反应扩散方程及其应用研究进展

闫宝强 程红梅 房钦贺 夏 洋

(山东师范大学数学与统计学院, 250358, 济南 )

1 引 言

数学作为一门基础学科, 为其他学科的进步提供了很多理论支持. 近年来, 随着生物学中实验技术的快速发展, 许多生物学中的数据需要用到数学理论、统计理论还有计算方法来分析和模拟, 以便能了解生物的发展过程以及某些传染病的传播机制. 因此, 生物数学成为应用数学中较为活跃的一个研究分支. 对于生物数学的研究, 一般从下面两个方面来开展, 一方面是通过建立数学模型、分析数学模型, 利用已有的数学理论来了解和预测生物过程; 另一方面是通过建立的模型发现新的数学问题, 寻求新的数学研究方向和研究方法.著名数学家Friedman[1]讨论了生物数学中一些具有挑战性的问题, 其中就提到了一个非常重要的数学工具——偏微分方程. 目前, 偏微分方程的研究也因为生物数学的快速发展被注入了新鲜血液. 反应扩散方程作为经典的四大偏微分方程之一, 也因为其浓厚的实际背景而快速发展.

1937年, Kolmogorov等人[2]和Fisher[3]分别研究了下面的反应扩散方程

(1)

其中,f(u)=u(1-u),x∈R,t>0.模型(1)可以描述外来入侵物种的行波现象或者动物在一维无穷栖息地上优良基因的传播过程.Fisher等人核心工作是研究方程(1)的行波解, 即形如u(x,t)=φ(x-ct)的特解, 其中, 常数c>0表示波速, 函数φ(x-ct)为传播过程中的波形. 这一类行波解具有平移不变性,该性质表明了在传播过程中, 波的形状不会改变. 此后, 反应扩散方程的行波解问题逐渐发展为现代数学的重要研究内容之一. 因为行波现象广泛存在于生物学、物理学、化学和传染病学等领域中[4-8], 所以该问题具有很重要的实际意义.行波解可以描述生物学中新物种的入侵、物理学中从一个平衡态到另一个平衡态的转化过程、化学反应中物质浓度的变化、传染病的传播过程等等. 这些过程的共同特点是以有限速度传播并保持传播形状不变.

对于反应扩散方程行波解的研究结果已有很多,古典的研究方法是将行波方程转化为相应的常微分方程, 再利用相平面分析法得到其存在性和唯一性[9,10]. 对于已知行波解存在性的反应扩散方程, 很自然地要考虑其行波解的稳定性. Aronson等人[11]研究了非线性项满足单稳型(存在一个稳定的平衡点和一个不稳定的平衡点, 即经典的Fisher-KPP型)、燃烧型和双稳型(存在两个稳定的平衡点, 又称Allen-Cahn型)等类型的反应扩散方程的连接两个平衡点的行波解的存在性和稳定性,并考虑了该行波解在高维空间中的稳定性[12]. 后来, Matano等人[13,14]考虑了连接两个稳定平衡点的行波解的稳定性以及解的长时间行为，通过构造合适的上下解, 再应用比较原理得到了相应的稳定性结论. 这也是最近考虑行波解应用最多的方法之一. 对于稳定性理论的研究, Chen等人[15]使用上下解结合挤压技巧得到了相应的结论. 同时, Mei等人[16]采用能量估计的方法来考虑行波解的稳定性,并将相关结果作了进一步的推广.研究行波解的稳定性理论，还有另一个常用的重要方法就是对积分算子进行相应的谱理论分析[17-19].

近几年, Lou[20]对空间生态学中的一些反应扩散方程模型做了详细的总结, 但是没有重点给出特殊的行波解的研究情况. 本文主要通过介绍相应的反应扩散方程模型的行波解,以便了解和研究传染病模型中扩散项和时滞项对行波解存在性和稳定性的影响以及相应的动力学行为. 目前, 种群动力学研究的一个重要趋势是其与生物学其它研究方向的深度融合, 如物种进化、疾病传播、细胞生物学、癌症研究、抗药性研究等方面. 本文试图通过建立和实际更加接近的一系列反应扩散方程模型, 把空间生态学、空间中的疾病传播、进化理论等方面有机融合起来, 探讨在该领域的进一步研究前景,并给出一些关于外界环境变化对生物模型影响的数学问题.

2 局部反应扩散方程行波解的研究进展

带有局部扩散项的Allen-Cahn方程

(2)

其中,Δ为标准的拉普拉斯算子.

当n=1时, 系统(2)可以记成下面的形式

考虑该方程连接两个稳定的平衡点±1的行波解u(x,t)=φ(x-kt), 其中k为常数. 也就是, 考虑函数φ(ξ)(ξ=x-kt)满足如下条件的解：

φ''(ξ)+cφ'(ξ)+f(φ(ξ))=0,ξ∈R,

(3)

φ(±∞)=∓1，

(4)

φ(0)=0.

(5)

对于连接这两个平衡点的行波解u(x,t)=φ(x-kt)，Aronson等人[11]研究了行波解的存在性、唯一性和稳定性.

当n≥2时, 记空间变量为(x,y,z),x∈Rn-2,y∈R,z∈R,方程(2)可以记为

(6)

Aronson等人所考虑的行波解是波型中最简单的平面波.后来,双稳的Allen-Cahn方程的非平面波也引起了大家的研究兴趣,例如二维V型波和三维锥型波. 这些高维行波解都是在平面行波解φ(ξ)存在的基础上得到的. 也就是说需要平面行波解存在的假设条件.

假设2存在常数k∈R和函数φ(ξ)∈R2满足方程(3)-(5).

当n=2时, 方程(6)存在如下的二维V型行波解.

定理1[22]假设1和假设2成立, 对任意的常数c满足|c|>|k|, 存在函数V(y,z-ct)满足方程(6)和

定理2[22]令u0(y,z)满足

那么方程(6)的解u(y,z,t;u0)满足

Ninomiya等人[23]继续考虑了该行波解V(y,z-ct)的全局渐近稳定性.

显然, 当n>2时, 函数V(y,z-ct)仍然满足方程(6). 因此,u(x,y,z,t)=V(y,z-ct)仍为方程(6)的解. 盛伟杰等人[24]考虑了该行波解V(y,z-ct)在高维空间下的稳定性.

当n≥3时, 记空间变量为(x,y,z),x∈Rn-3,y∈R2,z∈R,方程(2)可以记为

(7)

令m≥3为给定的正整数, 常数c>k, 记

令向量

为曲面{z=τ(Ajy1+Bjy2)}的单位标准向量, 记hj(y1,y2)=τ(Ajy1+Bjy2),

(8)

Sj={(y1,y2,hj(y1,y2))∈R3|(y1,y2)∈Ωj},

其中,j=1,2,…,m.令

D(γ)={(y1,y2,z)∈R3|dist((y1,y2,z),Γ)≥γ},

其中,γ≥0.

Taniguchi[25]给出了当n=3时, 方程(7)的三维锥型行波解V(y1,y2,z-ct)的存在性.

定理3[25]当n=3时, 令常数c>k,h(y1,y2)为(8)式中所定义的. 假设1和假设2成立, 则方程(7)存在解V(y1,y2,z-ct)满足

其中,D(γ)为上文所定义的形式,并且

Taniguchi[26]考虑了该锥型行波解V(y1,y2,z-ct)的唯一性和稳定性. 当n>3时, 定理3中的函数V(y1,y2,z-ct)为方程(7)的锥型行波解.当n>3时, 继续考虑该锥型行波解V(y1,y2,z-ct)的高维稳定性. 为了简单, 记V(y1,y2,z-ct)为V(y1,y2,s)，且满足

Vy1 y1+Vy2 y2+Vss+cVs+f(V)=0,

其中,s=z-ct.

定理4[27]令n≥4, 假设1和假设2成立, 设函数u0(x,y1,y2,z)在Rn上光滑有界并且满足

那么, 以函数u0(x,y1,y2,z)为初始函数的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)满足

定理5[27]令n≥4,假设1和假设2成立, 设u0(x,y1,y2,z)函数为

u0(x,y1,y2,z)=V(y1,y2,z-v0(x)),

(9)

其中,v0∈L1(Rn-3)∩L∞(Rn-3), 那么, 以u(x,y1,y2,z,0)=u0(x,y1,y2,z)为初始函数的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)满足

其中, 常数C>0依赖于函数f,‖v0‖L1(Rn-3)和‖Vz‖L∞(R3).

定理6[27]令n≥4, 假设1和假设2成立, 设函数u0(x,y1,y2,z)满足方程(9), 其中v0≥0,v0≠0,或者v0≤0,v0≠0, 那么, 存在常数C1>0,C2>0,使得以函数u0(x,y1,y2,z)为初始函数的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)满足

其中,tm=m(m!)2/4.

Cheng等人得到了三维锥型行波解在高维空间下的稳定性及其收敛速度. Kurokawa等人[28]考虑了n≥4时方程(2)的高维锥型行波解V(x-e·ct)的存在性.

3 非局部反应扩散方程行波解的研究进展

Murray[29]提到了物种的扩散是自由和随机的, 而不是按照固定的模式运动的. 因此, 用局部拉普拉斯算子来表示空间扩散现象会存在很多缺陷,也不能够准确地描述研究对象的时空行为.采用一些特殊的积分算子来表示空间中的非局部扩散现象, 能够更加准确地描述所考虑的实际问题.

Chen[15]研究了一类非局部算子方程

ut(x,t)=A[u(·,t)](x),x∈R,t>0,

(10)

其中,A为非局部算子, 映空间变量·为x的函数, 不依赖于时间t, 可以生成L∞(R)中的半群, 同时满足平移不变性.利用算子的平移不变性, 可得A映常函数为常函数, 映射I记为值域为I的函数, 则存在函数f(·)满足

A[α1]=f(α)I,∀α∈R.

(11)

同时, 假设f满足

f∈C1(R),f(0)=f(1)=0,f'(0)<0,f'(1)<0.

(12)

也就是说,0、1为A的两个稳定平衡点.考虑连接0、1的行波解u(x,t):=U(x-ct)满足

(13)

假设31)A是平移不变的, (11)式中定义的f满足(12)式;

2) 如果ut≥A[u],vt≤A[v],u(·,0)≤(≠)v(·,0), 则u(·,t)>v(·,t),∀t>0;

3) 存在常数K1,K2, 概率测度ν, 使得对任意函数u,v满足-1≤u,v≤ 2,且

其中,A'为A的Frechet导数.Chen[15]得到了局部算子方程(10)的行波解的存在性、唯一性和稳定性.

定理8[15](唯一性) 假设3成立, 方程(10)存在行波解(U,c)满足下面的性质

考虑方程(10)行波解的稳定性时, 需要满足下面的假设条件4.

假设41)A是平移不变的, 对某正常数a-,a+,0 0, 在区间(0,a-)∪ (1,2)上满足f< 0;

2) 存在定义在[1,∞)上的非增正函数η(m), 使得对任意满足

-1≤u,v≤ 2,ut≥A[u],ut≤A[v],u(·, 0)≥v(·,0)

的u(x,t),v(x,t), 都有

3) 对假设3中定义的K1,K2,ν,u,v,有

定理9[15](稳定性) 若假设3和假设4成立, 方程(10)存在满足相应性质(13)的行波解(U,c), 则存在正常数k, 使得当u0∈L∞(R1)时满足0≤u0≤ 1和

时, 以u(·，0)=u0(·)为初值的解u(x,t)满足

||u(·,t)-U(·-ct+ξ)||L∞(R)≤Ke-kt.

考虑方程(10)满足性质(13)的行波解的存在性时, 需要满足下面的假设条件5.

假设51)A是平移不变的, 存在a∈(0,1),当u∈(-1,0)∪(a,1)时，f(u)>0,

当u∈(0,a)∪(1,2)时，f(u)<0,f′(0)<0,f′(1)<0,f′(a)>0.

2) 存在定义在[0,∞)×[0,∞)上的正连续函数η(x,t), 使得对任意的u(x,t),v(x,t)满足-1≤u,v≤2,ut≥A[u],vt≤A[v],u(·, 0)≥v(·,0)时, 都有

3) 存在正常数K1,K2,K3, 概率测度ν, 使得对任意的u(x,t),v(x,t)满足-1≤u,v≤2时, 对任意的x∈R都有

4) 对任意满足0≤u0≤1, ||u0||C3(R)<∞的函数u0(·)，以函数u0(·)，为初值的方程(10)的解u(x,t)满足

定理10[15](存在性) 假设5成立, 则方程(10)存在满足相应性质的行波解(U,c).

Carr等人[30]考虑了非局部的Fisher-KPP方程

ut=J*u-u+f(u),x∈R,

其中,f(0)=f(1)=0,f(u)>0 ,u∈ (0,1). Carr等人给出了方程在0和1之间有界的行波解的唯一性. Carr等人首先给出了行波解的一个估计, 并研究该估计对所有满足0≤u(x,t)≤1的行波解都成立. 为了证明满足这些条件的行波解的唯一性, Carr等人又引入了Ikehara′s定理, 也就是拉普拉斯变换的Tauberian定理,构造了辅助函数

利用引入的拉普拉斯变换的性质, 寻找矛盾进而得到唯一性的结论. Coville等人[31]研究了非局部反应扩散方程行波解的传播速度, 利用变分公式给出了行波解的速度的表达式，并研究了一维积分微分方程

(14)

其中L为一个非局部扩散算子, 形式如下

(15)

J是一个偶的正积分核,f是一个给定的非线性项. 同时,变分公式(15)还可以应用到更一般的算子

Lu=auxx+b[J*u(x)-u(x)]-dux-eu(x),

其中,a,b,e≥0,(a,b)≠(0,0),d∈R，并且积分核函数J满足

(16)

定理11[31]如果f为双稳型和燃烧型的非线性项, 核函数J满足条件(16)和下面的条件

(17)

则问题(14)存在解(u,c*), 并且在平移意义下, 该解是唯一的, 也就是说, 如果(v,c')为另一个解, 则c*=c', 并且u(x)=v(x+y)对于固定的y成立. 如果f为单稳型的非线性项, 核函数J满足条件(16)和下面的条件

(18)

则存在最小波速c*>0, 使得

1) 如果c≥c*, 问题(14)存在解(u,c), 并且u'>0;

2) 如果c0的解(u,c).

定理12[31]令L为由(15)定义的作用在X={w∈C1(R)|w是递增的，w(+∞)=1,w(-∞)=0}上的算子. 假设(16)和(17)成立,f为双稳型或者燃烧型, 满足

则波速c*满足

假设(16)和(18)成立,f为单稳型, 则最小波速c*满足

非局部反应扩散方程行波解的存在性、唯一性、稳定性以及波的传播速度等问题已被广泛研究[32-34]. 在此基础上Cheng等人[35]考虑了单稳的反应扩散方程行波解的存在性,唯一性和稳定性, 得到了类似的结论;同时还考虑了带有非局部扩散项和非局部时滞的双稳的反应扩散方程行波解的稳定性[36]. 以积分算子J为扩散项的非局部反应扩散方程和以古典的拉普拉斯算子为扩散项的局部反应扩散方程是密切相关的. 如果取核函数J=δ+δ'', 其中,δ为Diracdelta函数, 那么该积分算子就可以退化为局部的拉普拉斯算子.

4 传染病模型行波解的研究进展

Kermack等人[37]提出了如下的传染病模型

(19)

模型(19)对传染病的数学动力行为的研究起着很重要的作用,Kendall[38]在1965年考虑了依赖于空间的积分微分方程

其中, 核函数K(x-y)≥0表示位置y的染病个体对位置x处的易感个体的影响, 满足

后来,Mottoni 等人[39]考虑了个体的空间移动, 也就是带有拉普拉斯扩散项的模型

(20)

当空间无界,μ=σ=0并且K(·)为常数β和δ函数的乘积时, 系统(20)减弱为下面的反应扩散模型

(21)

1994年, Hosono等人[40]考虑了带有扩散项的模型(21), 给出了相应的行波解的存在性的结论,即如果R0>1， 那么当

时, 系统(21)存在满足

S(-∞)=S0,S(+∞)=ε,I(±∞)=0

的行波解(S(x-ct),I(x-ct)), 其中ε

最近带有非局部扩散项的反应扩散方程模型的相应性质被广泛研究, Yang等人[41]考虑了下面的带有非局部扩散项的模型

实际生活中, 有很多疾病存在一定的潜伏期.潜伏期在数学模型中被称为时滞, 由于它的出现, 系统不再是微分方程, 而是泛函微分方程，因此, 研究起来将有一定的困难[42-44]. Wang等人[45]考虑了如下的模型

Wang等人得到了上述系统的行波解的存在性与不存在性，进一步研究了反应项和时滞对行波解的存在性以及波速的影响. Ducrot等人[46]证明了带有核函数

的上述系统的行波解的存在性和不存在性. 对于带有时滞的模型的行波解的研究结果详见文献[47-50].

Cheng等人[51]考虑了带有非局部扩散项和反应项的模型

的行波解的存在性. Cheng等人得到了相应的行波解的存在性定理,该定理和相应的局部扩散系统的结论相同. 因此, 疾病的传播不依赖于个体间的非局部反应和非局部扩散. 但是, 疾病的传播速度却依赖于相关干扰项，即c*依赖于染病个体的扩散速率d2, 染病个体和易感人群之间的相互作用以及疾病的潜伏时间. 同时,时滞可以降低疾病的传播速度, 非局部反应项和染病个体的移动项可以加快疾病的传播速度.

5 分数阶反应扩散方程行波解的研究进展

分数阶拉普拉斯算子是由稳定的Levy过程导出的[52]. 由于扩散过程中跳跃的存在可以加快不稳定状态向稳定状态的入侵,因而分数阶拉普拉斯算子可以更好地描述一些化学反应或者传染病的传播现象,相应的研究模型更加接近现实.Engler[53]详细研究了分数阶微分方程的解的传播速度. Cabré等人[54]考虑了下面带有初始函数w(x,0)=w0(x)的分数阶反应扩散方程的初值问题

∂tw(x,t)+(-Δ)αw(x,t)=w(x,t)f(w(x,t)),t>0,x∈R,

(22)

其中,Δα为α阶拉普拉斯算子(α∈(0,1)),其定义为

其中P.V.为主值,函数f∈C1:[0,a]→R,a>0为常数，f在[0,a]上非增,且f(a)=0.

对任意的σ∈(0,σ*), 有

当n=1时,可以进一步得到带有非减初始函数的初值问题(22)的解的长时间行为.

1) 对所有的u(x,t)=v(x+te)

定理15[54]令n=1,α∈(0,1), 则方程(22)不存在非常数平面行波解. 也就是说, 方程(22)的所有在[0, 1]内取值的解u(x,t)=v(x+te)等于0或者1，即方程

(-Δ)αv+e·v'=vf(v)

的解v满足v≡0或者v≡1.

6 切换环境下反应扩散方程的研究进展

在现实世界中, 从细菌到动物等一切生物物种的栖息地通常是非自治并且空间和时间异质的. 物种栖息地经常受到影响, 除了季节和地理的差异, 气候全球变暖、工业化和过度发展也是影响因素.因为时空异质性, 气候变化自然会导致生物物种栖息地的变化. 人们自然想知道气候变化会对地球上不同物种的种群产生什么样的影响.显然无论是对单一物种, 还是对相互作用的物种都会产生很大的影响. Walther等人[62]为最近气候变化的生态反应做出了评论. Berestycki等人[63]忽略了地球的有限性把北极想象为负无穷, 把赤道想象为正无穷.这为理论分析提供了一个很好的框架，气候变暖及其影响可以看作是当地气候适宜程度的变化. 对物种的种群密度分布进行追踪, 如果一个物种保持了它的速度, 它在北方的面积扩大的范围和在南方的面积缩小的范围是一样大的；如果它的速度落后了很多,就会导致灭绝.这两种情况哪一种更适用? 答案取决于物种关于区域的广泛性, 气候变化的速度和气候对物种的影响. 如果这个物种能生存下来, 其种群的大小和形态会发生什么变化? Berestycki等人提出了一个比较现实的模型.以仿真为主要工具,关于这类主题的实地研究已有许多结果[64-67].

最近也有一些关于物种数量动态的数学模型的定量研究,该研究集中于一种特殊的环境变化模式, 即以恒定的速度移动. 例如, 为了理解物种转移的分布随时间的变化和预测物种是否能跟上气候的变化, Elith等人[68-71]应用了一种实用的方法描述栖息地的“移动”,即假设人口增长率r(x,t)是依赖于时间t和位置x的特殊形式r(x,t)=r(x-ct), 该形式反映了环境以恒定速度向右移动的特点. 为了能够解决随着气候变化栖息地的变化物种的范围分布和扩散等问题, Li等人[72]将上述迁移模式加到单稳的反应扩散方程中, 得到了如下方程

∂tu(x,t)=d∂xxu(x,t)+u(x,t)[r(x-ct)-u(x,t)],

(23)

其中假设增长函数r(·)是连续非减与有限分段连续可微的, 并且满足r(-∞)<00相结合, 表明该区域适宜种群增长的生存环境正在不断向右推进.Li等人[72]探讨了物种的灭绝性和持久性的条件以及在持久存在的时候, 种群向右传播速度的情况.Hu等人[73]考虑了在生长函数0≤r(-∞)0)还是膨胀(c<0)的情况, 并得到了模型(23)当c∈R时, 强迫行波解的存在性.Fang等人从经典SIS模型中推导出形如(23)的标量形式的流行病模型:一种描述病原体种群随宿主种群的迁移而扩散的模型.

相对于模型(23), 更一般的情形是方程

∂tu(x,t)=d∂xxu(x,t)+g(r(x-ct),u(x,t)).

(24)

Berestycki等人[8]研究了当非线性项函数g有一个有限的紧支集时的模型(24)，结果表明环境的有利部分有一个紧支集. 随后, Berestycki等人[76]将文献[63]的结果扩展到更高维的空间上并且考虑具有更一般类型的扩散函数g的模型(24). Vo在文献[77]中去掉了有利环境内的紧支条件, 并得到了相似的结果. 最近, Berestycki等人[78]还研究了非线性反应项g(s,u)满足当s→-∞时为渐近KPP型时, 模型(24)的强迫行波解的存在性. Alfaro等人[79]在研究表型特征时, 将方程(23)扩展为更一般的方程, 引入了一个非本地种内竞争项, 采用二维竞争空间域,确定了一个关键的气候变化速度,得到了种群的生长函数是扩散或消失的情形.

经常有一个以上的生物物种共享同一个栖息地, 它们通常会争夺栖息地的资源. 当栖息地发生变化时(比如气候变化), 人们自然想知道这样的变化是如何持续的以及速度与物种的扩散和物种之间的竞争相互作用是如何影响种群动态的. Potapov等人[80]考虑了在一个移动边界的范围内的Lotka-Volterra竞争模型,得到了每个物种保持持久生存和传播的关键区域的大小. 随后, Berestycki等人[81]继续考虑了Lotka-Volterra带有两种都在“移动”的增长函数的竞争模型

Berestycki等人发现如果栖息地边缘的速度超过了前进物种的Fisher型入侵的速度, 就会出现一个很大的缺口. 最近, Zhang等人[82]和Yuan等人[83]在不同的角度和假设条件下考虑了该模型的传播动力系统, 前者关注的是两个物种的持久性和灭绝性, 而后者则旨在比较当栖息地以恒定速度恶化时, 不同扩散率对这两个物种的时空动态的影响.

最近, Li等人[84]利用在切换环境下带有非局部扩散项方程

ut=d[J*u-u]+u[r(x-ct)-u],

(25)

探索在气候变化背景下的物种传播形式. Li等人证明了存在一个常数c*,当c>c*时, 整个环境中的种群将会灭绝, 当c

7 开放性问题

近年来, 非局部反应扩散方程在空间生态学、物种进化、疾病传播等众多领域中有很多重要的应用, 因此, 该问题得到了国内外学者的广泛关注. 针对其行波解的存在性和稳定性的分析,目前已取得了一系列优秀的研究成果, 然而仍有许多问题需进一步讨论.

1) 考虑切换环境下带有非局部扩散项和时滞项的反应扩散方程特殊解的存在性及其长时间行为,从而使得考虑的模型能更加清晰地描述实际问题,能够将气候变化以及现实生活中存在的潜伏期都考虑到.这样所考虑的模型会更具有实际意义.

2) 利用单个方程已有的结论, 考虑切换环境下带有非局部扩散项的传染病模型的传播机制, 考虑环境变化速率和传染病的传播速率之间的关系,考虑行波解的存在性和稳定性等定性性质,从而为控制传染病的传播提供很好的理论依据.这将是一个重要的研究方向.

3) 考虑切换环境下带有非局部扩散项捕食模型的动力学行为, 考察两个种群在什么情况下共存、什么情况下灭亡、什么情况下一个生存一个灭亡，考虑每种状态的分界点的情况以及扩散速率和环境变化速率之间的关系, 进一步探索各种生物进化过程以及机制.这将会是一个非常有意义的课题.

4) 重点考虑切换环境下带有分数阶扩散项的反应扩散方程的行波解的性质, 建立其最值原理和比较原理等相关的理论, 利用相应的理论考虑该平衡解的定性性质.考虑切换环境下带有分数阶扩散项的传染病模型的传播机制和捕食模型的动力学行为, 利用相应的理论讨论行波解的存在性与不存在性、唯一性和稳定性等性质. 随着生物数学的迅速发展, 生物数学和偏微分方程的交叉领域将成为极具活力的前沿地带.