构建数学演绎图式，让说理可视化

林彩莲

【摘要】推理能力的培养是义务教育课程改革的重要目标。“演绎”是重要的推理方式之一，“演绎推理用于证明结论”，人们借助它可以有条理地思考，迅速地解决问题。在“演绎”的帮助下，学生的数学思路往往能够迅速得以理清。而“理”是抽象的，以形象思维为主的儿童要把“理”说清楚是件难事。本文试图在“形象”与“抽象”之间，建构框架、连线、表格、流程、数线等数学演绎图式作为直观支撑，让儿童把说理的过程以图式的形式呈现，借助语言与思维、语言与图式的联结与转换，把抽象的“理”化为看得见的“图”，让理据呈现，让思维可见，实现认知的构建和思维的进阶。

【关键词】小学数学;演绎推理能力;图式建构;说理;可视化;

一、数学演绎图式策略的提出

小学生的思维，由具体形象思维向抽象逻辑思维发展。因此，在小学阶段要适时地渗透演绎推理，引导学生学习演绎推理的过程，培育学生的演绎推理能力，体会演绎推理带来的成功感。学生的演绎推理能力除了会随着年龄由低级形式向高级形式发展以外，更重要的是通过外在的、恰当的教学策略可以使其相关知识得到增长的同时能力也会得到一定的提升。在小学数学教学中，对说理规范开展训练可以提高学生演绎推理的能力。然而，“理”是抽象的，处于由形象思维逐步向抽象思维发展的小学生往往对“是什么”信心满满，而一旦问“为什么”则“敬而远之”，产生畏难情绪。

近年来，我们通过引导学生构建演绎图式进行说理的实践，把“图式”作为链接抽象说理与形象表达的重要通道，让儿童的说理可视化，符合小学生的认知特点，是提高小学生演绎推理能力的有效路径。

二、数学演绎图式的解读

所谓图式，是“人们为了应付某一特定情境而产生的认知结构”，是信息处理所依据的最基本单位，是一种视觉思维的方式。数学图式，就是学生在数学学习活动中形成的一种用来学习数学知识和解决数学问题所特有的认知方式。刘秀梅教授从四个角度将其分为九种图式（见图1），演绎图式属于数学论证图式之一，因此，数学演绎图式是一种数学论证方式，是学生在数学分析和问题解决中形成的。常见的数学演绎推理图式思维工具的形式有：框架图、连线、流程图、表格和数线图。

数学图式是重要的可视化思维方式，和几何直观的内涵一致，更是一种适合小学生的生成性学习方式，可以促进知识由表面认知到深层理解，促进学生由被动学习到主动建构，促进学习由整齐划一到个性体验。使用个性化图形、符号表征的数学图式比用规范的几何图形表征的几何直观更受小学生的青睐。

根据皮亚杰的认知发展理论，学生的学习经历就是图式的不断增删、改组和完善的历程。经实践验证，在教学中带着学生构建适宜的演绎图式，用好数学知识的内在逻辑联系，可以帮助学生说出推理的依据，说出“为什么”，做到言之有据，理清法明。

三、演绎图式策略的教学运用

（一）构建框架图式，让数的相等关系理得清

在小学数学“数与代数”领域，在“凑十法”、“破十法”、“口算两位数加减两位數”等计算教学中，学生表达思考计算的过程以及单位换算的过程，这都属于演绎推理。如果在学生表述算理和算法的过程中配以框架图式作为可视化工具支撑，有利于算理、算法的深层抽象和自主构建，可以推进学生演绎推理能力的发展。

【教学片断1】9+几

师：同学们都喜欢把盒子外面的1瓶牛奶放进箱子凑成10 ，10 加剩下的3就是13。1和3是怎么得来的？你是怎么想的？

生1：我是这样想的，把外面的4盒牛奶分成1盒和3盒，1盒加9盒等于10盒，10盒加3盒等于13盒。

生2：我也是把4分为1和3，1和9凑成10，10加3等于13。

师：你为什么要凑十？

生2：因为10加几就得十几，有了10，计算就很方便。

师：请你再说一遍，让我把你的方法记下来。（随着学生的再次表述进行板书）（见图2）

师：一起来观察板书，我们刚才是怎样计算9+4=13的？请跟同桌说一说。

师：我们一起说一说计算过程。

生齐说：把4分成1和3，1和9凑成10，10加3等于13。

师：也就是见到9就想——

生齐说：1。

师：像这样当加法算式中没有10的时候，能够想办法凑出10 的方法叫做“凑十法”。

以上片断，通过“凑十法”来计算“9+几”的过程，体现了演绎推理的过程。如果仅借助实物来表达算法、算理的推理过程，不利于儿童抽象思维的培养;如果仅用纯粹的语言表达算法、算理的推理过程，抽象的“理”又会把刚从幼儿园过来的“小不点”搞懵或者闭嘴不说。因此，在让儿童亲自参与“移一移”“算一算”“说一说”等活动的基础上，教师通过构建框架图，把非形式化的演绎推理直观呈现出来，呈现并强化了“凑十”的思维过程，加深了学生对算理的理解，让学生在理清思路的过程中，培育了初步的推理意识和能力，以及抽象概括能力，积累了运用图式表达推理过程的经验。

【教学片段2】3吨50千克 =（     ）千克

师：3吨50千克 =（     ）千克 ，请同学们独立完成，并把自己的思考过程表示出来后跟同桌说一说。

师：谁上来介绍自己的思考过程？

生：（投影学生框架图）（见图3）我是这样想的，把3吨50千克分为两部分：3吨和50千克，3吨就是3000千克，3000千克加50千克就是3050千克，那么，3吨50千克就等于3050千克。

上述教学中，教师创立了可视化的问题情境，引导学生用自己乐意的方式来表述思考过程，在一年级“凑十法”“破十法”、两位数加减法口算等图式表达的类比迁移下，学生自然而然会使用框架图呈现自己的推理过程，清楚表达数量的相等关系，有效地提升了思维、表达的一致性和完整性。