勾股定理蕴含的数学思想研究

吉琴

1引言

天文学家开普勒说过：“勾股定理和黄金分割是几何学的两个宝贝，前者如黄金，后者如珍珠”。勾股定理是建立数形结合的桥梁，其应用领域广泛，涉及几何学、数学、物理学等理工学科，同时在计算、几何以及测量方面的应用也是非常广泛的，因此，勾股定理的研究有着非常重要的意义。

勾股定理在解决实际问题中无处不在。通过列举勾股定理在实践生活方面的应用，并提出勾股定理中蕴含的数学思想，对增强我们的逻辑思维能力，培养我们数形结合、方程、整体、类比、构造等的思想有重要意义。

2提出问题

在解决勾股定理的相关问题时，涉及到哪些数学思想？本文将站在前人的肩膀上，系统的从勾股定理的应用中体现的数学思想来进行研究。

3勾股定理中蕴含的数学思想

勾股定理的发现给出了直角三角形三边长的关系，其在实际生活中的运用及其广泛，比如：建筑设计、修建房屋、测量建筑物的高或河面的宽等方面。在运用过程中蕴含了不同的数学思想.这里的数学思想是人们对数学知识和方法的本质认识，以及对数学规律的理性认识。数学思想是数学的“灵魂”，是数学解题与研究的指导思想。在学习和运用勾股定理的过程中，能够巧妙地结合数学思想方法解决实际问题，不仅提高独立分析问题和解决问题的能力，而且能开阔解题思路，使得过程更加简洁明了。接下来从几种常见题型中归纳出其蕴含的数学思想。

3.1数形结合思想

华罗庚，著名数学家，他曾说过“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难人微。”此话道明了“数”与“形”难以分割的关系。所谓数形结合思想指的是利用数与形本质上的关系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，通过“以形助教”或“以数解形”的方法，简化复杂的问题，将抽象变为具体，这种方法能简化解决实际问题的过程，培养利用“数”与“形”分析问题和解决问题的能力。

勾股定理是一个从数到形的过程，解决数的问题才是根本。该题是利用勾股定理来求有关线段 的长度，显然，我们应该抓住互相平行这个关键条件，得出各线段的距离关系，利用勾股定理加以解决。这是应用勾股定理解决问题的常见题型，解决此类问题应该结合图形找出等量关系，进而解决问题。

3.2方程思想

方程思想的切入点是数量关系，通过设定恰当的未知数，结合已知条件、隐含条件、定义、定理、公式、性质等，根据已知量和未知量的数量关系，建立方程或方程组的数学模型，最终使问题得以解决的思想方法。

这是折叠类的问题，一般的，遇到这样的问题我们可以通过对整个图形中没被折叠覆盖的直角三角形运用勾股定理和方程思想来加以解决。

3.3类比思想

类比思想是一种发现式思维和创造性思维的学习方法.它主要是通过两个已知事物某方面的共同属性，去猜想这两个事物其他方面的共同属性，通过对结论的猜想和证明来解决问题的一种数学思想方法。

本题如果直接求 的面积，则很难入手。根据勾股定理可以类比求出 的面积。这种方法可以避免直接求解，而且能很快的求出答案。

3.4构造思想

构造思想是指结合问题的结论和数学定理、推论的结论，构造出解决问题所需要的条件，最终解决问题的一种数学思维方式。勾股定理中一般应用的是构造思想的平移、旋转、折叠、割补等方法，最终构造出直角三角形，运用勾股定理解决实际问题。

3.5转化与化归思想

转化与化归思想是指一些难以入手或未知解法的问题，通过对条件或者结论的转化，使未解决的问题向已经解决的问题转化、抽象问题向具体问题转化等，利用已有知识解决现在的问题的一种数学思想方法。

例4一个高为10cm圆柱体，底面半径为4cm。当圆柱体底面的一点 沿着圆柱体侧面向上底面相對的一点 移动时，移动的距离最短是多少？

这类题型的关键点是，不能从内部移动，只能沿着侧面移动.在求立体图形表面上两点间的最短距离时，一般采用的方法就是转化思考方式，将其展开为平面图形，从而构造出直角三角形，最后利用勾股定理解决问题。

勾股定理公式虽然简单，但是应用上既灵活又广泛，结合实例阐述了勾股定理应用中蕴含的数学思想，通过这些数学思想方法和已有知识的结合，能更好的解决一些实际问题。数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容，是数学知识的精髓，是把知识内化为能力的桥梁，因此在学习中灵活的运用数学思想显得至关重要，这是值得深入研究的。但受本人的知识深度和广度的限制，本文的研究工作还存在不足，后续的研究工作将从以下几点展开：一是利用数学思想去设计相关的教学问题;二是进一步分析勾股定理蕴含的数学思想的思维特征。

参考文献：

[1]勾股定理的历史.见：初中生世界数学透视眼.江苏：江苏教育报，2013：77-78.