状态依赖随机环境下具有两类发生率函数的随机SIS模型研究*

王 锋 肖可成 陈 亮

(1萍乡学院工程与管理学院 江西萍乡 337000；2九江学院理学院 江西九江 332000)

1研究背景

传染病是人类共同的敌人，对人类文明的发展具有重要影响.当前在全球蔓延的新冠肺炎严重阻碍着社会经济的发展，更给人们的生活带来极大的危害，很多人因该病死亡.流行病学是对疾病的传播机制、疾病防治并给予科学建议措施的学科.数学建模在其中起着重要作用.国内外学者研究了各类不同的传染病模型[1-3].

生活中充满了不确定性和随机性，这些随机性有时会改变疾病传播运行的轨迹.一般地，常用刻画随机性这一变量的是布朗运动，也即白噪声.另外，很多疾病病毒在特定季节会同时存在，例如，在秋季幼儿容易感染流感和手足口病等多类疾病.鉴于此，Meng等[1]研究了具有两类疾病的随机SIS模型：

(1)

其中A为人群的更新率，d为人群的正常死亡率，β1，β2为疾病I1，I2在感染者中的传播率，r1，r2分别为两类疾病的治愈率，α1，α2为由两类疾病导致的死亡率，σ1，σ2为白噪声的扰动强度.

在生活中的随机性，除了白噪声之外还有一类为环境的变化，这类变化导致模型中的系数发生变化，例如流感在夏季、冬季和秋季的传播能力会有所不同，从而导致疾病传播率β1，β2发生改变，这类改变不能由连续的白噪声刻画，但是可以由连续时间的Markov机制切换来表示.正因如此，带机制切换的传染病模型引起了专家学者越来越多的关注[4-6].Guo-Luo[5]研究了一类带Markov切换的SIR模型的平稳分布和灭绝性.

虽然有较多的学者研究带切换的传染病模型，但是这类切换都具有Markov性，对于带状态依赖的纯跳过程的传染病模型研究则很少，这类纯跳过程一般不具备Markov性，从而平稳分布不存在，这增加了研究的难度.文章将研究如下的在状态依赖随机环境切换下具有两类发生率函数的随机SIS模型：

(2)

其中(θt)t≥0是具有有限状态空间K={1,2…M}的纯跳过程，其转移概率由

(3)

文章将在第2节介绍一些关于随机微分方程的基础知识，并证明模型(2)具有唯一的正解和给出解的范围.第3部分先给出纯跳过程(θt)t≥0的耦合，再得出一些两类疾病灭绝的充分条件.第4节将给出疾病灭绝持续的充分条件.

2基础知识

dX(t)=f(X(t),θt)dt+g(X(t),θt)dB(t)

(4)

其中f:Rn×KRn，g:Rn×KRn×m，B(t)为定义概率空间上的m维标准Brown运动.对于i∈K和函数V∈C2(Rn×K;Rn)，有：

和

(5)

其中，函数h和μ(ds,dl)可见文献[7].

证明：假设过程(θt)t≥0的跳跃时刻为0=ξ0<ξ1<ξ2<…ξn<….对于t∈[0,ξ1)，θt=i0∈K，构造经典的Lyapunov函数可证方程在该区间上存在唯一正解.对于t∈[ξ1,ξ2)，θt=i1，此时，模型中各参数随着跳过程的变化跳跃到新的一组数值，构造类似函数可证方程有唯一正解.将这一过程重复下去，能证得模型(2)有唯一的正解.

将(2)中三个方程相加起来，得到式子

(6)

3模型中疾病的灭绝性

这一节将研究疾病灭绝的一些条件.对于纯跳过程，最大的问题是它不存在平稳分布.为了研究纯跳过程问题，先给出纯跳过程的耦合.首先，假设：

引理2[8]令假设(H1)和(H2)成立，且对每个i,j∈K,|i-j|≥2有qij(x)=0.对每个i,j∈K，令

和

例1 设{θt}t≥0为连续时间跳过程，且其状态空间为K={1,2}，其Q-矩阵Q(x)为

定理1 设引理2中条件都成立，对于i=1,2，有(i)：

对于(i)，当j不减时，

当j不增时，

对于(ii)，当j不减时，Ω3i∶=

当j不增时，Ω4i∶=

时，疾病Ii(i=1,2)将趋于灭绝.

(7)

其中，

(8)

从(8)式可以看出，

(9)

对(7)式从0到t进行积分并除以t，并结合(9)可得：

(10)

当j不减时，有：

(11)

对(10)取上极限，并利用(11)和引理2有：

当j不增时，

(12)

对(7)式从0到t进行积分并除以t，并结合(12)可得：

(13)

对(13)取上极限，有：

证毕.

4模型中疾病的持久性

这一节将研究两类疾病持久的阈值.

(14)

(ii)当j不增时，Ω6∶=

此时，疾病I1(t)将会持续下去；

(ii)当j不增时，Ω8∶=

此时，疾病I2(t)将会持续下去.

对a1lnI1(t)+I1(t)应用Ito公式，有：

(15)

将模型(2)三个式子相加并从0到t积分再除以t，有：

(16)

(17)

因此，

(18)

类似地，可证疾病I2(t)持续的情形.证毕.