探秘“彭罗斯特征数”

林革

如果我说2020年是一个非比寻常的年份，那么一定能得到大家的认可. 尽管国际风云变幻、疫情来袭，但丝毫不影响我国既定目标的实现——2020年全面建成小康社会.

而在数学家眼中，2020是一个内有玄机的特征数：首位数字2表示此数中有2个0，第二位数字0表示有0个1，第三位数字2表示有2个2，第四位数字0表示有0个3. 数学界把具备这种特征的数称为“彭罗斯特征数”. 最早提出这种奇异特征数的人是20世纪英国数学家、牛津大学教授罗杰·彭罗斯. 他指出：一个数的首位数字表示这个数中0的个数，而第二、三、四……位数字分别表示这个数中1，2，3…的个数，这种数就叫做特征数. 比如：1210，3 211 000，42 101 000等就是特征数，大家不妨点数验证一番. 有趣的是，彭罗斯提出这种特征数之后，又接着提出一连串相关的问题.

[提出问题]

1.这些特征数中最小的数是多少？最大的数是多少？

2.各位特征數是不是全都存在？

3.所有这种特征数的总和是多少？

提问之后，他随手在纸条上写下一串数字（最后一题的答案），并将这张纸条放进一个锦囊中封存，并宣布将在合适时机当众公开答案，以辨真伪. 看得出，这位吊人胃口的老顽童是有备而来的.

彭罗斯的问题引起了众多专业人士和数学爱好者的关注，许多人对此进行探究，并最终揭晓了锦囊中的答案. 原来，它是一个多达14位的“天文数字”：10 109 876 341 430. 那么，这个答案从何而来呢？下面就进行具体分析.

[分析问题]

【初步检验】经过检验可以确定：一位、两位、三位的特征数不存在. 其中的道理很简单.

一位数的首位数字不能为0，假设为1，这就表示此数中有一个0，但这个数是一位数1，不含0，产生矛盾;

两位数的首位数字不能为0，假设为1，这就表示此数中有一个0，这个0只能放在第二位上，而第二位上的0表示此数中1的个数，也就是说没有1，这与首位数字为1产生矛盾;

三位数的首位数字不能为0，假设为1，这就表示此数中有一个0，这个0只能放在第二位或第三位上，根据前面的推断可知，0不能放在第二位上，只能放在第三位上. 因为第二位上的数字表示1的个数，所以必须填1，这样一来就得到110，而此数中却含有2个1，产生矛盾.

在四位数中，除了上面提及的2020，还有一个特征数1210，容易判断，1210是最小的特征数.

【初步发现】

（1）n位特征数中，首位数字不可能是n. 若首位数字是n，说明后面还有n个0，这样一来，位数就至少有n + 1位，产生矛盾. 首位数字也不可能是n - 1. 若首位数字是n - 1，说明后面还有n - 1个0，再考虑到末尾数字表示n - 1的个数，必须是1，仍导致位数超过n，产生矛盾.

（2）把构成特征数的各位数字相加，刚好就等于位数. 例如：在2020中，2 + 0 + 2 + 0 = 4;在42 101 000中，4 + 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 8.

（3）组成特征数的数字中，大部分都是0与1，其中2相对较少，而其他数字更寥寥无几.

【逐个验证】

在五位数中（如表1），若它以2为首位数（意味着此数有2个0），则必然要求第三位上的数字（表示2的个数）至少为1;若第三位上的数字为1，那么第二位上的数字（表示1的个数）也必须填1，这样就出现了两个1，产生矛盾. 唯一的可能是第三位数字为2，而第二位数字就只能是1，最后两位的数字都是0，所以五位特征数为21 200.

从中，我们发现2与1衔接是特征数最为鲜明的结构特色，而2020是唯一的例外. 由此可以推断六位特征数不存在. 因为六位特征数若存在，则首位数字不会是6和5，即可能是4，3，2，1.

若首位数字为4，则表示后面有4个0，而第五位表示4的个数必须填1，这样得到400 010，4 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 ≠ 6，产生矛盾;

若首位数字为3，则表示后面有3个0，而第四位表示3的个数必须填1，于是第二位表示1的个数必须填1，这样得到310 100，3 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 ≠ 6，产生矛盾;

剩下两种情形的否定不再赘述.

【再次发现】

从七位数开始，研究者发现了“特征数”的构成规律：首数后为21…1000，中间以0凑足数位.

据此，可以快速地写出七位、八位、九位、十位、十一位、十二位、十三位特征数（如表2），可知最大的特征数为9 210 000 001 000. 把找到的10个特征数相加求和，“锦囊”里的答案10 109 876 341 430顿时浮出水面. 至此，彭罗斯教授的所有问题都水落石出.

（作者单位：扬州职业大学）