“弧度制”教学设计

刘烨烨

摘  要：弧度制是建立三角函数知识体系的基础，本节课以角度制下的弧长公式为基础，启发学生用弧长度量角的大小，通过类比、由特殊到一般的思想建构弧度制概念，建立弧度制与角度制的联系，体会引入弧度制的必要性.

关键词：概念本质;弧长公式;合理度量;换算关系

一、教学内容解析

本节课是苏教版《普通高中教科书·数学（必修）》（以下统称“教材”）第一册第七章第一节“角与弧度”的内容. 弧度制是三角函数一章的基础内容，由角和圆等几何元素出发、度量角而生成，进而构建以弧度制为核心的相关知识群，为全面建立三角函数体系提供理论准备. 弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，统一了三角函数自变量和函数值的单位. 事实上，弧度制作为构建三角函数的重要工具，与实数的十进制运算统一了起来，简化了弧长、扇形面积公式，并为学习、研究高等数学及其他学科知识奠定了基础，带来了便利.

本节课概念的形成经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义—应用”的过程，考虑到弧度制独特的度量特征和三角函数的基础地位，选择以单位制度为本节课弧度制生成的钥匙，着力启发学生用弧长度量角的大小，体会引入弧度制的必要性，力图通过揭示弧度制的本质特征和思想内涵，使弧度制的相关知识结构得以完善. 本节课也是培养学生数学创新意识，以及认识数学科学价值和文化价值的重要载体.

根据以上分析，可以确定本节课的教学重点是：弧度制的探究与生成，弧度制与角度制的互化.

二、教学目标设置

通过对教学内容的解读，结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》对这部分内容的教学要求，对本节课的教学目标设置如下.

（1）学生参与认识现实生活中周期现象和抽象数学模型的活动，经历弧度制的生成过程，尝试用弧长度量角的大小，了解弧度制下角的集合与实数集R之间的一一对应关系，体会引入弧度制的必要性.

（2）学生能熟练进行角度制与弧度制的互化，总结角度制与弧度制的内在联系，感受公式应用的简洁性.

（3）学生通过构建弧度制的知识体系，完善认知结构，体会定义的合理性和类比的思想方法，学会站在系统的高度形成整体的认识，感悟数学的理性精神.

三、学生学情分析

1. 学生已有的认知基础

本节课的授课对象是高一学生，他们已经学习了角度制和任意角的相关知识，有用不同单位进行度量的生活经验，具有一定的探究能力和逻辑思维能力，这为本节课的学习提供了一定的知识、经验方面的储备和能力方面的保障.

2. 达成目标所需的认知基础

弧度制与学生原有的角度制的认知结构有一定沖突，认识弧度制定义的合理性，需要一定的批判思维和创新能力，这对学生而言具有一定的挑战性.

3. 教学难点

基于对教学内容和学生学情的分析，确定本节课的教学难点为：弧度制概念的生成与理解.

4. 突破教学难点的策略

弄清1弧度角的概念、明确弧度制的本质是学好弧度制的关键.

（1）借助问题驱动，引导学生从熟悉的长度单位入手，增加真实感，降低理解难度.

（2）运用类比方法，通过对熟悉的角度制的回顾，引导学生探索发现弧与角的对应关系.

（3）通过分组活动、合作交流等方式，展示思维活动的过程，促进学生自主地构建和认识概念，在建立知识的联系中深化理解.

四、教学策略分析

本节课是概念课，为了帮助学生理解知识和学会应用，形成良好的认知结构，培养学生的思维品质，提升学生的数学素养，在教学过程中采用了以下策略.

（1）采用问题驱动的方式，从创设情境入手，通过精心设计的问题串，启发学生思考和探究，制定出研究方案，引导学生紧紧围绕如图1所示的问题链展开教学活动.

（2）以“提出问题—经历过程—建构概念—深化理解—归纳提升—延伸探究”为教学主线，从学生的已有认知出发，引导学生自主探究、类比发现，鼓励学生动手操作，在尝试和探索中完善认知结构，掌握思想方法，训练思维品质，形成数学技能.

（3）突出数学思想方法的提炼和渗透，引领学生开展积极有效的思维活动，关注信息反馈，用好生成资源，由浅入深、逐层递进，不断给学生提供比较、分析、归纳的机会，使学生在思考、讨论、对话、交流中经历知识的产生和发展过程，理解核心概念，领悟数学本质.

五、教学过程设计

1. 创设情境，提出问题

问题1：无锡太湖边竖立着美丽的摩天轮，当摩天轮不断旋转时，摩天轮上的点[P]会周而复始运动（如图2）. 那么点[P]的位置可以由哪些量确定？

活动：回顾1°角的定义，角与弧长的进制不一致会为今后的研究带来不便，联系生活中同一个量可以用不同的单位制进行度量，那么角的度量是否也能采用不同的单位制？

【设计意图】认识周期现象，建立刻画周期现象的数学模型是三角函数一章的主题. 从学生熟悉的情境入手，利用摩天轮的运动这一常见、典型的生活实例创设问题情境，营造学习氛围. 虽然角与弧都可以刻画点的位置，但是进制不统一，会为今后的研究带来不便，由此十分自然地引出本节课所要研究的问题，使学生明确学习新知识的必要性，为学生的学习指明方向. 学生回忆初中1°角的规定，充分说明角度制下单位角约定的合理性，初步感受圆心角与弧长之间的对应关系，为后续弧度制的探究提供知识基础.

【设计意图】在单位1的表示中，从符号语言、几何表示及文字语言多个角度进行阐述，通过多元表征，帮助学生理解1 rad的含义，认识和感受弧度制的本质特征. 在帮助学生自主建构数学概念的同时，适当融入数学史的教学，追溯数学家的思维活动轨迹，增加学生对数学知识发生、发展过程的了解，借以深化学生对弧度制本质的认识和理解.

4. 引导应用，深化理解

问题5：用弧度制表示角，角的大小有正负之分吗？如何区别呢？

问题6：试提出我们进一步要研究、探索的课题.

预案1：研究度量角的两种制度间的关系.

预案2：研究弧度制的应用.

活动：师生小结弧度制与角度制的联系与区别：（1）它们都是度量角的大小的单位;（2）角度制是六十进制，弧度制是十进制;（3）弧度制是以线段长度度量角，角度制是以角度量角;（4）无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是與半径大小无关的值.

【设计意图】鼓励学生质疑和提问，启发学生提出需要继续研究的问题并展开探究活动. 一方面，为梳理研究这类问题的方法进行铺垫，使学生在寻求角的两种度量制度间的联系中加深对弧度制的认识和理解;另一方面，通过思考、探究和发现，使学生体会研究数学的一般思维方法，于潜移默化中提升学习能力，在学会知识的同时学会学习.

活动：师生探究弧度制下的弧长与扇形面积公式，并与角度制下的公式进行比较.

例3  已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2 rad，求扇形面积.

【设计意图】数学知识的学习，需要与原有知识建立联系，在相互对比中思考其优劣，在寻求联系中完善其结构，在追求真实简洁、和谐美妙中培养学生的科学精神.

5. 回顾过程，归纳提升

（1）本节课我们研究了度量角的新单位制——弧度制，回顾一下研究过程，我们是怎样展开对弧度制的研究的？

（2）你认为定义单位度量角时，应该注意哪些问题？

（3）你认为利用弧度制我们可以解决怎样的问题？

【设计意图】本节课类比长度和角度的单位制构建的过程，探究发现了度量角的新单位制——弧度制，通过小结，引导学生进一步思考构建一种单位制的一般过程，即从特殊事物中揭示一般规律，不仅要学习弧度制这方面的知识，还要梳理、概括出研究过程是什么，促进学生明确研究内容、掌握研究方法、体会研究价值、感悟获得这些知识的心路历程.

6. 布置作业，延伸探究

（1）（必做）教材练习1 ～ 8，第10页习题10，11.

（2）（选做）查阅弧度制的历史及有关欧拉的资料，进一步明确弧度制的优点，了解欧拉在数学史上的贡献.

【设计意图】必做作业的布置，用来帮助学生巩固弧度制的概念，以及弧度制与角度制等有关知识，提高学生运用所学知识解决问题的技能，深化对弧度制的认识和理解，进一步积累数学活动经验;选做作业的布置，旨在让学生通过阅读数学史，了解弧度制的发生、发展过程，认识弧度制的本质，激发学生数学学习的兴趣，将探究学习活动延伸至课外.

六、教学反思

1. 弧度制的概念教学揭示数学知识的本质

笔者曾尝试许多不同类型的弧度制概念教学设计，但无论以何种方式设计，我们都应该传递正确的信息. 弧度制只是众多度量方式中的一种，只要度量的方法合理，就会产生新的度量标准. 在学习的过程中，学生总是纠结为何用[lr]度量角的大小，在他们的观点中，[l=nπr180]的变形应该是[n=180lπr，] 常数[180π]为何要省略？用度量方式的多样性可以帮助学生解释这方面的疑惑，[lr]可以度量角的大小，当然它也不是唯一的方式，[2lr， 3lr， 180lπr，…]这些比值都可以确定角的大小，那么为何会选择[lr]？它的简洁性到底体现在哪里？这里的简洁性一定不是以表达式本身作为最终的衡量标准，而是它在其他领域使用的便捷性，特别是在微积分中的运用. 弧度制的发展不是一蹴而就的，这些知识未必要在课堂中全部告诉学生，但可以在课后引导学生阅读历史材料，了解数学史中知识的产生过程，笔者觉得还是非常有必要的.

2. 以单位圆为知识载体凸显本章研究问题的工具

本章研究三角函数，特别是研究定义、性质、应用时都强调用好单位圆，在弧度制学习中单位圆的作用也很大. 欧拉在定义弧度制时使用了单位圆，单位圆提供了学生认识概念的几何载体，把圆心角和弧之间的对应关系以图形的形式呈现出来，学生理解度量方法的合理性时可以更形象、直观. 后续学习中直角坐标系的介入，又将单位圆中承载的知识体系从形与数方面进行了串联，更加彰显了其工具性的作用.

3. 用弧长度量角的大小紧扣“度量”方法的核心问题

教材利用初中学习的弧长公式，由[lr]确定角的大小，在学生知识的最近发展区建构新知，符合学生的认知规律. 但笔者发现，对于思维品质比较好的学生，可以多留一些操作的空间. 通过回顾角度制初步感受弧长与圆心角的对应关系，为学生用长度度量角的大小奠定知识基础.

弧度制的核心问题是“度量”，学生用弧长直接度量角的大小，这种度量的方法我们应该用辩证的思维来看待. 当半径变化时，弧长发生改变，用弧长直接度量角确实不妥，但如果是半径固定的圆，用弧长度量角的方法是合理的. 如果选取的圆的大小不一样，度量的标准也会有所不同. 当然，圆中弧长可能不是唯一度量角的工具，部分学生在圆中还考虑了弦长，可以适当解释弦长度量角的不合理性. 本节课的概念生成以“度量”为知识主线，度量的方法—单位的制定—定量表示—单位的换算.

本节课还利用度量角的探究活动挖掘数学的文化价值，调动了学生对数学学习的兴趣，激发了学生进一步学习和研究的热情，培养了学生的探究发现和创新思维能力，优化了学生的思维品质.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.