基于相空间重构的浮标搜潜信号盲源分离算法研究*

刘贤忠，郑晓庆, 吴明辉,2, 李大卫

(1. 海军航空大学 航空作战勤务学院，山东 烟台 264001；2. 中国船舶集团公司第七一五研究所，浙江 杭州 310000)

0 引 言

盲源分离(Blind Source Separation，BSS)是指信源、信道均未知且无法进行直接观测时，只利用观测信号从混合信号中分离源信号的过程. “鸡尾酒会效应”是最初的BSS模型，即在一个环境嘈杂的鸡尾酒会现场，其中夹杂着众多人的说话声、背景音乐及其他背景噪声，但是当人们集中注意力去倾听某个人的说话声时，可以屏蔽或者压制其他人的说话声以及环境背景噪声，能够听清楚目标人物的声音. BSS最早应用于处理语音信号，并在该领域得到了发展和广泛的应用，这为BSS在其他领域的推广提供了理论基础和实践经验[1,2]. 目前，BSS在机械故障诊断[3]、图像处理[4]、无线通信[5]、生物医学[6]等领域得到了广泛应用.

近年来，部分研究学者将BSS应用于水声信号的盲源分离. 康春玉等[7]在频域对水声阵列信号进行盲源分离，结合MVDR波束形成算法，提高了水声目标的方位估计精度. 任志勇[8]研究了浅海环境下多天线阵列的非线性水声信号盲源分离问题，并取得了一定的分离效果. 在航空反潜作战中，利用被动全向声纳浮标搜潜时，被动声纳浮标可实现一定距离范围的对潜探测，且声纳浮标随海流漂动，每枚被动声纳浮标均单独工作，而单枚浮标可同时接收到多个水声目标噪声信号，要实现该情况下的信号盲源分离，在BSS角度属于单通道盲源分离(Single Channel Blind Source Separation, SCBSS), 是BSS中最为复杂的情况，其基本思想是通过构造虚拟观测信号，将欠定盲源分离转换为正定盲源分离，目前所提出的方法包括EMD分解[9]、小波变换[10]、稀疏分解[11]等.

本文采用相空间重构方法，利用单枚被动浮标接收到的单通道信号构造虚拟多通道观测信号，将复杂的单通道盲源分离问题转化为较为简单的正定盲源分离问题，实现对浮标信号的盲源分离.

1 盲源分离理论

1.1 盲源分离数学模型

BSS示意图如图 1 所示，假定有M个源信号s1(t)，s2(t)，…，sM(t)经过信道后，利用N元阵进行观测，得到的观测信号为x1(t)，x2(t)，…，xN(t)，其中n(t)为噪声矩阵.则BSS是通过一个分离系统，利用观测信号x1(t)，x2(t)，…，xM(t)得到分离信号y1(t)，y2(t)，…，yM(t)，使得分离信号为源信号的估计.

图 1 盲源分离示意图

考虑最简单的线型混合情况，混合系统可以表示成一个N×M矩阵，即

A=[aij]N×M，

(1)

则盲源分离的数学模型为

(2)

式中：i=1,2,…,N. 上式也可表示为

x=As+n,

(3)

式中：s=[s1,s2,…,sN]，x=[x1,x2,…,xN]，n=[n1,n2,…,nN]分别为盲源分离的源矩阵、观测矩阵和噪声矩阵. 在进行盲源分离过程中，一般情况下忽略噪声的影响，式(3)可以表示为

x=As.

(4)

求解过程本质为寻找一个M×N的矩阵W，满足

y=Wx=WAs=DPs,

(5)

式中：P为M×M排列矩阵；D为一个非奇异对角阵.

1.2 盲源分离的可分离性

要进行盲源分离，须对其模型进行如下约束：

1) 观测阵元数须不小于源数量，即要求混合矩阵满秩；

2) 信源之间相互统计独立；

3) 混合信号中最多只能有一个高斯信号.

BSS最终结果为通过数学计算得到源信号的估计，在实际分离过程中，并不一定能够完全估计源信号，其中有2个问题：

1) 由式(5)可以得到，矩阵P为一个排列矩阵，任意组合矩阵P的行向量，使得矩阵P内向量排列顺序不同，其输出结果依然是独立变量，只是变量的排列顺序发生了变化；

2) 矩阵D为一个非奇异对角矩阵，其与源信号的乘积对源信号的幅度进行了放大或者缩小.

2 基于独立分量分析的盲源分离

基于独立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)的盲源分离的本质为目标函数+优化准则，即选定目标函数后，通过一定的优化准则，使得目标函数达到最优，常用的优化准则包括互信息最小、负熵最大、最大似然估计等. 本文以互信息最小准则为例进行分析，即使得分离得到的估计分量互信息最小.

对于随机变量x和y的互信息的定义为

(6)

式中：P(x)和P(y)分别为随机变量x和y的概率密度函数.

对于多维随机变量x=[x1,x2,…,xN]T，互信息可以表示为

(7)

式中：pi(xi)为xi边缘概率密度函数；Px(x)为x联合概率密度函数.

对于通过盲源分离得到的源信号的估计y=[y1,y2,…,yN]，根据盲源分离的假设，y的各个分量之间统计独立，因此，其概率密度函数为

(8)

式中：pi(yi)为yi边缘概率密度函数；Py(y)为y联合概率密度函数. 则分离出的各信号之间的互信息为

(9)

3 基于相空间重构的盲源分离

3.1 相空间重构理论

相空间重构是用来分析非线性时间序列的一种方法，其基本思想是：序列任一分量的变化都与时间序列中其他分量相互作用和相互影响，可以通过时间序列中一个参量重新构造出与原系统拓扑等价的时间序列模型[12]. 对于一维时间序列，采用延时和嵌入方式进行相空间重构，利用一维矩阵构造多维矩阵，能够有效描述时间序列本质特征来反映信号中的本质特征[13].

被动声纳浮标接收到目标信号的时间序列记为x=[x1,x2,…,xn]，则利用时间序列x构造相空间为

(10)

式中：m为重构相空间的维数；τ为时延；N为相点数且有N+(m-1)τ=n，通过选择合适的维数和时延，即可得到能够描述原信号本质特征的相空间.

采用自相关函数法确定重构相空间的时延τ，对于原序列x与经时延后的序列xτ，其相关系数为

(11)

在时延τ确定后，需要对最小嵌入维数m进行确定.假定嵌入维数为d时，矩阵Y中与向量yi(d)距离最近的向量为yη(d)，当嵌入维数由d增加到d+1时，若yi(d+1)与yη(d+1)的距离显著增大，则称yη(d)为yi(d)的虚假邻近点.利用改进的虚假邻近点方法，即均值伪邻近点(Averaged False Nearest, AFN)方法对嵌入维数m进行计算，定义变量

(12)

(13)

当嵌入维数由d增加至d+1时，为了分析E(d) 随其变化快慢，定义变量E1(d)为

(14)

当嵌入维数d由小变大，且未达到最优值时，变量E1(d)也会随之显著增大，当d达到最优值时，变量E1(d)会达到一个稳定的状态.当E1(d)在d≥d0之后开始趋于平稳，则d0+1即为最小嵌入维数.当维数d数值很大时，即使没有达到最佳嵌入维数，随着维数d的增加，E1(d)也会变化很小.为解决这一问题，定义变量E2(d)为

(15)

3.2 基于相空间重构的重盲源分离算法

基于相空间重构的重盲源分离算法框图如图 2 所示，具体步骤如下：

图 2 基于相空间重构的重盲源分离算法框图

1) 对被动声纳浮标观测到的混合信号序列x进行相空间重构，确定最佳嵌入时延以及最佳嵌入维数，得到重构的相空间为Y；

2) 对m×l维重构相空间Y进行奇异值分解

Y=UΛVT,

(16)

式中：U为m×m阶酉矩阵；V为l×l阶酉矩阵；Λ为m×l半正定对角阵.Λ中的元素满足当i=j时，σij>0；i≠j时，σij=0；

3) 对分解得到的奇异值进行分析，不同的奇异值对应于不同的信号成分，取奇异值中的主要部分及相关的正交向量，对奇异值分解逆变换，得到修正的相空间. 通过修正的相空间进行逆变换得到一个虚拟的观测信号，则该观测信号为源信号不同的线性叠加；

4) 利用原始观测信号与虚拟观测信号构成二维观测阵，对二维观测信号进行FastICA，求解得到一个源信号和剩余混合信号；

5) 利用剩余混合信号重复步骤1)～步骤4)，直至求解出所有源信号.

3.3 仿真分析

仿真试验中选取的源信号1、源信号2、源信号3为 3 种不同类型的水声目标辐射噪声信号，分别为潜艇信号、舰艇信号和商船信号，其波形如图 3 所示，源信号采样率为44 100 Hz.

图 3 源信号时域波形

在忽略噪声的情况下，利用Matlab产生随机混合矩阵A如下所示，则将混合矩阵与源信号进行相乘得到混合后的信号，其时域波形图如图 4 所示.

假定混合信号1为单枚浮标接收到的混合水声信号，对混合信号1进行盲源分离，具体如下：

1) 利用相空间重构和奇异值分解方法构造虚拟浮标观测信号.

2) 利用自相关法确定相空间重构的时延点数，如图 5 所示，自相关曲线的第一个极小值点为(8,0.289 8)，则时延τ=8/fs.

图 4 混合信号时域波形

图 5 利用自相关确定嵌入时延

3) 在确定嵌入时延之后，利用AFN法确定重构相空间嵌入维数，如图 6 所示，可以得到最佳嵌入维数d=7.

图 6 嵌入维数确定

4) 根据确定的最佳时延τ=8/fs以及最佳嵌入维数d=7，根据式(10) 对单通道观测信号进行相空间的重构，得到重构矩阵Y，根据式(16)对Y进行奇异值分解，并将奇异值由大到小排序，得到奇异值曲线如图 7 所示.

图 7 重构相空间的奇异值

5) 不同的信号成分对应于不同的奇异值，观察图7，选择前7个奇异值构造虚拟浮标观测信号，利用FastICA算法进行盲源分离即可得到一个源信号和剩余混合信号，按照图2步骤重复计算即可分离得到源信号的估计，分离得到的信号波形如图 8 所示.

图 8 分离信号时域波形

利用混合信号、分离信号与源信号的相关系数对分离效果进行分析，结果如表1 所示. 通过分析分离前后的相关系数可以看出，分离得到的信号与原目标信号的相关系数相比混合信号有明显的提高，说明该方法对于分离单枚被动浮标混合信号具有明显的效果.

表1 源信号与混合信号及分离信号之间的相关系数

4 结 论

利用被动全向声纳浮标进行搜潜时，浮标接收到的水声目标信号为水面舰艇噪声、商船噪声、海洋动物噪声、潜艇噪声以及海洋环境噪声通过未知水声信道传输混合得到. 由于各种噪声产生的机理不同，其在统计意义上具有很强的独立性，能够满足进行盲源分离的基本前提. 本文将单枚浮标信号利用相空间重构的方法虚拟构建多通道接收信号对混合信号进行分离，仿真实验表明，该方法对单枚被动声纳浮标信号具有明显的分离效果.