阿基米德群牛问题的分析及Python求解验证

王德贵

“群牛问题”在古希腊科学家阿基米德的研究课题中比较特别，是以诗句的形式出现在给埃拉托塞尼的一封信中。虽然其真实性有待考证，因为“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已，但历史上对这个问题的研究，却丰富了初等数论的内容。

下面我们也来分析一下群牛问题，并用Python求解验证。

（一）群牛问题

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。

在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是怎样组成的？

（二）创意来源

通过了解知名数学难题的解题思路，并将其用于Python编程，提高我们的数学和编程水平。在我搜索的“100个数学难题”中第一个问题就是“群牛问题”，经过分析和研究，自觉颇有收获。

这是一道解不定方程组问题，有8个未知数，7个方程，有无数组解，我们可以求出最小正整数解。这个解数值较大，即使通过Python求最小正整数解也不容易。

（三）设计思路

按照编程解方程的惯性思路，方程的解可以使用枚举法去求。结果当Python程序运行后却没有输出结果（所有程序后面给出）。分析原因发现是因为解的数值过大，必须寻求更好的求解方法。

（四）程序设计过程

1.枚举法

最普通的思路，不需要过多考虑，用枚举法一个个去测试（图1）。

测试1万个数的时间复杂度是10的12次方，需要运行30多个小时。通过搜索已知最小正整数解的值很大，枚举法获得结果的时间过长，必须去寻找更简捷的方法。

2.对已知答案验证出错

（1）验证解出错

在网上搜索到了群牛问题的一组正整数解，代入方程直接验证，运行结果后面4个全部为“False”（图2）。

False表示解并不符合原題目的这项条件（图3）。

（2）验证另一组带n的解也出错

搜索到的另一组解是带n的，代入方程验证结果更奇怪（图4）。

当n=1时，有两个“False”（图5）。

当n=5时，有1个“False”（图6）。

为什么我把搜到的答案拿来验证都没法通过，问题出在哪里呢？为什么不同的解验算的“False”数目还不一样？

在分析这些问题产生的原因过程中，我发现了一个库函数Sympy，它可以帮我解决问题！

3.SymPy库函数

（1）SymPy库简介

SymPy库函数是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。SymPy支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。

SymPy的安装和使用这里不做介绍，我只分析它求解方程的方法SymPy.solve（）。Solve（）是一个数学术语，主要是用来求解代数方程（多项式方程）的符号解析解。

（2）方程求解：先看个简单例子（图7）。运行就可以直接求出方程的解{x： -1， y： 4}，感觉到Python的强大了吗？

（3） 群牛问题求解方程