建立模型 突破难点

唐卫

密度是物质的一种特性，是中考必考的内容之一，有关密度的计算难在模型的建立、过程的分析和数学知识的应用。下面结合一道例题来分析有关密度的计算问题。

例（2020·四川·甘孜）建筑工地需要400 m3的沙石，为了估测沙石的密度，用一只空桶平装满一桶沙石，测得桶中的沙石的质量为52 kg，再用这只桶装满一桶水，测得桶中水的质量20 kg，ρ水 = 1.0 × 103  kg/m3，g取10 N/kg。求：

（1）桶的容积是多少？

（2）沙石的密度是多少？

（3）若用一辆载重4000 kg的卡车将沙石运送到工地，至少要运多少车？

[思路点拨]

本题的解题思路如下：（1）桶装水和装沙石时，体积相同。题中已知水的质量和密度，根据公式ρ = [mV]求出水的体积，也就知道桶的容积;（2）知道一桶沙石的体积和质量，可以求出沙石的密度;（3）根据密度公式ρ = [mV]再求出沙石的质量，根据卡车载重求出至少要运多少车。

解析：（1）由ρ = [mV]可得，桶的容积为：V = V水 = [m水ρ水] = [20 kg1.0×103 kg/m3] = 2 × 10-2  m3;（2）桶中沙石的体积为：V0 = V = 2 × 10-2 m3，则沙石的密度ρ = [m0V0] = [52 kg2×10-2 m3] = 2.6 × 103 kg/m3;（3）由ρ = [mV]可得，沙石的总质量m总 = ρV总 = 2.6 × 103 kg/m3 × 400 m3 = 1.04 × 106 kg，若用一辆载重4000 kg的卡车将沙石运送到工地，至少要运：n = [m总m车] = [1.04×106 kg4000 kg/车] = 260车。

[答案：（1）桶的容积是2 × 10-2 m3 （2）沙石的密度是2.6 × 103 kg/m3 （3）一辆载重4000 kg的卡车将沙石运送到工地，至少要运260车]

[归纳总结]

1.本题考查了密度公式的运用，解题的关键是抓住桶的容积不变，即一桶沙石和一桶水的体积相等。

2.密度计算的依据：密度公式ρ = [mV]、变形式m = ρV和V = [mρ]。

3.密度计算的类型与解题思路：

（1）鉴别物质：根据密度公式ρ = [mV]计算出待测物体的密度后，与密度表中列举出的密度进行对比，确定物质的种类;

（2）计算混合物体的密度：求出混合物体的总质量m，测出混合物体的總体积V，根据密度公式ρ = [mV]计算出混合物体的密度;

（3）判断物体的空实心问题：若待测物体的密度等于物质的密度，则该物体是实心的，若待测物体的密度小于物质的密度，则该物体是空心的;

（4）求不同物质的密度、质量、体积的比值问题：首先根据密度公式ρ = [mV]及其变形式得出待测物理量的形式，然后利用比的性质进行计算。

[素养提升]

求某个物体的密度、质量或体积时，在题中找出除所求量外的另外两个物理量。

1.等体积法找体积：

（1）物体的体积等于物体浸没后排开液体的体积;

（2）在装满水的容器中放入物体，会溢出一部分水，物体的体积等于溢出水的体积;

（3）同一容器，分别装满甲、乙两种液体时，液体的体积相等。

2.等质量法找质量：物体在发生状态的改变前后，其质量不变。

3.等密度法找密度：均匀物体的密度处处相同。

[能力强化]

1.一空瓶质量为200 g，装满水后总质量为700 g，若在空瓶中放入一金属块，测得金属块与瓶子的总质量为1000 g，然后再往瓶中装满水，测得瓶子、金属块和水三者的总质量为1400 g。

（1）求瓶子的容积;

（2）求金属块的体积;

（3）求金属块的密度，并判断它可能是什么金属。

[物质 金 铅 铜 铁 铝 密度/（g/cm3） 19.3 11.3 8.9 7.9 2.7 ]

[答案：（1）瓶子的容积为500 cm3    （2）金属块的体积为100 cm3    （3）金属块的密度为8 g/cm3 该金属块可能是铁]