基于四边形网格均值坐标的K-2环网格曲面构造

滕一剑，李亚娟，邓重阳

基于四边形网格均值坐标的K-2环网格曲面构造

滕一剑，李亚娟，邓重阳

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

曲面造型；K-2环网格；四边形网格均值坐标；形状控制；连续性

在计算机辅助设计中，基于控制点的方法是定义自由形式参数曲面的重要方法[1]。每个控制点与一个基函数相对应，这些基函数决定了曲面的形状和性质。

1997年，ZHENG和BALL[2]提出在3-，5-，6-边形区域上任意次Bézier曲面片的构造方法，满足1连续。1999年，PIEGL和TILLER[3]提出C连续NURBS曲面的构造方法，并将其应用于填充由NURBS曲线界定的任意边域。2001年，COTRINA等[4]提出+1次参数曲面片的构造方法，并将其应用于填充控制网格环绕的边孔。2005年，刘浩和廖文和[5]改进了文献[4]所提出的算法，并将其应用于C-C(Catmull-Clark)细分曲面正则部分围成的边域的构造和填充，实现了用流形方法构造的曲面和C-C细分曲面的融合，曲面满足2连续。2008年，HAN等[6]基于Bézier曲线和曲面提出了Q-Bézier(Quasi-Bézier)曲线和曲面，这种新的曲线曲面构造方法不仅保留了Bézier曲线和曲面的数学性质，并且生成的曲线和曲面更逼近控制多边形，满足2连续的条件也比普通Bézier曲线更加灵活。同时Q-Bézier曲线设置了形状参数，通过调整参数便可进行形状控制。2008年，LOOP和SCHAEFER[7]提出了一种用最小的双三次曲面集逼近Catmull-Clark细分曲面的方法，生成的曲面满足光滑性，但边界处仅满足0连续。同年，LOOP和SCHAEFER[8]还提出了一种对个双三次B样条曲面片组成的边形域的二阶光滑填充方法。

2017年，KOVÁCS和VÁRADY[13]在均值坐标(mean value coordinates，MVC)[14]的基础上利用一种新的基函数(P basis functions)构造曲线曲面，将生成的曲线曲面称为P曲线(P-curves)和P曲面(P-surfaces)，并设置了一个全局形状参数控制P曲线或P曲面与给定控制结构间的逼近程度。2018年，THIERY等[15]提出了四边形网格均值坐标(quad mean value coordinates，QMVC)，这是一种应用于空间四边形网格的特殊坐标。已有许多实例表明，对同一空间四边形网格模型，若分别使用QMVC，MVC以及Green Coordinates[16]进行变形实验，在使用QMVC时，强制三角剖分而引起的扭曲完全消失。

1 K-2环网格

给定一个四边形网格，令一个四边形面上的顶点为相关点。寻找点在四边形网格中的所有相关点的集合1，记{1,}为点的K-1环网格。

寻找1在四边形网格中的所有相关点的集合2，称{2,1,}为点的K-2环网格。其中，K为顶点的度数，即K-1环网格包含四边形的个数。图1展示了中心点度数为6时的6-1环网格与6-2环网格。

图1 中心点的6-1环与6-2环((a)中心点的6-1环；(b)中心点的6-2环)

2 3D四边形网格均值坐标

之前已有的用于三角形网格的重心坐标已经得到广泛应用并有着很好的效果。但当其应用于四边形网格上时，例如在空间四边形网格中使用这些坐标进行变形，就有可能导致在变形结果中出现扭曲，而文献[15]提出的四边形网格均值坐标解决了这一问题。

将空间四边形网格中的四边形称为边界四边形，网格中的顶点记为={}，根据点所处位置，计算其四边形网格均值坐标。

2.1 x在边界四边形面上

图2 当x在空间四边形网格边界四边形面上((a) q为平面四边形；(b) q为非平面四边形)

2.2 x不在边界四边形面上

当点不在边界四边形上，将每个边界四边形的顶点=(1,2,3,4)映射到以点为球心的单位球上，如图3所示。并令

其中，Ni为四边形q在点x处的法向量，qi为向量qix与向量qi+1x形成的空间夹角。

通过文献[16]的研究，得到

可将式(1)写为

其中，w为在每个包含顶点的四边形内，计算点关于顶点的四边形网格均值重心坐标，其坐标之和即为w。

3 曲面生成算法

本文提出的基于四边形网格均值重心坐标的K-2环网格曲面构造算法，保留了四边形网格均值重心坐标的数学性质，且与其他曲面构造算法相比，无需三角化、移除中心点，只需要将四边形网格利用细分得到简单的K-2环网格。算法步骤如下：

步骤1.将给定的拓扑网格细分为一个中心点的K-2环，将中心点的K-2环作为控制网格。

图4 中心点度数N=6时的平面网格G

图5 G中部分点的移动过程((a)点往z轴正方向移动(b)点往z轴反方向移动)

图6 N=4时的空间四边形网格S

可得到

曲面为

4 实例分析

在图8～13中，(a)展示了控制网格生成的曲面；(b)展示了添加斑马纹标记的曲面；(c)展示了高斯曲率图，通过(b)和(c)可观察到本文生成曲面具有良好的光滑性。图8展示了=5时的控制网格生成的曲面，中心点向上凸起，曲率变化较大时斑马纹依旧保持光滑。图9和10展示了=6,7时的控制网格生成的曲面，可以看出，曲面与控制网格的逼近程度很高，在网格有较大角度的弯折时，斑马纹也十分光滑，曲率也未发生振荡。图11～13展示了=8,10,10时的控制网格生成的曲面。当中心点度数增加且控制网格更不规则时，曲面依旧十分光滑，斑马纹未出现扭曲折叠。

图14为本文曲面构造方法与C-C (Catmull-Clark)细分曲面构造方法在同一控制网格上生成的曲面对比，其中图14(a1)，(b1)和(c1)所示为本文算法所生成的曲面图、曲率图和曲率局部放大图；图14(a2)，(b2)和(c2)所示为C-C细分所生成的曲面图、曲率图和曲率局部放大图。从局部放大的曲率图中可以观察到，如图14(c2)所示，通过迭代5次的C-C细分生成的曲面在局部会出现振荡，而本文方法生成的曲面曲率图如图14(c1)所示，其中不同颜色之间过渡自然，未出现突变。且由生成的曲面可以看出，文本算法生成的曲面更加逼近控制网格。

图7 取不同全局形状因子h值时生成的曲面

图8 当N=5时的控制网格及曲面((a)曲面及控制点；(b)斑马纹标记；(c)高斯曲率图)

图9 当N=6时的控制网格及曲面((a)曲面及控制点；(b)斑马纹标记；(c)高斯曲率图)

图10 当N=7时的控制网格及曲面((a)曲面及控制点；(b)斑马纹标记；(c)高斯曲率图)

图11 当N=8时的控制网格及曲面((a)曲面及控制点；(b)斑马纹标记；(c)高斯曲率图)

图12 当N=10时的控制网格及曲面模型1 ((a)曲面及控制点；(b)斑马纹标记；(c)高斯曲率图)

图13 当N=10时的控制网格及曲面模型2 ((a)曲面及控制点；(b)斑马纹标记；(c)高斯曲率图)

图14 相同控制网格生成的曲面对比((a)曲面及控制点；(b)高斯曲率图；(c)局部放大高斯曲率图)

5 结束语

[1] FARIN G E. Curves and surfaces for CAGD[M]. 5th ed. San Francisco: Margan Kaufmann, 2002: 1-499.

[2] ZHENG J J, BALL A A. Control point surfaces over non-four-sided areas[J]. Computer Aided Geometric Design, 1997, 14(9): 807-821.

[3] PIEGL L A, TILLER W. Filling N-sided regions with NURBS patches[J]. The Visual Computer, 1999, 15(2): 77-89.

[4] COTRINA J, PLA N, VIGO M. H-Sided patches with B-spline boundaries[R]. Politècnica de Catalunya: Universitat Politècnica de Catalunya, 2001.

[5] 刘浩, 廖文和. 用C-C细分法和流形方法构造G2连续的自由型曲面[J]. 计算机辅助设计与图形学学报, 2005, 17(4): 644-650.

LIU H, LIAO W H. Modeling G2continuous free-form surfaces by C-C subdivision method and manifold method[J]. Journal of Computer Aided Design & Computer Graphics, 2005, 17(4): 644-650 (in Chinese).

[6] HAN X, MA Y C, HUANG X L. A novel generalization of Bézier curve and surface[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 217(1): 180-193.

[7] LOOP C, SCHAEFER S. Approximating Catmull-Clark subdivision surfaces with bicubic patches[J]. ACM Transactions on Graphics, 2008, 27(1): 1-11.

[8] LOOP C, SCHAEFER S. G2Tensor product splines over extraordinary vertices[J]. Computer Graphics Forum, 2008, 27(5): 1373-1382.

[9] YAN L L. Modifiable composite curves and surfaces with automatic smoothness[J]. Journal of Information and Computational Science, 2014, 11(17): 6359-6367.

[10] VÁRADY T, SALVI P, KARIKÓ G. A multi-sided bézier patch with a simple control structure[J]. Computer Graphics Forum, 2016, 35(2): 307-317.

[11] 唐月红, 李森, 刘浩, 等. 细分曲面奇异点处的光滑过渡[J]. 应用数学进展, 2017, 6(9): 1163-1173.

TANG Y H, LI S, LIU H, GU Y P. Smooth Connection near Singular Points on Subdivision Surfaces[J]. Advances in Applied Mathematics, 2017, 6(9): 1163-1173 (in Chinese).

[12] VÁRADY T, SALVI P, KOVÁCS I. Enhancement of a multi-sided Bézier surface representation[J]. Computer Aided Geometric Design, 2017, 55: 69-83.

[13] KOVÁCS I, VÁRADY T. P-curves and surfaces: parametric design with global fullness control[J]. Computer-Aided Design, 2017, 90: 113-122.

[14] FLOATER M S, KÓS G, REIMERS M. Mean value coordinates in 3D[J]. Computer Aided Geometric Design, 2005, 22(7): 623-631.

[15] THIERY J M, MEMARI P, BOUBEKEUR T. Mean value coordinates for quad cages in 3D[J]. ACM Transactions on Graphics, 2019, 37(6): 1-14.

[16] LIPMAN Y, LEVIN D, COHEN-OR D. Green coordinates[J]. ACM Transactions on Graphics, 2008, 27(3): 1-10.

Construction of K-2 ring mesh surface based on quad mean value coordinates

TENG Yi-jian, LI Ya-juan, DENG Chong-yang

(School of Science, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou Zhejiang 310018, China)

surface modeling; K-2 ring mesh; quad mean value coordinates; shape control; continuity

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021050784

A

2095-302X(2021)05-0784-06

2021-02-05；

2021-04-05

5 February，2021；

5 April，2021

国家自然科学基金项目(61872121，6191101102)

National Natural Science Foundation of China (61872121, 6191101102)

滕一剑(1996-)，男，浙江金华人，硕士研究生。主要研究方向为CAGD和CG。E-mail：t_yj0817@163.com

TENG Yi-jian (1996-), male, master student. His main research interests cover CAGD and CG. E-mail：t_yj0817@163.com

邓重阳(1976-)，男，湖南隆回人，教授，博士。主要研究方向为CAGD和CG。E-mail：dcy@hdu.edu.cn

DENG Chong-yang (1976-), male, professor, Ph.D. His main research interests cover CAGD and CG. E-mail：dcy@hdu.edu.cn