典线性处理足以估计高度多项式函数.因此,值得进一步探索的问题是:其他类型的MBQC 是否也具有特定的量子关联特性? 这样的特性能否带来相对经典算法的计算优势? 傅里叶分析理论表明任意的布尔函数都具有相应的多项式表示.因此,进一步发展和挖掘NMQC⊕以及MBQC 模型的潜力,有望构建出能计算任意非线性布尔函数且相对特定经典模型展现量子优势的新型计算模型,并应用到依赖于Bent 函数等高度非线性布尔函数的密码学[148],或需要非线性激活层的量子神经网络[149]等领域.不同量子资源态在计算特定布尔函数的同时,所得结果又能反过来用于测试和核实该量子态在实际实验中的非经典特性,预示着新的量子态验证方法.

3)用于普适量子计算的物质相研究.从凝聚态物质的角度看,量子计算的物质相是1 个有趣的交叉研究方向[103,104].如3.3 节所述,考虑SPTO的概念包含了多种不同类别的态结构和物质相,进一步探索SPTO 和MBQC 及量子元胞自动机(cellular automaton)这几者之间的关系,有助于构造新型计算普适的物质相(如对称保护簇相[105,150]),及相应SPT 态执行普适量子计算的具体例子.在应用层面,考虑将MBQC 和拓扑纠错的思想结合起来,能促进对噪声环境中顺利运行的可扩展量子计算设备的研制.

6 总结

MBQC 计算模型及相关理论经过近二十年的发展其内涵已得到了极大丰富,重要结果和相关文献资料繁多,本文在选题上注重基础概念和典型案例,希望能启发读者进一步学习和探索本文中未加详述但同样具有重要研究意义的相关课题,如用于普适MBQC 的AKLT 态[151],MBQC 与经典自旋模型的联系[72]等.本文涵盖的主要内容如下.

首先,简要介绍MBQC 模型的基础概念和基本原理,包括用作计算资源态的量子图态,典型1WQC 和TQC 模型的执行过程,MBQC 模型用于普适量子计算的条件及其在量子信息处理领域的应用.接着,分析了MBQC 的计算能力和多体物理系统之间的联系.前人的研究从多角度揭示出多体系统的各种量子特性,如量子纠缠、互文性、量子非局域性、对称保护的拓扑序等是MBQC 模型能展现特定计算能力的物理根源.这些发现既可以促进MBQC 等相关新型量子计算模型的设计和原理分析,也为复杂量子系统的性质研究提供了来自计算机科学领域的审视.然后梳理了演示MBQC的不同技术路线,包括光量子、离子阱、超导电路等多种方案的实验进展.最后展望未来MBQC 模型的潜在研究方向,除了用于MBQC 的资源态类型和物理性质可进一步丰富和扩展外,还能与计算机领域关心的核心问题相联系,从而应用到更广阔的信息处理场景.

总之,MBQC 以具有不同纠缠特性的量子多体系统为资源态,将其特有的非局域性、互文性和拓扑保护等物理性质与进行信息处理的卓越能力(如量子优势)相联系,为实现普适量子计算或特定算法提供了新的理论途径,且相关实验演示促使人们不断提升对于量子物理系统的构建与操控水平.因此,围绕MBQC 模型开展的研究将会给量子物理学、计算机科学、光学和材料学等多个学科领域带来新的启示,并促进NISQ 时代下量子计算机的发展.