中学数学题的解题策略

汪彩凤

很多人一拿到题目，就不知其所以然地试做，这种人的思维是混乱的、无条理的。事实上，解题应从分析题意入手。全部解题过程可以分为以下八个步骤：

一、分析题意时，首先必须将题分为条件和要求两部分。若是熟悉的题，只须进行最简单的分析，以确定该题的类型，否则，必须进行较深入的分析。分析题意时，始终要针对题的要求，还必须特别注意弄清题的要求的实质，明确题所求的是什么及该做什么。学会分析题意，透彻理解题的实质，这是具备一般解题能力的关键一步。

每个条件都有一个或多个对象，如果条件只有一个对象，那么用这一对象的某些属性说明其特征，如果有两个对象，则用两者之间的某种关系说明其特征。

例1 题目：三个数成等差数列，其和为m，若将第一数减去2，而其余两数不变，则成等比数列，求此三数。

分析：该题有三个条件，每个条件都有三个对象

条件1：三个数a、b、c成等差数列

条件2：三个数a、b、c的和为m

条件3：a-2、b、c成等比数列

二、题的纲要记述。对题意进行初步分析的结果，应该设法记录下来。前面所采用的文字表述的记录形式显然不方便，必须寻求一种方便、紧凑、高效的形式记录分析的结果，该形式就是题的纲要记述。题的纲要记述有三个突出特定。第一：广泛使用各种记号、符号、字母、图等;第二：把题的一切条件和要求都明确列出来，在每个条件的记述中，又指出其对象和特征;第三：仅记下解题所必需的东西，抛开题中其余细节。

例2 已知正三棱锥的侧棱与底面成60°，求棱锥侧面与底面所成二面角的大小。

该题的纲要记述如下：

已知（1）P-ABC为正三棱锥

（2）直线AP与面ABC成60°

求 二面角P-BC-A

三、解题过程的第三个步骤——探求解法，就是寻找能把题的条件和题的要求联系起来的途径、手段。解数学题的实质，就是有步骤地找出所要应用的数学原理（定义、公理、定理、法则、定律、公式等），并将这些原理运用于题的已知条件或其推导结果（解题过程所得的结果），即可得到题所需的答案。

探求解题方案（解法）是整个解题过程的核心内容，分析题意和做题的纲要记述都是为探求解法服务的。一般地，探求解法可按下列程序进行：第一步，判断题的类型;第二步，判断是否为标准题，若是标准题就用熟悉（现成）的一般法则求解;第三步，如果不是标准题，可采用以下两种途径：方案一，分解法——把题分解成若干个小标准题;方案二，模型法——对题进行重新表述，把它转化为标准题（运用等价转化的数学思想）。用题中条件的必要条件替代该条件是常用手段，例如在例1中，条件1“a、b、c成等差数列”用“a+c=2b”替换，条件2用“a+b+c=m”替代，条件3用“（a-2）c=b2”替代，则该题就转化为解方程组的标准题。对于非标准题，应该建立题的直观的辅助模型——题的纲要记述，把非标准题转化为标准题是一种数学艺术，只有通过对自己的解题过程进行深入的经常的分析，通过解各式各样题的经常训练才能掌握。

如何判断题的类型？按照题的要求的性质特征可把所有数学题分为三大类。第一类，求未知数的题;第二类，证明题或说明题;第三类，变换题或作图题。对于第一类题，在找不到较简单的解法时，可把它转化为一个已知类型的方程、不等式或方程组、不等式组，总可以解出来。

例3 三圆两两外离，它们的公切圆有几个？

该题表面上是求“有几个”，似乎应属于第一类，但实质是作图题，因而是属于第三类。

标准题怎样确定？凡是在现行课本中有现成解题法则（不论何种形式）的数学题，或者没有现成法则，而这些法则可直接得自某些定义和定理（根据这些定义和定理可以确定解题纲要——即一系列解法步骤）的数学题，都称为标准题。标准题的解题过程具有下列特点：第一，分析题意就是判断题的类型;第二，探求解法就是根据一般法则（公式、恒等式）或一般原理（定义、定理）做出纲要——解该类题的一系列步骤（解该类题的“算法”）;第三，标准题解题本身，就是将这个“算法”作用于本题的条件。由此可见，牢记教科书（课本）中学过的所有一般法则（公式、恒等式）和一般原理（定义、定理）多么重要，同时，要善于将凝练的一般法则、原理转化为解题纲要（即“算法”）。

例4 已知三棱錐的全面积为s，体积为v，求三棱锥的内切球半径R。

思路分析：三棱锥是三角形的拓广图形，考虑到三角形内切圆半径的求法（三角形面积分割法），那么三棱锥内切球半径的求法是否可采用“三棱锥体积分割法”，这样就找到解题方案。

四、解题过程的第四步——实施解题。求得解题方法后，用规范的书面语言叙述解法，该步骤是必不可少的，当然客观题除外。

五、解题过程的第五步——验证题解。叙述解法完成后，还必须验证这个题解是否正确，是否满足题的全部要求。对于实际的数学应用题，该步骤必不可少，既要验证是否符合数学问题，还应验证是否符合实际问题。

六、解题过程的第六步——进行讨论。许多题目需要考虑解的存在性及解的个数，此时就必须对题本身进行讨论。例如含参数的一元二次方程的求解就应对参数的取值范围进行讨论。

七、解题过程的第七步——作出答案。答案应规范、简洁、准确。

八、解题过程的第八步——解法反思。为了学习和有意识地提高自己，最好再对题的解法进行分析，是否还有其他解法并进行比较，能否对该题加以总结，提炼有价值的结论，能否进行变题训练等。

总之，上述八个步骤，有五个是必须的，在解任何题的过程中都有这五步（无论它们以什么形式出现），这就是分析题意、探求解法、实施解题、验证题解及作出答案。其余三步（纲要记述、进行讨论、解法反思）视具体情况可省略，通常情况下都省略。