巧攻点P

郭杭园

摘 要：立体几何与空间向量，空间向量是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。立体几何在高考解答题中位于第二大题的位置，是学生必须掌握与突破的一个数学问题，但在求第二问的时候，学生总是迷茫，传统法无法入手，然而空间向量做的话，对于某一个点坐标没法求，从而得不到本题满分。从而对于关键点的计算，是值得我们研究。

关键词：空间向量与立体几何;建系;关键点P;点坐标

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角（“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究）。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

明白其教育价值所在的同时，也很高兴能够有机会参加这次市调研课，使我在其中成长了许多也收获了许多。现在还能够回想起第一次讲公开课的场景，还能够想起与师傅一起探讨研究题目的情景，即使都很累了，晚上还要利用她的休息时间帮我去理清课的思路和设计课上的活动，在一遍一遍的试讲中，总算是能够找到公开课的样子。而当三年后的今天上市调研课的时候，有了一些自己的想法和这几年的从教经验，但是还是不够成熟，不是很成体系，与葛老师反反复复一次次的交谈之后，终于定下了我的初稿，和同仁们的一起磨课，在大家的帮助下才有这样一堂在于我看来近乎完美的课。下面我就来谈一下我这次课的感受。

本节市调研课正继2018市模拟考试结束，根据两班（314，326）学生在本场考试各小题得分情况，得出这次立体几何解答题得分并不理想，总分15分，平均只有9.3分。翻阅各位学生的答题卷，发现问题几乎出现在第二小题，原因：1、底面是一个等边三角形的斜三棱锥，从而不知道如何建系;建立系的同学将PD作为Z轴，并没有和底面垂直，从而出错。2、系建立对了之后，关键点P坐标不会求。面对6月的高考，这两个问题必须解决，而且刻不容缓。于是借着诸暨市调研课这个契机，好好研究这个专题，看了百来个立体几何，寻找适合本班学生的题目，拿出来分析研究，让学生彻底解决这两个问题。

本课是高考数学复习中的一个重要部分，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究立体几何图形中的作用，进一步发展空间想象力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。因此必须为这一章开始一次有效的专题课，让学生更好的从整体认识到本章的重要性，以及关键点P如何求解的方式方法的总结和归纳。

例题如下：

（2016诸暨期末）如图，在四棱锥的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠BCD=∠ADC=Rt∠P-ABCD，AD=2BC=2CD=2，E为PD的中点。

（1）求证：CE//面PAB

（2）求直线CD与平面PAB所成角的正弦值

△PAD本例子中因为有明显的直角，所以学生很快就可以把系建立起来，又因为后面是一个垂直底面的平面PAD，所以关键点P的投影直接落在AD上，点P很快就可以知道坐标。这题还难不到我班在座的各位。于是将平面PAD向前或向后倾斜，使其不垂直于底面。引出BC//AD，CD⊥CD，PC=AD=2DC=2CB

例2（2017浙江高考）如图，在四棱锥中P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，E为PD的中點。

（1）求证：CE//面PAB

（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值

本例中底面直角直接给出，X轴Y轴很容易表示，但是Z轴就不能靠在面PAD这个平面当中，于是就大胆地就将Z轴垂直向上。这样系是建好看了，但是问题也就出来了，关键点P该如何计算呢？对于这个关键点P的坐标我们很难找到在底面投影点的位置，有部分同学即使找到了也很难计算出点P的坐标，根本不适合我班的学生。于是我们放弃解决立体几何问题的传统方式方法，就纯粹地从向量的角度出发，直接假设点P坐标为（x，y，z），运用方程组的思想，三个未知量三个方程，去寻找有关于点P的三个关系，建立三元一次方程进行计算，从而得到点P。这样便突破了本题的最大难点，而且学生也容易接受这种解题技巧。这样的做法，思路上大大的简单化，寻找关系，这个关系可以是有关于点P的垂直、平行、距离、角度等等，但是对于第一次接触这种方式的学生，计算则难以接受，则需要课后的练习。我们再次回归到2018年的绍模试题，让之前做错的同学上来板演，即快又正确的得到结果，得到了老师的表扬与同学们的掌声。这是一个以前在学习数学方面极其没有自信的学生，通过这节课后，那确立了自信，有了学习数学的信心和决心。

再思考：

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是等边三角形，O为AC的中点，PA=PC，二面角P-AC-B的大小为60°

（1）求证：平面PBO⊥平面PAC

（2）求直线AB与平面PAC所成角的正弦值

最后以一题关键点P在OP上运动的题目加以巩固和加深，此点P并非是一个定点，而是带着参的一个动态过程，对于学生求面的法向量则是一个困惑。学生往往只会已知面中三点的坐标，得到两条相交直线的方向向量来求，带着参则无法求解，其实面的法向量只需垂直于平面，对于方向和长度并没有任何的限制，因此只需大胆的往下求，参量会删除的。

在这整个研究过程中，我也看了百余题立体几何的题目，其实发现了很多共性。题目本身的出题方式，第一小题大都就是线面、面面的位置关系，证明平行、垂直等等。第二小题便是空间角的问题，以线面角居多;还有图形上的变化，底面由三角形延伸到四边形甚至很多的边形;侧面由垂直到倾斜，由三边到四边等的变化。它们都几乎逃不出底面和侧面具有公共边的等腰三角形，也就是说总是可以找到那样一个与底面的垂直的垂面，点P必将落于垂面与底面的交线上，都可以利用传统纯几何方式加以求解，当然这样方式比较难，不适合本班的学生，于是便只选择了用向量方式去解决问题，我班的学生能够更好的接受这类问题。

本节课，我本着以学生为主，教师为辅的这一原则。最终让学生在知识上有所掌握，在能力和意识上有所收获。

一、这节课我最满意的有以下几个地方：

（一）学生的参与

这节课的主体不是我而是学生们，学生们对知识的渴求欲望令我既惊又喜，他们频频地举手发言使整个课堂的气氛活跃了起来，整个教室都充满着愉悦、热情、活泼的气息，充满蓬勃的朝气，让我感觉这仿佛不是一堂课，而是我与同学们开放平等地一次交流与合作。学生们表现出来的对数学无比浓厚的兴趣令我收获了极大的满足感与获得感，他们的参与是这节课必不可少的催化剂。我只是作为了一个引导者，引导他们在核心问题上深入研究。

（二）学生的创新

这节课有个意外收获。在求一点坐标时，我用的是投影而该班黄金同学却利用的是共线，方法简洁，给人以耳目一新的感觉。另外该班的张玉婷同学在两道中都提出了不同的做法，有其独特的见解。学生的思维不仅活跃，而且大胆，创新精神贯彻到了他们思维中的每一处，无论是提出新方法，还是提出新见解，他们的创新都折射出了中学生蓬勃向上的积极进取心与创造力。中学生的思维是相当活跃的，并且受到的束缚也少，相较于我们成年人，他们没有明显的思维定式，可见学生真的是思考了，我也从中获益不少，真的是给学生以展示的舞台，他回报你以惊喜。

（三）学生的置疑

何杨波同学能直截了当的指出黑板上的错误而且是一个我没发现的计算错误，这一点是勇敢且自信的。这不仅说明了学生的注意力高度集中、对待这节课十分重视，而且也体现了他们善于观察、注重细节，不放过黑板上的一丝一缕。学生敢于置疑，提出问题，这是一种实事求是的精神态度，无论是在当下的课堂中，还是在未来的人生道路上，这种大胆质疑的实事求的精神都是值得表扬。除此之外，大胆的、正确的质疑也纠正了我的错误，对我个人也是颇有裨益。

（四）课件的制作

立体几何着重强调的是空间想象力，利用几何画板，从多个角度观察图形;所以我在制作课件的时候特别注重了这一点，特地选取了一些典型的、有普遍共性的例题，四题例子的立体图形变化过程在几何画板中展示，让学生清晰的看到其实很多立体几何的本质是不变的，是具有一定共性的，这对他们接下来深入研究学习立体几何有长远的好处，本质上的理解才能使学生们做题时能透过现象看本质，举一反三、融会贯通。

二、我不满意的地方有以下几点：

（一）例子的选取

最后一个例子的选取，层次过于高了，本班的学生过于难了一些。在模仿学习的前提下，如何处理较难的（不易模仿的）题型，对于教学要有一个基础定位。

（二）总结时间短

这节课的主题是两种方法的比较和不同方法的适用题型的总结归纳时间不够。没有时间让学生自己谈谈心得体会，自己找找解题规律，如果給足时间那样应该会更好。

三、空间向量在立体几何中应用的教学注意事项：

（一）注重数学思想。思想上的力量是最关键的。让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳。体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并学会如何解决问题。因此，宜多引导学生与平面向量及其运算类比，与实数及其运算类比，从“数、量与运算”发展的角度理解向量。

（二）注意数与形的关联。向量的特征之一是其本身具有数与形两重含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横向联系，这二者都很重要，缺一不可。研究问题要全面、普遍，从不同角度研究同一问题，认识与运用向量及其运算中数与形的关联。

（三）根据特点选择方法。重视传统方法、向量方法、坐标方法各自特点的分析与归纳，传统方法以逻辑推理作为工具解决问题;向量方法利用向量的概念及其运算解决问题;坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法。

这次难得的机会让我获益匪浅，无论是立体几何的知识点本身，比如对于立体几何出题人会围绕着什么方向出题，以及考什么知识点，还是对教学方式方法、解题思路、公开课的教学，我都有更深层次的了解，取得了不小的进步。除此之外，我还认识到了这种大型的公开课能够锻炼我的心理素质与随机应变能力，经常的参与并且倾听别人的课件设计对一个年轻教师的成长是非常重要的！路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准》（实验稿）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2]《5年高考3年模拟》[M].北京：首都师范大学出版社，2016

[3]江玉军.空间向量与立体几何[J].中学数学教学参考，2007年

[4]刘瑞美.“空间向量与立体几何”的教学探讨[J].上海中学数学，2010