解锁反问题新领域

范德强

自20世纪60年代以来，地球物理、医学成像、模式识别等众多科学领域，都提出了“由结果反求原因”的反演问题（以下简称“反问题”）。由于此类问题有着广泛而重要的应用前景，而且其理论又极具新颖性与挑战性，所以它已发展为数学学科中的一个重要分支。

将不可直接测量的物体通过数学模型进行可测量转化，是反问题研究的主要思路。例如：脑癌的CT检测在不开颅的情况下，可以通过外部的检测确定颅内的病变;月球是圆的、太阳的性质等结论得出时，人类并没有跑到这些天体上去进行直接测量，而是通过接收天体发出的各类信号，去研究它的相关特性，这些都是反问题研究的典型案例。

反问题研究虽然解决了许多复杂问题，但大部分反问题都是病态（不适定）的，因而在解决问题的过程中会面临两个困难：一是如果带误差的数据不属于数学模型的值域，则经典意义下的近似解不存在;二是小的观察误差会导致经典意义下的近似解与真解的严重偏离。为了处理此类问题，正则化方法应运而生。

2011年以来，张晔一直从事不适定性反问题的正则化理论研究和具体物理学中反问题的算法设计。他介绍：随着反问题研究广度和深度的不断扩展，在数学之外的其他地方，如生物医学、天文学等领域很多问题均可以理解为广义上的反问题。尤其在人工智能发展的浪潮下，反问题理论更成为当前研究热点——大数据分析和机器学习，最有可能的理论框架。而这些问题的解决亟待新理论的提出和新方法的应用。

2019年结束在海外12年的求学和科研生涯，张晔作为北京理工大学数学与统计学院和深圳北理莫斯科大学双聘教授回到国内，与国内的反问题研究团队进行深入合作。如今，他的目标是发展反问题相关的新方向和新领域，为扩大我国在该问题研究上的国际影响力作一些贡献。

结缘反问题

张晔本科毕业于浙江大学信息与计算科学系，但他学的并不是计算机而是数学专业。导师程晓良教授，是黄鸿慈院士的学生，作为我国最早进行有限元方法的研究者之一，黄院士为我国独立发展这一方法作出了重要贡献。作为黄院士的学生，程晓良教授的研究自然与有限元相关，并且本科时他指导张晔做的课题也是有限元相关的网格加密算法研究。虽说张晔早期的研究与反问题没有太大关系，但总的来说却都与算法相关。因此后来将科研方向转到反问题研究后，张晔并未感觉到不适应。

与反问题研究结缘，与张晔在俄罗斯的求学经历有关。在浙江大学毕业后，张晔获得了到莫斯科国立罗蒙诺索夫大学攻读硕博士的机会。由于对物理感兴趣，也是因为莫斯科大学物理系培养了8名诺贝尔奖获得者，在国外求学伊始他就转到了物理专业。俄罗斯的物理更偏向于理论研究，尤其偏向于用数学工具来描述物理现象，所以数学与物理相结合让他不仅学到了很多跟物理相关的数学知识，也学到了一些跟数学相关的物理知识。

正因为有这样的学术训练，博士阶段张晔顺利进入莫斯科大学数学物理反问题研究组进行学习，并从此与反问题结缘。

莫斯科大学反问题研究组的创建者是吉洪诺夫，他是20世纪苏联著名的数学家和地球物理学家，也是反问题正则化理论的创始人，以他的名字命名的“吉洪诺夫正则化”成为反问题、控制优化、机器学习里最常用的方法。而张晔的导师、现任研究组带头人A.G.Yagola教授则是吉洪诺夫的学生。传承老师吉洪诺夫的衣钵，A.G.Yagola教授也为反问题研究作出了重要贡献，通过研究反问题他帮助俄罗斯发现了许多行星，也因此获得列宁勋章等多项苏联、俄罗斯的国家级奖项，是国际知名的应用数学家。

亦师亦友的Yagola教授对学生采取“放养”的方式，在整个硕博士期间，他并未给张晔指定过具体的研究方向，只在大方向上为他把关。只要问题有一定的探索性，张晔本人又觉得有意义，导师都会支持他做下去。作为传统的俄罗斯数学家，Yagola教授认为博士期间要以打基础为主，为发表文章，选一个不可持续、没有数学品位的课题做，他并不提倡。所以张晔博士刚毕业时并没有多少文章发表但对整体理论框架的训练却非常完整。

因此即使博士毕业，因发表论文少，找工作遇到了一些困难，张晔还是很感谢在俄罗斯求学的那段时光。“因为Yagola教授提供的宽松氛围，我没有为一定要找一个非常热门的方向去做而焦虑过，只是一门心思想把基础打好，后來我发现扎实的基础对我所做的研究真的很重要，因为有了牢固的根基，遇到一些机会时你才能马上抓住它。”

如今，张晔与Yagola教授仍保持着联系。不同的是，博士毕业后，Yagola教授反而会对具体做哪个科研方向向张晔提出一些建议，Yagola教授常会问他：“有没有兴趣做这个？我们一起做。”

在俄罗斯求学期间，或许是在那里留学的华人少，因此张晔周围接触到的基本都是俄罗斯人，给他留下深刻印象的是他的一位同门师兄。这位师兄不仅推导数学公式很快，而且还不会出错，被大家视为天才般的存在。

他曾跟张晔说：“做一件事，一定要知道自己在干什么，要培养独立完成任务的能力，也要对自己所做事情的正确性负责。”他所做的工作之所以不会出错，是因为在完成后，他都会反复做检查。

这位师兄对张晔影响很大，以他为榜样，张晔以同样的标准要求自己，科研素质获得了提升。离开俄罗斯后，他又在多个国家辗转，并与很多国外同行建立了密切的合作关系和深厚的友谊。之所以能获得同行的认可，他身上独立、认真的特质或许就是吸引他人的一个原因。

感受多元文化

2014年在莫斯科国立罗蒙诺索夫大学博士毕业后，张晔转赴离诺贝尔的故乡最近的大学——瑞典厄勒布鲁大学做博士后研究，之后获得长聘研究员的教职。2017在德国洪堡基金的资助下，他获得到德国开姆尼茨工业大学做博士后研究的机会，在以反问题正则化理论研究闻名于世的开姆尼兹反问题研究组工作，合作导师是该研究组带头人B.Hofmann教授。与此同时，张晔在瑞典卡尔斯塔德大学、厄勒布鲁大学的工作也并未停止。

丰富的海外求学和科研经历，让他的视野更加开阔，思想也潜移默化受到多元文化的影响。“很多人都说俄罗斯人比较怪，因为他们不追求热点，更热衷于做自己认为有用的东西。一辈子专注研究一个问题，哪怕到最后都没被人发现所做研究的价值，他们也照样愿意做。正因为有这些人，所以世界上很多原创性的理论都起源于俄罗斯。这也是我当时选择去那里的原因，对他们这种价值观，我是认可的。德国则是一个传统的科技强国，可能一开始会觉得德国人比较死板，但跟他们接触起来，其实人都非常好，他们对学术的态度很严谨，而且你一旦有事找到他们，他们都非常乐意提供帮助。”张晔说。

而在瑞典的工作，则让他的研究与应用建立了联系。由于瑞典是一个小国，科研要在国际上站稳脚跟，遍地开花做研究显然不符合它的国情，所以必须把财力、精力投入少数几个重点方向的研究上。而且张晔发现，与理论研究比起来，这个国家似乎更重视应用性的研究。

这一点从张晔获得的项目资助上就能看出来，在瑞典工作期间，他只主持过1项中瑞合作数学类项目，却参与了5项应用类科研项目，其中有4项是与液相色谱法相关的瑞典自然基金项目和瑞典工业部项目，1项是关于生物制药的瑞典重点项目，张晔在其中负责了“数学建模和软件开发”子课题。

张晔介绍，阿斯利康是全球领先的制药公司，5个项目中有一半的项目跟这家药企有联系。具体到研究上就是如何把药物快速、精准地分离出来。“如果只是比较粗糙的分离，可能做实验就行，但如果需要高精度的分离，用数学模型更能把握住精准度，可以使提取的药物达到99%以上的纯度。”

张晔坦言，与瑞典分离科学领域的知名团队合作，虽然他们属于不同的领域，但却碰撞出了不少令人欣喜的火花。“过去解决相关问题，他们只能通过不停地做实验，后来发现用反问题的思路，通过数学模拟就可以计算得很精确，他们感到非常神奇。而我也通过合作和参与这些应用项目，更加了解了自己所做研究的意义和价值。”张晔说，“虽然数学能做的东西还是有限，只能解决一部分问题，不能代替所有的实验，但数学的代价很小，我的工作就是希望把能解决问题的范围尽可能扩大，不用过分依靠实验，不用耗费财力、物力就能给出结论。”

海外的经历，重塑了张晔的学术态度、思维方式，而专注于数学物理反问题的数学建模、正则化理论和科学计算研究，把握国外相关研究的最新动向，吸取同行的宝贵经验，张晔的研究也取得了一系列可圈可点的成绩。他在应用数学和统计学的国际顶级杂志发表高水平论文20余篇。他提出并研究了广义渐近正则化理论，从一个新视角研究了加速正则化算法，发表的其中一篇文章被评为高被引论文，成为国际知名杂志Applicable Analysis自2011年以来最受欢迎的文章之一（排名第三），相关结果引发了包括SIAM会士Kunisch教授和反问题杂志主编Scherzer教授等知名数学家的后续工作。结合均匀化理论和正则化理论，张晔还给出了多尺度反问题的高效反演算法，成果被AMS会士、SIAM会士Efendiev教授所引用。此外，他编写的软件AIDA还成为生物制药分离科学目前三个最通用的软件之一。

在海外拼搏12年，张晔始终关注着国内的发展，看到国内各行各业迅猛、强劲的发展势头，他非常希望能参与进来，为国家发展出一份力，为推动反问题研究在中国的前行尽一份责。怀抱这些理想，张晔踏上了归国的行程。

解生物制药难题

回国之前，Yagola教授给张晔发信息，让他考虑一下深圳北理莫斯科大学，他非常希望张晔能到这里任教，并为中俄友谊做一些事情。张晔听从导师的建议，一回国就到了深圳，并成为深圳北理莫斯科大学和北京理工大学数学与统计学院的双聘教授、博士生导师。

在国内，张晔感受到国家对基础科学研究的支持力度，除获得国家级人才项目的支持外，他也拿到了校级、深圳市、广东省的项目支持。目前他正在申请国家自然科学基金项目和深圳市重点项目。他重新将自己的研究重点放在不适定性反问题的正则化理论研究上，并同时关注其在自然科学的应用探索，力求在反问题正则化理论及与之相关的应用领域取得一流的原创性科研成果。

依托北京理工大学数学和统计学的一级学科博士点，数学博士后科研流动站及北京市重点实验室“复杂信息数学表征分析与应用实验室”和与中国航天科工集团有限公司共建的“非线性科學与应用数学”联合实验室等一系列科学研究与人才培养平台及大型的并行计算设备，与瑞典卡尔斯塔德大学的Fornstedt教授和厄勒布鲁大学的Gulliksson教授、德国开姆尼茨工业大学的Hofmann教授、新加坡国立大学的姚志刚副教授和浙江大学的程晓良教授继续开展合作，在瑞典所做研究的基础上，继续开展液相色谱法反问题的数学建模与新正则化方法的研究，是张晔近期的工作计划。

张晔介绍，将混合物中不同的成分进行分离和提纯在很多领域都有重要的应用，如化学、制药、生物医学、食品工业、农学、商法检等。液相色谱法是一种分离混合成分的技术，它能高效地解决很多传统方法（如蒸馏法和提炼法）无法解决的分离问题。该方法常应用于需要对产品进行高度提纯的任务中。近年来，随着生物制药的发展，下一代药物在很大程度上基于生物分子，如肽、核苷酸、mRNA和治疗性蛋白质等，而不是当前畅销品中使用的小分子物质，如洛赛克、埃索美拉唑和希爱力等。

但由于可能存在多个不同的结合位点、大分子之间形成聚集体的折叠问题、缓慢的解离动力学现象，以及更复杂的异质性热力学现象，使生物分子的分析和分离变得异常复杂。欧洲和美国的科研机构及大型制药公司（如阿斯利康、Attana等）已大力地展开对生物制药相关方向的研究。相对而言，中国在这些技术本身和仪器制造等核心产业的研发尚存在较大发展空间。因此，发展一套适用于生物制药的液相色谱法迫在眉睫。

围绕这个科学问题，从最原始的物理机理出发，张晔将基于实验室的传统一维数学模型推广到适用于药厂环境的高维模型，并基于间断有限元方法和奇异摄动理论中的渐进方法，开发出相应的高效数值求解算法。

而生物分子间的相关作用所对应的数学问题是高度非线性的不适定反问题。为此，他们将以此类反问题为背景，研究非线性反问题的机器学习方法和随机反演算法，以期克服一般反问题所面临的共性难题：不适定性和逃离局部最小解。

以液相色谱法为研究技术，以生物分子间的相互作用关系为研究目的，以高维偏微分方程为数学模型，以非线性反问题的新正则化方法为研究手段，张晔及团队将发展一套刻画大分子间相互作用的高效数值算法，给出适用于大部分生物分子液相色谱法的“一体化”软件平台，从而为生物分子液相色谱法提供理论支撑，解决生物制药中高精度分离的难题，为中国未来的生物制药业发展奠定坚实的基础。

教书育人是本职

拥有在俄罗斯莫斯科大学、瑞典厄勒布鲁大学和卡尔斯塔德大学及德国开姆尼茨工业大学的求学和教学经历，张晔认识到人才培养是大学教师最重要和本职的工作。

立足北京理工大学和深圳北理莫斯科大学的特色教学资源，结合国际上先进且卓有成效的经验和教学方法，张晔致力于为广大学生提供基础和科研并存、广度和深度兼有的优秀课程。落实到具体中，他将精选优秀外文教材，让学生了解该学科的基础和广度;同时通过总结最新文献、同行交流及学术会议的报告，将学科领域的国际研究现状和发展趋势尽力向学生呈现。

张晔带领学生积极参加各种数学类竞赛，辅导的学生曾获得全国数学建模竞赛一等奖、美国数学建模竞赛特等提名奖等奖项，实现了学校数学类竞赛获奖情况零的突破，同时张晔本人也多次获得广东省数学建模优秀指导教师奖。

在研究生培养上，他也做了一些计划，将以培养和调动学生科研的主动性为首要目标，积极鼓励学生参与国际交流，在接受扎实的数学基本功训练的同时拥有对国际前沿的良好视野，具备开展高质量的科研课题研究的能力，发表高水平论文。目前，他正和莫斯科大学的一位教授合作编写一部中文计算数学教材，他希望借由此次合作为促进中俄“一带一路”科技教育文化交流作贡献，为中俄战略合作與区域经济社会发展培养高质量的特色人才。

由于精通中英俄三语，领导推荐张晔担任深圳北理莫斯科大学计算数学与控制系的副系主任，一心想着做科研的张晔却婉拒了这一任命。但为了中俄教育合作和学校的发展，他选择暂时代理副系主任一职，直到学校找到合适的人选。做代理副系主任以来，张晔非常重视系里的学科建设，带领团队成功为学校拿到了数学与应用数学专业的学士学位授予资格。

除了将自己的科研做好，把学生培养好，作为深圳北理莫斯科大学反问题研究团队的负责人和计算数学与控制联合研究中心的中方执行主任，将团队和中心建设好更是张晔的责任。

虽然回国没多久，但团队组建却很顺利，一批优秀的国际化专家和研究生陆续加入进来，他们中有研究正则化理论的、有研究偏微分方程理论的，还有研究数值计算和机器学习理论基础的，与国内外其他科研团队合作与交流，以建成国内乃至国际上有一定影响力的以反问题正则化理论和应用为特色的科研团队为目标，团队正不断走向壮大。

而计算数学与控制联合研究中心虽在创立和运行过程中遇到了一些困难，但在各方大力支持和努力下，联合研究中心已经开始进入常规运行，未来将对人工智能、信息安全技术、复杂的数学建模，以及超级计算中心等相关领域的前沿问题开展深入研究。

张晔相信，依托莫斯科国立大学计算数学和控制系、北京理工大学和深圳北理莫斯科大学相关院系合作三方的优势资源，在世界众多顶尖数学家的共同努力下，联合研究中心必会在数学研究上结出累累硕果，在着力培养数学领域的高水平人才上，为世界作出卓越贡献。