源于φ-x图像线性变化的延伸探讨

冉洁 陈克超

图像命题是高考命题的热点，而电场中的图像分析是电场命题的高频点. 现在来探索φ-x图像线性变化的基本模型与延伸讨论.

一、模型分析——x轴、电场线方向共线

图像的分析策略是点线面的意义分析，再结合物理过程和函数思想解决问题. φ-x图的点是电势与位置的对应，可以求出该位置电势、电荷具有的电势能，两个位置间电场力做功和电势能的变化;图像的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置x的变化规律;面积没有意义. 如果x轴、电场线方向共线，φ-x图像中图线呈线性变化，空间必为匀强电场，图像的斜率是匀强电场的电场强度，结合初始条件，可以判断粒子运动的加速度、速度时间，电场力做功、电势能变化等，从力和能两个观念分析电场中粒子运动.

【例1】（多选）如图1甲所示，M、N为x轴上的两点，位置坐标分别为（x1，0）、（x2，0），电势分别为φ1、φ2，整个空间有平行于x轴的静电场，图乙为x轴各点电势φ随x变化的图像. 一电子从某位置静止释放，到达x=0时的动能为Ek，已知电子电量为e，质量为m，x=0点处电势为零，不计质子重力，则下列分析正确的是（  ）

A. 电子在M点处加速度为

B. 电子在M點处速度为

C. 电子从M点运动到N点时间为

D. 电子在N点处动能与电势能之和为Ek

解析：静电场平行于x轴，则？准-x图线的斜率表示场强，所以该静电场为匀强电场，E==，运动的加速度a==，故A错误;设质子在M点处速度为v1，根据动能定理φ1e=mv12-Ek，v1=，故B正确;同理质子在N点处速度为v2=，又x2-x1=t，t=，故C正确;质子只受电场力，所以动能和电势能之和不变，所以任意位置动能和电势能之和等于x=0点处的动能为Ek，故D错误.

拓展：1. 情景改变为x轴方向相反的组合电场模型，粒子做周期性直线运动，并具有对称性特征.

【变式1】如图2，空间存在着平行于x轴方向的静电场，P、M为x轴上的两点，x轴上各点的电势φ随位置坐标x的变化如图所示. 一个质量m，电荷量q的带正电粒子仅在电场力作用下从P点由静止开始沿x轴正方向运动，试判断：粒子的运动情况;粒子在x轴左、右侧运动的加速度大小;运动的最大速度;运动的区间和运动的周期.

答案：粒子做周期性的匀加速和匀减速运动;a=、a′=;vm=;（x2-）、（T=+）.

2. 情景变为初速度垂直于电场方向，构成典型的电偏转模型.

【变式2】在xoy平面内的第三、四象限有平行于x轴向右的匀强电场，如图3所示，电势与x坐标满足φ=φ0+kx（坐标原点的电势为φ0）. 一个质量为m、电荷量为+q的带电小球（重力不计）从y=-L的A点，以初速度v0沿+y方向射入电场，从x轴上的B点射出. 试判断：B点的电势能;粒子在B点的速度大小和速度方向与x轴夹角的正切值;改变入射速度大小（远小于光速）小球从x轴射出上速度的最小值.

答案：EpB = φ0 q+;vB =，tan？兹=;2v0 .

3. 情景变为多粒子运动比较，体现对比分析中的函数思想.

【变式3】如图4，在xoy平面内有水平向左的匀强电场E，M、N点在x轴上. 质量不相等的两个带正电荷的同位素粒子，以相同的速度v0同时从M、N点垂直射入电场中，不计粒子的重力和粒子间的库仑力作用. 已知两粒子都能经过P点，在此过程中，试比较两粒子的质量、到达P点的时间、动量的变化、电势能的变化关系.

答案：mM>mN、时间相等、△PM<△PN、△EPM <△EPN .

二、模型延伸应用

如果x轴的方向与电场线平行有夹角？兹，那么涉及正交分解法来研究，沿x方向的场强Ex=E·cos？兹.

（一）电场方向与x轴垂直.

电场方向与x轴垂直时，φ-x图为平行于x轴的直线，x轴是等势面，抓住等势面这个特征，结合初始条件分析粒子的运动，从而求解.

【例2】如图5，在L>y>0的空间中，存在沿+y方向的静电场，在-L

（1）电子在y方向的分运动周期;

（2）电子通过x轴时的动能;

（3）电子运动的轨迹与x轴的各个交点中，任意两个相邻交点之间的距离l.

解析： （1）y=L和y=-L处电势均为φ0，x轴电势为零，所以空间分布的是两个方向的匀强电场. 电子射入电场后，x方向的分运动一直为匀速运动;y方向的分运动为先是+y方向的加速运动后减速运动，接着沿-y方向的加速运动后减速运动，……如此反复. 设电场强度大小为E，粒子的加速度大小为a，有E=，a==，又d=at2，电子在y方向分运动的周期为：T=4t=4

（2）由动能定理有qEd=Ek-mv20，粒子第一次到达x轴时动能为Ek=mv20+ed

（3）在水平方向上：x=v0 t=v0

电子运动的轨迹与x轴的各个交点中，任意两个相邻交点之间的距离l：l=2x=2v0.

拓展：

1. 多粒子垂直于电场方向射入电场区，电偏转中打在极板上、飞出场区、示波管原理几种模型组合.

【变式1】如图6所示，第一象限内L>x>0的区域内存在竖直向上的匀强电场，一电子束以相同的某初速度沿水平方向从+y轴上不同位置射入场区，如图所示，其中电子从+y轴上y=的A点处进入电场，恰好从x=L处的B点射出场区（A、B两点未画出），已知A处电势为φA，射出点B处电势为φB，电子电量为-e，质量为m. 试判断：电子在由A运动到B的过程中电场力做的功WAB;电子束的初速度;电场后从电场的右边界飞出时运动方向是否仍然彼此平行？射出场区时的x坐标值和射入场区时的y坐标值的关系式.

答案：WAB=e（φB-φA）;v0=;平行;在电场中直接过x轴情形x2=2Ly、飞出场区后过x轴情形x=+y.

2. 粒子向各个方向发射，粒子到达x轴的判断.

【变式2】如图7，在竖直平面内存在匀强电场，y=l的P点能在沿竖直平面内以相同的速率v0，向各个方向不断发射电荷量为+q，质量为m的粒子（不计重力），所有粒子都能到达x轴所在的水平面，且它们到达x轴时动能都相等. 若射出时速度方向与-y方向的夹角为60°粒子，它经过x轴上的B点时速度方向与-y方向的夹角为30°. 试判断：P、B两点间的电势差;场强的大小方向;水平方向发射的粒子到达x轴所在水平面的范围.

答案：UPB=;E=;O点为圆心圆面S=2？仔l2.

3. 电磁组合场中粒子的周期性运动.

【变式3】如图8所示，在直角坐标系xoy平面内，在第一、二象限沿-y方向的匀强电场，场强大小为E;在第三、四象限内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为. 一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从y轴上y=h点以一定初速度沿+x方向射出，第一次射出电场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°. 不计粒子重力. 试判断：粒子第一次射出电场的位置坐标;粒子第一次射出磁场的位置坐标;粒子是否能通过x=2h位置点.

答案：x1=h;x2=0;能.

（二）电场方向与x轴有夹角？兹.

电场与x轴有夹角时，φ与x的函数图像的斜率是x方向的分场强，巧妙分解力或者分解速度，运用抛体运动模型分析求解.

【例3】如图9所示，空间存在方向沿纸面内平行于OM的匀强电场，电势φ与x坐标满足φ=φ0+kx（坐标原点的电势为φ0）. 一带电量为+q、质量为m的粒子（不计重力），以初速度v0由O点沿+x方向射入电场区. 已知OM与+x方向的夹角为？兹，ON间距离为L，求：

（1）ON两点的电势差;

（2）粒子回到过O点的等势面时的位置坐标;

（3）粒子运动过程中在+x方向偏离y轴的最大值.

解析：（1）ON两点的电势差为UON=-kL

（2）由φ=φ0+kx知，Ex=k，所以则匀强电场的电场强度大小E==，粒子所受电场力方向斜向左下方，小球做类斜上抛运动，沿OM方向和垂直于OM方向分解初速度，沿OM方向做往返的匀减速运动，回到过O点的等势面的时间t=2=，离O點的距离为S=v0sin？兹·t=，粒子回到过O点的等势面时的位置坐标，x=S·sin？兹=，y=-S·cos？兹=-

（3）小球做类斜上抛运动，将电场力沿-x和-y方向分解，粒子沿+x方向做往返匀减速运动，同理有v0=ax t，xm=ax t2，解得xm=.

拓展：

1. 改变初速度方向，初速度与电场方向、x轴均不共线.

【变式1】如图10所示，在xoy坐标系内有一直角三角形OAB，处于平行于纸面的匀强电场中，O点为坐标原点，∠A是直角，∠B=30°，OB长为2L，已知A点的电势为？渍（？渍>0），B点的电势为2？渍，O点的电势为0，一带电的粒子以初速度v0从O点入射，方向与-x方向夹角为60°，粒子恰能过图中的A点. 不计粒子的重力，试判断：电场强度的大小和粒子的比荷大小.

答案：E=;=.

2. 初速度与电场方向、x轴均不共线，同时组合电场模型的多过程运动.

【例4】如图11所示，在直角坐标系xOy的第一、四象限内，分别存在大小均为E、方向不同的两个匀强电场，两个电场的方向与x轴所夹的锐角都是60°. 一质量为m、电量为+q的粒子（不计重力），从+y轴上p点沿着与+y方向成60°角方向以初速度v0射入场区，第一次到达x轴上的Q点时速度方向与+x方向成30°角. 试判断：粒子在P、Q两点速度之比;P、Q两点电势能的变化;粒子第一次与第二次通过x轴的坐标之比.

答案：=;0;=.

总之，φ-x图像线性变化对应着匀强电场，电场的方向与x轴共线、垂直、有夹角三种情况为依据，通过改变初位置点、初速度方向、多电场、多粒子来改变问题情境，带点粒子在电场中的运动取决于初位置点、初速度方向、x轴、电场线方向四个条件的变化，以x轴、电场线方向关系为基础，巧妙融入带电粒子在匀强电场中加速与偏转模型，深挖电场方向与x轴的两线的空间关系为基本点，通过改变问题的视角、维度和层次，展示考查学生能力背后的解题方法的深度与广度、数学运用能力与思维策略，符合高考以能力为根本的命题立意.

责任编辑 李平安