单位化思想视角下的除法运算本质与教学建议

刘加霞　孙海燕

摘 要 单位化是问题解决的策略，也是重要数学思想。其核心是“确定‘谁是单位”并通过“操作单位”解决问题。单位化思想贯穿小学数学始终，但对除法学习的价值被忽视。包含除的本质就是单位化，即数出“被除数里有多少个除数”，同样地等分除也蕴含单位化思想。二者是除法的基本模型，不可顾此失彼。除法意义教学要设计“较复杂的平均分情境”，对比分析等分除与包含除的异同，将包含除运用到分数认识与分数除法中。

关键词 单位化思想 等分除 包含除

一般地，人们在问题解决时，为了规范地、统一地度量某类对象，需要约定统一的量度标准以便于表达、交流与运用。在比较或度量某些事物时，往往设定一个或多个标准量作为度量单元（即单位或单位体系），有意识地用“单位”来量化研究对象，旨在简化问题解决的思维过程，这种解决问题的思维策略称之为“单位化思想”。单位化思想就是用统一的“单位（单位体系）”刻画概念、阐明思维过程，强化对概念的理解与应用，使思维过程变得清晰有序[1]。

单位化思想贯穿小学数学的始终。但在除法学习中未得到足够重视，尤其当下教材、教学中淡化了“包含除”，不重视包含除也导致分数除以分数的算理较难理解[2]。

一、单位化思想对学习自然数除法的价值分析

除法建立在平均分基础上，从平均分的过程来看有两个不同模型，通常称为“等分除”与“包含除”。包含除中的单位化思想较为明显，等分除中好像不明显，但实际上“平均分”过程中的每一步（例如2个一份地分）都是按照“标准”分配，所以，单位化思想在这两种除法中都具有重要价值。

1.除法意义的两个模型相互依存

乘法的基本模型是“每份数×分数=积”，进一步抽象为“因数×因数=积”，对应不同的现实模型。作为乘法的逆运算，除法被定义为“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”，所以相应的除法有两种模型：一种是已知总数和每份数，求份数，例如：求15里面有几个5，这是“包含除”，对应的除法算式是15÷5=3，单位化思想最为明显。但当下各个教材中忽视了包含除[2]，也忽视了单位化思想在理解除法含义、计算以及算理方面的作用。除法另一种模型是已知总数和份数，求每份数。例如：把15平均分成5份，求每份是多少，这是“等分除”，对应的除法算式也是15÷5=3。这两种不同的意义是通过一个平均分物的数学模型产生的，它们地位相等而且都与“份”“单位”密切相关，因此，从“单位”的角度认识除法意义有重要价值。

2.除法运算背后的“单位化”思想

（1）“包含除”更能体现单位化思想。乘法来源于加法，“求几个相同加数的和”用乘法更为便捷，除法是乘法的逆运算，它的本质就是减去若干个相同数。这说明“包含除”对理解除法的意义以及借助单位化思想理解整数除法含义、算法算理等都有举足轻重作用。皮亚杰认为测量单位的概念包含任意地再分一个连续的整体（被测物体）。这与“包含除”表达的意义不谋而合。这也是为什么基于乘除法之间的关系理解除法含义时，比起“把一个整体平均分成若干个相同的部分”，学生更容易想到除法就是“不停的减去相同的部分”，这样的理解更接近测量的本质也就是除法的本质，为此能够深入理解分数的性质、比的性质与除法商不变的性质等都是单位及其个数之间的辩证关系。因此，学习除法的意义时首先应该从“包含除”模型来理解，也更凸显出单位化思想的作用。

（2）“平均分”时“几个几个地分”仍然是单位化思想。“平均分”时“几个几个地分”仍然是单位化思想，只不过这时的“单位”需要不断地调整，没有“分完”之前的每一次“平均分”都可以说是“包含除”。例如，36块糖，平均分给3个人，每人分得几块？在平均分时如果直接“12个、12个”地分，这就是包含除;如果“1个、1个地”分给3人，继续分几次后，发现“分的速度”太慢，调整为“3个、3个”地分，可以说每一次“平均分”都有单位化思想，尤其不断调整“每次分几个”的过程，即是确定“合适单位”的过程。平均分的思考过程更复杂，其中的“单位”需要灵活调整，最终找到那个合适的“单位（每份数）”。这个调整“单位”的过程是学生深入理解平均分进而理解除法意义的过程，不可忽视。

遗憾的是，很多时候由于数量太少，学生要么一眼就能看出每份有几个，要么借助已有的乘法口诀的知识经验，不需要“平均分”的过程，直接就能确定这个“单位”，可以说没有“思维的投入”。如何设计活动才能让学生经历平均分的过程，体会其中蕴含的“单位化”思想，进而理解除法的意义呢？下面给出一些教学建议。

二、单位化思想助力除法意义学习的教学建议

1.“初步认识”除法时要兼顾除法的“等分除、包含除”模型

不同版本的教材编排常用的情境是“平均分物”。以人教版教材为例，在二年级下册表内除法单元，安排了3个例题教学“平均分”，作为学习除法的开始，例1建立“平均分”的概念，例2探讨“平均分”的方法，让学生认识“等分”;例3继续探讨“平均分”的方法，让学生认识“包含”。教材这样编排，加强了“分”的认识，让学生充分参与“平均分”的实践活动，形成平均分的表象，既为学生认识“除法”积累丰富的经验，又使学生对“除法”产生了亲切感。

在张奠宙教授的文章中曾呈现一组关于不同版本教材在编排主问题时，涉及“等分除”的情况远远多于“包含除”，张教授指出教材“亏待”了包含除[3]。也就是说教材在编排上虽然让学生充分经历平均分的过程，建立“平均分”的概念，但无论在内容编排顺序还是内容的数量上仍然存在着厚“等分除”薄“包含除”的现象，这就使得教师教学时重视“等分除”，也忽视“包含除”。然而，忽视“包含除”后患无穷[2]，具体有以下表现。

一是影响学生对除法概念理解的深度。從除法的意义来看，等分和包含是同一个情境中两类互相依存的除法问题，是除法含义的两个方面，忽略包含除就忽略了“把除数作为‘测量单位在分被除数”的这层含义，就不能说学生对除法意义实现了真正的理解。

二是限制学生对分数概念的全面理解。五年级学生学习分数意义，与三年级学习“平均分物产生分数”相比，知识的生长点在于感悟“测量产生分数”，也就是要回答一个小于单位“1”的量怎么表示，由此可以引出分数（或小数）。与包含除密切相关的情形是：先知道分到的一部分的大小，然后问“该部分在整体中占多少”。例如人教版教材在“分数的意义和性质”开头，呈现了几个人用等距离打了结的绳子测量一个箱子的边长，提出问题：剩下的绳子不足一节，怎么记？这时如果一节绳子恰好是三个尾部之长，那么尾部长度就可以表示为  ;如果一节绳子包含三个“半截尾部”，那么尾部长度占一节的  [4]。这是从“单位”的角度认识分数的意义的契机，为了全面理解分数概念，需要包含除的模型。

三是无法理解分数除法的算理。分数除法要依据颠倒相乘的规则进行，说明起来相当困难。分数除以整数用等分除模型比较容易理解，但是一个数除以分数使用等分除模型则不大合适，[5]如4÷  ，不能说把4个物体平均分成  份，但是可以问4里面包含着多少个  ，如果没有包含除，其算理很难被学生理解。借助“份”导出算理，这是单位化思想在发挥作用。

四是阻碍学生问题解决的思路。由于问题解决中涉及的大部分数量关系都存在两个平等的因数相乘，如：速度×时间=路程、单价×数量=总价等等，不能平等对待两种“平均分”也就不能应对问题解决中对数量关系的分析，造成解题失败。

因此，基于教材的编排，教师要努力调整认知，以期设计不偏不倚的除法情境，真正让学生在概念建立初期就能平等对待这对“孪生兄弟”。

2.基于学情设计教学活动，突出单位化思想

教学中常常会遇到这样的情况：当问题情境“把15个橘子平均分成5份，每份是几个” 呈现后，学生通常不会按照老师的希望通过动手操作，经历分的过程，去体会平均分，而是利用口诀得到了结果，尽管老师把要分的15个橘子刻意凌乱的摆在黑板上，不想让学生数出总数，学生仍然会直奔结果。这样忽略分的过程与方法，学生无法体会平均分的含义，更谈不上对除法意义的理解。可以考虑从以下几个方面做出努力。

（1）通过操作活动促进学生多种感官参与，经历平均分的过程。如何让学生主动探索平均分的方法、理解平均分的概念呢？数学课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的思维是在活动中发生的，并随着活动的深入得到发展。针对学生用口诀寻找结果而并不采用平均分的方法这一情况，我们设计分扑克牌的游戏，引发学生动手分的需要，体会分的必要性，从而自觉的经历分的过程。下面是教学片断：

教师拿出一摞数好的扑克牌（不向学生说明数量）。

师：谁能把它们平均分给4名同学？

生1接过扑克牌，学生马上要数有多少张扑克牌。

教师（制止）：如果不知道扑克牌的数量你能想办法完成这个任务吗？

生1略作思索后，开始一张一张的“发牌”，发了一轮以后，发现自己手中还有很多扑克牌，于是第二轮他“大胆的”开始每人分两张，第三轮他更大胆的每人3张，但是到最后发现牌不够了，于是他不好意思的，把刚刚每人发的3张要了回来，重新按每人两张发放，结果正好分完。

……

像这样经过逐步的尝试与调整，分的活动从不合适到正好分完，经历了1份——也就是“单位”从最初的假设到明确的过程，“单位”逐渐清晰的过程也是帮助学生从“单位”的角度获得对除法意义本质的深入理解。

（2）基于对比突出除法两个模型之间的区别和联系，全面理解除法意义。在前述“等分”操作活动的基础上，再呈现“包含”的分物情形。可以再提供一些扑克牌，每人分4张，可以分给几个人，这时又该如何分呢？有了前面分物的经验，学生很自然地会对比两次“平均分”的过程不同，进而感悟两种操作的区别和联系。

在对比之后，师生得出两次分的区别是：当我们心里知道要分给几个人，就一张一张地或者几张几张地分给这几人，分完才知道每人有几张;当我们知道一人有几张，我们就一份一份地把它们分走，分完就知道有几人了。

第二个平均分的活动是有标准的，知道一份是多少，就是知道“单位”，能分出几个“单位”，就能分给几个人。两次分的联系是：每份分得同样多，这里的“每份”就是作为“单位”存在的，学生通过对两次分物活动的对比反思，对“等分”和“包含”有了直观而且对等的认识，为学生全面理解除法的意义奠定了基础。

其实，在学生后续的除法学习中，单位化思想会始终贯穿其中，无论是深化对除法意义的理解，还是理解除法的算理算法，亦或是解决问题我们都能从中发现“单位”的存在和价值。以单位化思想为统领，可以帮助学生打通并加深对除法的认识，甚至还可以将分数、比、倍等核心内容与除法更紧密的联系在一起。

参考文献

[1] 闫云梅，刘加霞.经历计数过程，体验单位化思想——评赵燕老师“万以内数的认识”[J].小学教学：数学版，2009（12）：24-26.

[2] 张奠宙，等，小学数学教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：81.

[3] 张奠宙. 教材编写要注意防止片面的思维定式——评小学数学教材中忽视“包含除”的倾向[J].小学教学：数学版，2015（09）：4-6.

[4] 巩子坤，李众展，李硕鑫，等.一个数除以分数学习路径优化的实证研究：包含除模型[J].小学数学教师，2019（04）：82-87.

[5] 張奠宙.“分数”教材里一个没有解决的问题——谈分数与包含除的关系[J].教学月刊·小学版：数学，2014（Z2）：4-5.

[责任编辑：陈国庆]