一种基于改进证据相似度的D-S融合算法

钱建波，王旭康，董 进，韩 伟，冯中存

(1.江苏电子信息职业学院 现代教育技术中心，江苏 淮安 223003；2. 中国电子科技集团公司第五十三研究所，天津 300000；3. 国网淮安供电公司，江苏 淮安 223001；4.中国人民解放军32703部队，河北 石家庄 050081)

0 引言

证据理论(Dempster-Shafer，D-S)是由Dempster和Shafer对概率推理方法在有限域上进行一般化扩展得到的理论，能够对不同等级的精确度和不确定性进行描述，是一种处理不确定信息的有效方法[1-6]。在实际应用中存在冲突证据时，D-S合成规则有时会产生与常理相悖的结果，主要包括以下3种：‘1’信任悖论、‘0’信任悖论和信任偏移悖论[7-8]。此外，其聚焦特性会导致信度过度集中于元素较少的焦元，致使合成的准确性大幅降低。

解决D-S合成悖论的冲突证据方法有很多，主要包括修改合成规则和修改原始证据源两大类。

(1) 基于合成规则修订方法认为D-S证据理论合成规则存在不足，需要对其进行修改，主要方法如下：Yager合成规则[9]、孙全合成规则[10]和Smets合成规则[8]等，总体来说，此类方法的优点在于一定程度解决悖论问题和提高算法的鲁棒性；缺点在于算法复杂度随之增加，且缺失D-S合成规则的交换性、结合性等优良特性。具体来说，Yager合成规则认为冲突证据不能提供有用信息，将证据冲突部分的基本概率分配全部分给不确定性的焦元全集，导致可提取的实际信息较少。孙全合成规则认为证据具有同样的可信度，即使证据间存在着冲突，也是部分可用的，通过计算证据中两两冲突的平均值定义证据集的有效性系数，将总冲突按照一定比例分配给各个合成命题。Smets合成规则认为证据提供的信息是可靠的，将冲突出现的原因归为辨识框架的不完备，将冲突部分赋予空集，没有遵循空集赋值为 0 标准的原则。

(2) 基于修改原始证据源的方法认为其合成规则不存在问题，但是应对高度冲突证据信息进行预处理，再使用D-S证据合成规则，主要方法如下：Murphy合成规则[11]、邓勇合成规则[12]等，总体来说，此类方法的优点在于很好地解决了悖论问题，也提升了聚焦效果；缺点在于证据间独立性受到一定程度的破坏。具体来说，Murphy合成规则只是将多组证据进行简单的平均，没考虑到各个证据之间的相关性，没有对证据进行实质的分析，未区分证据的可靠程度，然而在实际运用中，复杂的环境以及个别干扰会对融合产生很大干扰。邓勇合成规则是一种基于证据距离的方法，求出各证据被其他证据支持的程度，充分利用证据间的相关性，可以处理由于证据不可靠造成的冲突证据合成问题，但它不能很好地合成由于知识不完备而导致的证据间的较大冲突问题。

综上所述，现有冲突证据合成方法各有其优缺点，对于规则的修改往往会破坏D-S合成规则本身的一些优良性质，不利于工程应用[13-20]。本文通过构造参考证据体、判定异常证据体，再通过D-S合成规则对数据进行融合，提出了一种基于改进证据相似度的证据合成规则方法，较其他几种改进方法而言，本文所提合成规则在识别速度和精度方面具有明显优势。

1 Dempster-Shafer证据理论

基本概率分配函数(Basic Probability Assignment，BPA)：假定Θ是辨识框架，映射m:2Θ→[0,1]被称为Θ上一个BPA，如果满足

(1)

式中，m(A)为事件A的信度，体现对事件A的支持程度；∅为空集。

信任函数(Bel)：假定m是Θ上的基本概率分配函数，A为Θ的子集，称函数Bel:2Θ→[0,1]为信任函数，若满足

(2)

式中，Bel(A)为信任函数，表示证据对事件A为真的信任程度。

似然函数(Pl)：假定m为Θ上的基本概率分配函数，满足式(3)的前提下，即Pl为A的似然函数，即

(3)

式中，Pl(A)为似然函数，表示证据对事件A为非假的信任程度。

Pl(A)与Bel(A)分别从不同的角度描述对事件A的信任程度，由于：

(4)

Pl(A)≥Bel(A)。

(5)

事件的不确定区间如图1所示。

图1 事件的不确定区间Fig.1 Uncertainty interval of events

由图1可知，[Pl(A),1]为拒绝区间，[0,Pl(A)]为拟信区间，而[Bel(A),Pl(A)]为不确定区间。

D-S规则：假定m1和m2为同一辨识框架Θ下的2个证据，其Dempster合成规则表示为

(6)

式中，证据m1和m2均为Θ上对应的BPA；Ai和Bj分别为焦元，同时X，Ai，Bj∈2Θ；K为证据m1和m2的冲突系数，表征证据间的冲突程度，定义为：

(7)

由于D-S合成规则具有结合性，因此可以得到多个证据的合成计算公式为：

(8)

式中，

(9)

2 基于改进证据相似度的证据合成方法

2.1 构造参考证据体

假定m1和m2表征同一辨识框架Θ={A1,A2,…,AH}上2个BPA函数，其相容系数为：

(10)

式中，证据mi(i=1,2,…,I)支持度表征如下：

(11)

进行归一化后，可得到证据mi相应的权重系数为：

(12)

用加权平均证据作为参考证据体，即参考证据体为：

(13)

2.2 判定异常证据体

假定原证据向量与参考证据体夹角的余弦表示为cos(mi,mΜΑΕ)，并将其作为证据相似度Simi，可知：

(14)

则平均相似度为：

(15)

设置阈值为Simavg，若Simi≤Simavg，用mMAE替换该证据体，则有：

(16)

2.3 数据融合

一方面基于参考证据和证据相似度，综合判定异常证据；另一方面处理异常证据；最后运用所提出的D-S合成规则对证据进行融合。

3 算例分析

为验证上述基于改进证据相似度合成规则的有效性，分别选取D-S方法[2]、Yager方法[9]、孙全方法[10]、Murphy方法[11]和邓勇方法[12]进行对比研究。经多组证据体数据的验证，本文所提出算法具有识别速度快和融合准确度高等优势。下面着重给出其中一组数据的验证结果。

假定Θ={A,B,C}上有5个证据体，其BPA值分别分布如下：

m1:m1(A)=0.5,m1(B)=0.2,m1(C)=0.3;

m2:m2(A)=0,m2(B)=0.9,m2(C)=0.1;

m3:m3(A)=0.55,m3(B)=0.1,m3(C)=0.35;

m4:m4(A)=0.55,m4(B)=0.1,m4(C)=0.35;

m5:m5(A)=0.55,m5(B)=0.1,m5(C)=0.35。

由上述证据体可知，m2与实际情况有较大的偏差，与其他证据产生较大冲突，究其原因可能存在外界因素干扰、传感器本身数据信息不可靠或是BPA模型输出不精确等原因。

采用上述几种方法，对相关证据体进行合成，其结果如表1所示。

表1 证据合成方法融合结果比较Tab.1 Comparison results of evidence synthesis methods

由表1可以看出，对证据体m1～m5分别采用D-S方法和Yager方法进行组合规则融合，2种方法均得出一票否决的结果。换言之，如果证据源中有一条证据完全否决焦元A，不论其他证据对焦元A的支持程度如何，上述2种方法所得m(A)值始终为0，这显然与常理相悖。

此外，对Yager方法进一步分析可知，该方法将冲突证据的BPA函数值大部分归入不确定项m(∅)。若忽略冲突本身的信息量，将其全部指派给不确定项，虽可以解决D-S合成规则中归一化问题，但进一步提高决策的难度。随着后续支持焦元A的证据数目不断增加，m(A)值仍为0，m(∅)值却在不断增加，这显然也与常理相悖。

孙全方法是对Yager方法的进一步改进，可解决D-S方法、Yager方法中一票否决的弊端。然而由表1可知，后续证据体m3～m5对焦元A支持度越来越多，m(A)值却没有得到明显增加，而不确定项m(∅)值也没有明显降低，根据上述融合结果系统仍然无法做出正确决策。

Murphy方法采用平均证据组合方法合成证据源，而邓勇方法采用加权平均证据组合方法合成证据源，2种方法均能正确识别目标焦元A。由于Murphy方法仅对各证据进行简单平均，未能考虑各证据间实际支持程度，使得支持程度低的证据对合成结果的影响较大；此外，该方法直到对第4个证据m4进行融合时才能正确识别目标。尽管邓勇方法在对第3个证据m3进行融合时能够识别出目标，但证据可信度不高。

在对第3个证据m3进行融合时，本文所提方法即可准确识别出目标；随着后续证据体m4～m5对焦元A支持度越来越多，m(A)值明显增加，而且本文方法中不含不确定项m(∅)。该方法具有较高数据融合准确度的原因有两方面：一方面，利用加权平均证据代替冲突证据，有效解决一票否决弊端；另一方面，为使证据更接近一致性证据，对异常证据采用加权平均证据进行替换，因而融合准确度提高。

4 结束语

针对现有D-S证据理论在处理冲突证据时存在的不足，提出了一种基于改进证据相似度的证据合成规则方法。仿真计算结果表明，较其他几种改进方法而言，上述的改进方法能有效地处理含有冲突的证据组合，解决了一票否决问题，满足了识别结果BPA函数值和为1的要求；上述方法具有更快的识别速度，能够更好地降低识别结果的不确定性，且保留了D-S理论满足交换律、结合律的良好特性。