探索军校向量组的线性相关性概念的讲解

刘海燕

摘要：向量组的线性相关性是《工程数学》中的一个重点内容，但其定义、判定及基本性质十分抽象，是学员学习的难点内容。要掌握向量组线性相关性的判别法，必须要深刻理解向量组线性相关性的概念。

关键词：向量组;线性相关性;线性表示

《工程数学》是军校的一门必修公共课，为适应新时代教育方针、军队院校教育条例、四项评估及不同专业学员的学习要求，提高教学质量，讨论如何实施教学十分必要。本文简要阐述“向量组的线性相关性概念的讲解”。

一、熟悉大纲

根据武警部队最新下发的科学文化课程大纲，第16页，第一部分线性代数，（三）维向量与向量空间中第2个内容，要求：理解向量组的线性相关、线性无关的概念;掌握向量组的线性相关、线性无关的基本性质及判别法。

二、熟悉课程教学计划

根据最新制定的《工程数学》课程教学计划，第6页，第四章向量组的线性相关性。学习要求：理解向量组的线性相关、线性无关的概念;掌握向量组的线性相关、线性无关的基本性质及判别法。授课要求：重点是向量组的线性相关性及判别法。

三、熟悉教材

我们选用的教材是同济大学数学系编的《工程数学﹒线性代数》（第六版），此内容选自第四章第二节向量组的线性相关性，教材第87页，

定义4给定向量组，如果存在不全为零的数，使，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关。

我认为向量组线性相关性的判别法及基本性质必须根据概念推导得出，而要掌握向量组线性相关性的判别法，必须要深刻理解向量组线性相关性的概念。

四、概念讲解的设计

1.概念的引入

①导入主题——电脑配色原理

调出电脑配色的调色板，自定义中可以查看到，每一种颜色由一个三元数组（3维向量）唯一确定。提问学员，为什么这样的3维向量可以刻画混色叠加原理？生活实例或者是某些现象作为引例，能激发学员学习的兴趣。

②复习

介于向量组线性相关性与向量线性表示、线性方程组解的判定有直接联系，我选择先复习上一节向量线性表示的定义及判定。

③概念引入

问题：任意给定一个向量组，问零向量能否由此向量组线性表示？若能，试问线性表示的系数能否不全为零？

最好是借助两个简单且具体的向量组来演示解答，即向量组和向量组。由此得出向量组内部关系的两种情况，进而提出线性相关、线性无关的概念。这种方式引入较顺畅，此外概念的解读十分必要。

2.概念的解读

①突出着重点——不同颜色标注，有侧重地朗读

标出“存在”、“不全为零”、“线性相关”、“否则”四个词。

②解读难点词——存在、不全为零、否则

从向量组的线性相关性概念这个命题出发，利用它的逆命题、否命题、逆否命题几个方面展开讲解，引导学员推导出向量组线性相关、线性无关的等价命题或常见的错误命题，尤其是要得出向量組线性无关的定义，即若存在一组数，使，则。

③解读

分情况讨论，主要说明和两种特殊情况，并阐述2维和3维空间中线性相关性的几何意义。

④梳理关系——向量线性表示、向量组的线性相关性、线性方程组解的判定、矩阵的秩

整体梳理这四者的关系，以便后续直接得出向量线性相关性的四个判定。

向量组线性相关性的概念抽象难懂，上述是我个人认为比较容易理解的一种方式。其实为应对抽象性，还可以选择从3维空间中的共线、共面性质出发，再推广到维向量的角度展开讲解。

参考文献：

[1]工程数学.线性代数，同济大学数学系编，6版，北京：高等教育出版社，2014.6

（武警警官学院 四川成都 610000）