“基本不等式”在生活中的应用

王俊杰 顾怡萌

摘要：知识来自生活，学习了“基本不等式”，通过几个生活中实例，学以致用，说明“基本不等式”的应用。

关键词：基本不等式

在日常生活中，不仅有语文的“人间已秋，山河忽晚”，英语的How do you do？往往还隐藏着数学的小知识，今天我们研究的是：基本不等式在生活中的应用.希望能以此为我们的生活添上浓墨重彩的一笔.

以下便是基本不等式在生活中的运用：

一、“欧也妮葛朗台”式的费用和最值问题研究

1.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，求x.

点评：“欧也妮葛朗台”式的数学问题，往往要求达到总费用最小值，基本不等式这时能派上大用场，即在满足一定条件下，可以使开销最小化，不可谓不实用.

2.最优化设计——节省建材问题研究

如图1—1，是一个由钢筋制成的窗框的示意图，其由一个半圆及一个矩形构成.窗框的面积为4.问：如何设计该窗框中矩形的长宽，使制作的钢筋材料最省？

点评：房产开发商們，为控制开发成本，对建筑材料的使用需要精打细算。例如面临钢铁等建材紧缺、价格奇高的大难题，怎么办呢——“省”.通过使用基本不等式，推算出围成图案所耗材的最小值，幻想自己为祖国现代化献上自己的一分力量.

二、遇事不决，坐标系来解决

3.A为某海滩涂上点，退潮时海岸线上直线DE，其过点A正北0.5km的点D和正东1km的点E.现在计划在海岸线DE上选一点B，修一个尖角的围栏∠ABC，即修围栏AB和围栏BC，其中点C的位置恰在点A的正东、点B的正南.问：如何选择点B，可使所用的围栏的总长度最小？最小围栏长是多少？

点评：当然，在生活中我们也会遇到前两种方法无法解决的难题，那么此时该怎么办呢？在此为大家隆重推出新的方法——“遇事不决，坐标系来解决”.通过在原有图形的基础上构建直角坐标系，将图形的抽象的线与线的概念具象化为点与点的关系，会有助于我们更加清晰地了解并解决数学问题.

三、“围魏救赵”法解决复杂元素

4.如图3，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架 飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面.设∠PAB =θ，搜索区域的面积为S.

（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围.

点评：当你看到一系列复杂的数字，诸如“tanα+1”“a3+1”是否眉头一皱，发现事情不那么简单？这时与数字硬碰硬，往往没什么好下场，不妨另辟蹊径，选择用简单的字母替换复杂的元素，不仅能使计算更简单，还能一定程度上提高准确率，这一招“围魏救赵”助你一臂之力.

四、返璞归真，基本不等式性质别忘记

5.上海报改建一座大型足球场，其设计方案侧面的外轮廓线如图4.曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0<t≤25），曲线BC是抛物线y=-ax2+50（a>0）的一部分.CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径.现在拟改建足球场的高OB = 50米.

点评：在建立直角坐标系的基础上来观察这道问题.问题要求我们求出“范围”和“最大值”，看到这两个词，我们应该自然而然跟基本不等式联系在一起，运用基本不等式的性质，我们很容易就能求解.在学习了上述多种方法后，也别忘了返璞归真，回归本质.会用最简单的武器解决最难的问题，才能真正称得上掌握.

由上观之，解决问题的数学方法多种多样，遨游在数学知识的海洋中，不仅能使我们丰富精神涵养，也能使我们多角度看待生活中的问题，想出与众不同的奇思妙想.将数学与语文融合在一起，纵向拉伸知识层面，做一个理性的“诗人”.

参考文献：

[1]张荣欣.构建数学模型 把握问题策略——以“基本不等式的应用”教学为例[J].中学数学教学参考，2019（003）：10-13.