不确定系统的事件触发控制:近似解输入法

丁三波,刘 旭,王 勇,杨德东

(河北工业大学 人工智能与数据科学学院,天津 300401;河北工业大学 河北省控制工程技术研究中心,天津 300401)

1 引言

事件触发控制是网络控制领域中的一种常见方法.在事件触发控制中,传感器根据预设的触发条件进行采样,实现对系统的按需控制,避免了传感器和控制器之间不必要的信号传输,减小了网络的通讯负担[1–5].目前,事件触发控制已经被广泛用于研究多智能体系统的一致性[6–7]、无人机的编队控制[8–9]、线性或非线性系统的观测器设计或跟踪控制[10–11]、大规模互联系统的镇定性[12]等复杂问题.相关的研究成果有助于机器人控制、工业互联网、以太网、智能微电网等领域的快速发展.

在事件触发控制中,通常会通过定义下列形式的事件触发条件来决定采样时刻tk[1,13]:其中:e(t)表示测量误差,ε表示触发阈值,Ω为对称正定的参数矩阵.在早期研究中,测量误差往往定义为e(t)x(t)−x(tk),相应的控制输入选择为u(t)Kx(tk).与连续的状态反馈控制(即u(t)Kx(t))相比,事件触发控制策略(1)本质上是用常采样信号x(tk)代替了连续状态x(t).也就是说,在区间[tk,tk+1)内,对系统进行阶跃输入时,这可能会导致x(t)与x(tk)的相对误差随时间逐步增大,即‖e(t)‖随时间t逐步增大,进而导致比值eT(t)Ωe(t)/xT(t)Ωx(t)的演化相对较容易超过预设阈值ε,从而造成较高的触发频率[12,14–16].

一般来说,对系统增加控制的目的在于使系统状态衰减,实现渐近或者指数稳定.基于此原因,文献[12,14–16]引入了指数衰减项ϑ(t)e−λ(t−tk),将测量误差重新定义为e(t)x(t)−ϑ(t)x(tk).相应地,控制输入也改为u(t)Kϑ(t)x(tk).该方法的本质在于利用了系统的衰减过程,用ϑ(t)x(tk)来逼近x(t),减少相对误差,进而达到减少事件触发次数的目的.然而,对实际系统而言,其状态往往是一个震荡衰减的过程,存在状态上升的过程.在上升过程中,文献[12,14–16]中的指数衰减方法就会起到适得其反的效果.为了避免此类问题,文献[17]借助两个符号函数,引入了另外一个指数项µi(t)exp{ηsgn(xi(tk))sgn(xi(tk))(t −tk)},并将测量误差定义为e(t)x(t)−µ(t)x(tk),其中µ(t)为µi(t)组成的对角阵.同时,将控制输入设计为u(t)Kµ(t)x(tk).事实上,此方法中的两个符号函数,对采样瞬间系统状态的单调性进行判断,使得µ(t)x(tk)能够迎合连续状态的局部变化趋势.旨在减小测量误差e(t),降低事件触发频率的同时,达到连续控制输入u(t)Kx(t)的控制效果.文献[4]将此方法命名为指数逼近法.然而,不难发现,指数逼近法只能在采样时刻tk改变控制输入的单调性.在采样区间[tk,tk+1),控制输入依然是单调的.在此区间内,如果系统状态x(t)的单调性发生改变,也会加速事件的触发.特别地,文献[12,14–17]的控制方法中,都存在一个可调参数λ和η.如若这些参数选取不当,就会出现过拟合或者欠拟合的现象,继而加剧事件触发的频率.

为了克服文献[12,14–17]中方法的局限性,本文主要提出基于近似解输入法的事件触发控制方法.旨在利用采样信号,构造对系统的近似解,以及控制器和触发条件,进一步实现连续状态反馈的近似控制效果.考虑一类带有不确定参数的利普希茨非线性系统的事件触发控制.将系统线性化,根据线性化系统解析解的定义和采样信号,构造新的指数项,实现对不确定系统状态的有效逼近或近似.将测量误差e(t)定义为不确定非线性系统的当前状态与近似状态之间的误差,进而构造事件触发条件和控制输入.最终通过Lyapunov方法建立相关稳定性判据.本文还将所提方法推广到动态触发控制方案,增大触发阈值,提升所得结果.

2 非线性系统的事件触发控制

在实际情况中,由于外界环境干扰、建模误差、系统老化或系统磨损等原因,系统往往处于亚健康状态,系统的参数会存在一定的扰动.考虑下列非线性系统:

其 中:A ∈Rn×n,W1∈Rn×m,W0∈Rm×n,B ∈Rn×q为系统矩阵;ΔA ∈Rn×n,ΔW ∈Rn×m为参数扰动,且满足ΔAEΣ(t)F,ΔWGΘ(t)H,其中E,G,F,H为已知矩阵,ΣT(t)Σ(t)≤I,ΘT(t)Θ(t)≤I.

假设函数fr(·)满足fr(0)0,r1,2,···,m,及以下条件:

其中l1r和l2r为已知常数.记l1diag{l11,l12,···,l1m},l2diag{l21,l22,···,l2m}.

2.1 事件触发条件和控制器

对任意满足条件l1≤L≤l2的常对角矩阵L,可将系统(2)线性化近似为带有参数扰动的线性系统

系统在区间[tk,tk+1)上的解析解为

不妨将其视为系统(2)的近似解来研究事件触发控制.

令xb(t)e(A+W1LW0+BK)(t−tk)x(tk).构造事件触发状态反馈控制器

定义测量误差eb(t)x(t)−xb(t),设计下列事件触发条件:

其中:Ω ∈Rn×n是一个正定的常数矩阵,ε是表示阈值的常数.

注1从事件触发条件方面来看,相比于文献[12,14–17]中的指数衰减法和指数逼近法,本文方法允许xb(t)在区间[tk,tk+1)内是非单调的,能够更好地实现对连续状态x(t)的模拟,减小(t)Ωeb(t)的取值,进而有利于减少事件触发的次数.从控制器方面来看,本文通过u(t)Kxb(t)来近似地替代连续反馈u(t)Kx(t),在一定程度上可以模拟连续状态反馈的控制效果.

注2在实际系统中,系统(2)中的输入矩阵B可能存在不确定性.如果B存在不确定项ΔB,可以利用与不确定项ΔA相同的处理方法来处理ΔB,并建立相关稳定判据.关于不确定参数的处理方法,读者也可以参考关于现代控制理论或者鲁棒控制的教材或论著.由于本文的主要目的是提出基于近似解输入法的事件触发控制策略,而不是对参数不确定性的处理.本文只考虑了系统矩阵A和W1的不确定性,简化了系统模型.

2.2 稳定性条件

由控制器(5a),闭环系统(2)可以写作:

由式(5)和式(6),可以得到以下结果.

定理1对于给定阈值ε>0和控制增益K ∈Rm×n,在事件触发控制策略(5)下,闭环系统(2)是渐近稳定的,如果存在n阶矩阵P >0,Ω >0,N1,N2和m阶对角矩阵Q1>0,Q2>0,Λ>0,以及正常数r1,r2,使得下列条件成立:

证考虑以下李雅普诺夫函数

计算V(t)的导数,得

对任意的矩阵N1∈Rn×n,N2∈Rn×n,以及正常数r1,r2,下列不等式条件成立:

考虑关于非线性函数f(·)的条件(3),对于任何正定对角矩阵Λ ∈Rm×m,下列不等式成立:

当t ∈[tk,tk+1)时,由事件触发机制(5b),得

联立式(9)–(12),得

最后,根据Schur补引理,条件(7)等价于Ξ <0,即条件(7)保证<0. 证毕.

下面说明本文中方法不会带来Zeno现象,即不会在有限时间间隔内发生无数次事件.

定理2在触发条件(5b)下,存在一个正常数τ,使得任意两次事件的触发间隔满足tk+1−tk≥τ.

证根据触发条件(5b),易知对任意的t ∈[tk,tk+1),条件‖eb(t)‖≤α‖x(t)‖成立,其中

当存在某时刻t,使得x(t)为0时,可以得出‖eb(t)‖0,‖xb(t)‖0.这就意味着非线性系统(2)的状态已经达到了有限时间稳定.在这时,控制器和事件发生器处于待机状态,也就不需要考虑Zeno现象的发生.接下来,主要考虑‖x(t)‖0的情况.

记g(W0x(t))f(W0x(t))−l1W0x(t),可得其满足条件

其中ll2−l1.

非线性系统(2)可重写为

考虑测量误差eb(t)在区间[tk,tk+1)内的微分,可得

进而,可知

其中:

注3当测量误差为传统的eb(t)x(t)−x(tk)时,有t ∈[tk,tk+1).由类似的方法可以证明,此时连续两次事件的触发间隔满足

2.3 动态触发机制

本文的近似解输入法本质上是改变了测量误差的计算方式,缩小了相对误差取值,进而可以减少事件发生的次数.而文献[18]提出了动态事件触发方案.这种方法实际上是增大了触发的阈值.本文所提方法完全可以结合动态事件触发方案进行推广,进一步减少事件发生的次数,降低网络的通讯负担.

定义动态变量β(t)

其中ϕ(·)为利普希茨非线性K∞函数,且满足ϕ(0)0.初值β(t0)β0≥0.相应的动态触发条件为

对于动态触发,可不加证明得到以下结果.

定理3对于给定常数ε>0,θ >0和控制增益K ∈Rm×n,如果定理1中的条件成立,则在事件触发条件(16)作用下,控制输入(5a)可以保证系统(2)是渐进稳定的.

证考虑泛函W(t)V(t)+β(t),证明方法与文献[18]类似,此处不再赘述. 证毕.

注4类似于文献[18],可以证明在动态触发条件(16)下,当初值β0≥0时,对任意的时间t>0,可得变量β(t)≥0.进而易判断,在动态触发条件(16)下,连续两次事件的触发间隔不小于τ.

2.4 关于线性系统的推论

考虑如下线性系统:

其中:x(t)col{x1(t),x2(t),···,xn(t)}∈Rn代表状态变量;u(t)∈Rq代表待设计的控制器,A ∈Rn×n和B ∈Rn×q是常数矩阵;ΔA ∈Rn×n为参数扰动.假 设ΔAEΣ(t)F,其 中ΣT(t)Σ(t)≤I,E ∈Rn×p,F ∈Rp×n为已知矩阵.

对于无参数扰动系统

而言,在区间[tk,tk+1)上的解析解为

不妨将e(A+BK)(t−tk)x(tk)视为系统(17)在区间[tk,tk+1)上的近似解,来研究事件触发控制.

记xa(t)e(A+BK)(t−tk)x(tk).本文构造如下事件触发状态反馈控制器:

定义测量误差ea(t)x(t)−xa(t),则本文设计的事件触发条件为

由控制器(18a),闭环系统(17)可以写成

给出如下稳定性判据.

推论1对于给定阈值ε>0和控制增益K ∈Rm×n,在事件触发控制策略(18)下,如果存在恰当维数的正定矩阵P,Ω,任意的矩阵N1,N2,以及正常数r0使得下列条件成立,则系统(17)是渐进稳定的:

参照定理2的证明方法,可以说明事件触发条件(18b)也可以避免Zeno行为,此处不再赘述.

类似地,触发条件(18b)可以结合文献[18]中的动态事件触发方案进行推广.定义动态变量α(t)

其中ϕ(·)为利普希茨非线性K∞函数,且满足ϕ(0)0.系统(21)的初值设定为α(t0)α0≥0.相应的动态触发条件为

对于动态触发,给出如下稳定性结果.

推论2对于给定常数ε>0,θ >0和控制增益K ∈Rm×n,如果推论1中的条件成立,则在事件触发条件(22)作用下,控制输入(18a)可以保证系统(17)是渐进稳定的.

3 数值仿真

例1考虑具有以下参数的二维非线性系统(2):

本文采用Forward-Euler法进行数值仿真.仿真时间和步长分别为T15和hs0.001.选择初始条件为x(0)col{3,0}.图1给出了与已有文献的仿真对比结果,图中绿线代表事件发生时刻.仿真结果显示,本文的近似解输入法、传统事件触发方法[1,13]、指数衰减法[12,14–16]、指数逼近法[17]所产生的事件数分别为17,59,50,35.与已有的3种方法相比,本文方法的事件次数分别减少了71.19%,66%,51.43%.

图1 控制器响应Fig.1 The responses of controller

令式(15)中函数ϕ(s)s,常数θ1.图2展示了本文中动态触发条件(16)与文献[18]的仿真结果.仿真中,本文中动态触发条件(16)产生的事件数为8次,而文献[18]中的方法为17次,约是本文方法的2倍.由此可见,本文的所提方法切实可以减少事件触发的次数,继而降低网络的通讯负担.

例2考虑具有以下参数的二维线性系统(17):

此算例依然采用Forward-Euler 法进行数值仿真.仿真时间和步长分别为T20和h0.001.系统的初始条件选取为x(0)col{3,0}.图3给出了与已有文献的仿真对比结果.仿真结果显示,本文的近似解输入法、传统事件触发方法[1,13]、指数衰减法[12,14–16]、指数逼近法[17]所产生的事件数分别为18,38,29,28.显然,本文所提出的方法策略(18)比现有方法策略更能减少采样数量.

图3 控制器响应Fig.3 The responses of controller

接下来,比较本文中基于近似解输入法的动态触发方案(22)与文献[18]的仿真结果.简便起见,取式(21)中的函数ϕ(s)s,常数θ1.仿真结果如图4所示.仿真中,本文中动态触发条件(22)产生的事件数为14次,而文献[18]中的方法为43次,约是本文方法的3倍.

图4 控制器和动态变量α(t)的响应Fig.4 The responses of controller and dynamic variable α(t)

4 结论

本文针对带有不确定参数的利普希茨非线性系统的事件触发控制问题,提出了基于近似解输入法的控制策略.通过对非线性进行系统线性化处理后,该方法将确定性线性系统的局部解作为近似解,构造了相应的事件触发条件和控制器,并给出了相应的稳定性判据.理论分析表明,本文方法可以避免Zeno现象,且在一定条件下可以增大最小事件间隔.本文还将所提方法结合动态触发控制方案作进一步推广,提高了事件触发阈值,并得到了相应的动态触发条件和系统稳定性条件.实验仿真表明,本文方法相比已有方法,可以减少数倍的事件发生次数,进而有利于降低网络的通讯负担.