大型波束波导平面反射镜设计与仿真技术研究

郭向峰，武织才，温永新，韩飞林，邓 超

(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081；2.中国人民解放军32040部队，青海 海东 810700)

0 引言

大型波束波导天线由于具备宽频带、低馈电损耗、天线波束没有物理遮挡、馈源和射频前端易防护、波束扫描实现简单以及易实现多频多极化等优点，常用于深空探测[1]。波束波导天线系统主要由3部分组成：馈源、波束波导和双反射面天线。波束波导[2-3]由一系列按一定顺序排列的平面镜和曲面镜组成，能够将电磁波以聚束传播的方式，低损耗远距离地从馈源传输到天线上的波导结构。根据使用镜面的不同，可分为透射型和反射型波束波导。

本文设计的平面镜应用于反射型波束波导结构中，波束经过平面镜反射后只是方向变化，其他性能不变。高频波束波导天线对平面反射镜的面形公差要求非常严格，过大的面形公差不仅会引起波束波导出射方向图的恶化，还会导致波束波导镜面传输损耗的增大。传统平面反射镜的制造方法主要采用铝合金材料，利用数控机床加工成型。对于大型波束波导天线的平面反射镜，采用铝合金材料将使得平面反射镜的重量加大，给波束波导结构的波束传输线路布置与调整带来困难。

本文根据实际工程需要，通过力学分析计算，给出一种新的平面反射镜结构形式，即铝合金与铝蜂窝复合成型的结构形式。利用有限元仿真，验证了目前关于铝蜂窝复合成型材料等效力学参数的有关理论，并且通过改进接口设计，有效地解决了铝蜂窝成型结构中的对外接口连接的问题。最后，根据计算结果，加工了平面反射镜实物。实际测量结果表明，加工的平面反射镜完全满足技术指标中的刚度以及轻量化要求，可以应用于实际工程中。

1 铝蜂窝夹层平面反射镜理论设计

1.1 平面反射镜实际工程要求

本文设计加工的波束波导平面反射镜来源于实际工程需要，结构以及精度要求如下：

结构形状要求：平面反射镜外形必须是一个长短轴为1 875 mm×2 650 mm 的椭圆；总厚度≤60 mm；总质量≤60 kg；整个平面反射镜需要具备5个对外连接固定点(连接点位置已确定)。

加工精度要求：平面度波峰波谷≤100 μm ；平面度均方根值≤33 μm；重力变形≤10 μm(倾斜角0°～90°);粗糙度Ra≤10 μm。

1.2 铝合金平面反射镜结构形式仿真与对比

由平面反射镜的技术要求可以看出，设计难点在于在有限的高度尺寸以及质量条件约束下，实现大尺寸平面反射镜的高刚度。

一般对于波束波导平面反射镜的设计加工，铝合金是首选材料，本文首先讨论了利用铝合金材料进行平面反射镜设计加工的可行性。

根据铝合金材料的密度，由上述平面镜外形尺寸以及质量要求可知，若采用一整块铝合金材料制造，平面反射镜的厚度仅有5.7 mm。这个厚度的铝合金板，在如此大的跨度上难以实现要求的结构刚度。因此，纯铝合金材料下的平面反射镜必须采用板筋结合的布局。

为了验证纯铝合金材料下的平面反射镜是否满足要求，在考虑技术要求以及工程可实现性的前提下，分析了铝合金材料时3种典型结构的变形情况。3种结构形式如图1～图3所示。

图1 铝合金平面反射镜结构形式1Fig.1 Aluminum alloy plane mirror structure (1)

图2 铝合金平面反射镜结构形式2Fig.2 Aluminum alloy plane mirror structure (2)

图3 铝合金平面反射镜结构形式3Fig.3 Aluminum alloy plane mirror structure (3)

3种结构形式下的有限元仿真结果如表1所示。

表1 3种铝合金平面反射镜结构重力变形仿真结果Tab.1 Simulation results of gravity deformation of three aluminum alloy plane mirrors 单位：/μm

由表1可以看出，在质量以及平面反射镜总高度的限制下，单纯铝合金材料的平面反射镜在理论上难以达到要求，并且该结构形式的平面反射镜加工工艺性很差，必须采用新的材料或结构形式。

1.3 铝蜂窝夹层结构平面反射镜设计

铝蜂窝夹层结构是目前应用比较广泛的一种复合成型结构形式。通常采用高强度合金铝板作为面板与底板，涂覆新型环保粘合剂，中间用铝蜂窝芯复合制造而成(蜂窝夹芯有不同形式，以正六边形最常见)。铝蜂窝夹层结构具有质量轻、强度高、刚性好、外观平直度高、不易变形及加工适应性好等特点。由于采用大面积粘接技术，可以减少应力集中，提高成型构件的疲劳强度。铝蜂窝夹层结构广泛地应用于航空、航天以及飞机等高科技领域[4]，近年来在高速列车、船舶、建筑室内外装饰以及体育用品等领域也有很多应用。采用铝蜂窝夹层结构进行平面反射镜的设计，将是一条有效的解决途径。

铝蜂窝夹层平面镜设计的关键是合理选择铝合金表层与铝蜂窝夹芯的尺寸，在满足技术要求的前提下，兼顾加工过程的可行性。考虑实际工程中平面反射镜安装的需要，还需解决铝蜂窝夹层结构与其他结构连接的问题[5]。本文设计的铝蜂窝夹层平面镜结构如图4所示。

图4 铝蜂窝夹层平面镜结构Fig.4 Honeycomb sandwich plane mirror structure

本文设计选择厚度为55 mm的铝蜂窝结构，前后面板选择一定厚度的铝合金板，选择的铝合金板在自身需要有一定的结构强度，又要具备可加工性，特别是对于平面反射镜的工作面，既要确保平面镜成型后满足精度要求，又要保证前后镜面在铝蜂窝的支撑下具有足够的刚度。

另外，考虑实际工程中平面反射镜安装、调整以及旋转等实际需求，设计并优化了平面反射镜的对外连接接口。针对平面反射镜固定时固定点主要承受剪切力的特点，采用预埋铝金属连接件的方式。合理地设计预埋件的形式以及尺寸，通过预埋件结构，对蜂窝夹层架构进行局部加强，克服了因为平面反射镜固定安装等其他原因引入的集中载荷使夹层结构容易被破坏的问题。设计时预埋件与前后面板采用相同的材料，避免因温差变形的不同而引入其他的结构应力，增长夹层结构的使用寿命。

平面反射镜连接预埋结构以及平面反射镜定位调整预埋结构三维示意如图5所示。

(a) 反射镜连接预埋件示意

在预埋结构设计了一定大小和数量的粘接加强孔以及定位连接孔，保证在平面反射镜成型后，具有足够的强度以及连接定位精度。

2 铝蜂窝夹层平面反射镜有限元分析

2.1 铝蜂窝夹层结构等效方法分析

由于铝蜂窝夹层材料是一种结构性材料，很难直接给定其物理参数。目前一般通用的有限元计算软件没有专门的铝蜂窝材料单元，对于含有蜂窝夹层的复杂结构进行动、静力学分析和计算时往往采用有限元仿真软件三维建模仿真法、单层板单元仿真法以及等效仿真法。采用三维建模仿真法对于想快速了解结构性能的复杂结构，计算量巨大；采用单层板单元法，往往因为单层板单元无法很好地近似铝蜂窝结构，计算结果偏差很大。等效仿真法以其容易实现、较易达到较高精度的特点，目前越来越多地使用在工程上[5-7]。

对于铝蜂窝夹层结构等效研究的理论有很多，目前常用的等效理论有等效板理论、三明治夹芯板理论以及蜂窝板理论。

2.1.1 等效板理论

等效板理论是指将铝蜂窝夹层结构等效为单层板，再分析铝蜂窝夹层结构的各种性能。通过分析对应的等效板来进行等效，可以大大简化分析。

等效板法的理论很多，常见的理论有Reissnei理论、Hoff理论以及Прусаков-杜庆华理论，以上几种理论均是一种线性位移模型的静态等效法，又称一阶剪切理论[8]。Hoff理论相比Reissnei理论有所改进，克服了Reissnei理论中对于承受横向集中力作用时不适用的缺点。

利用Hoff理论等效有以下3点假设：

① 表板很薄，假定它们是普通薄板。

② 由于夹芯较软，所以忽略夹芯的平行于xy面内应力分布，即假定在夹芯中σx=σy=τxy=0 。

③ 在夹芯和表层中，应力分量σz很小，假定σz=0，εz=0

本文选用基于Hoff理论的等刚度法进行铝蜂窝夹层结构等效物理参数的求解，其等效参数解析解公式如下[9]：

(1)

(2)

μeq=μf，

(3)

(4)

式中，teq，Eeq，μeq，ρeq分别为等效板的等效厚度、等效弹性模量、等效泊松比以及等效密度；hf，hc，Ef，μf，ρf，ρc分别为夹层板结构中表层板的厚度、蜂窝芯子的厚度、表层板的弹性模量、表层板的泊松比、表层板密度以及蜂窝芯子的密度。等效密度中的k为考虑夹层结构中的胶膜等附加质量引入的修正系数，取值范围1.3～2.1。

2.1.2 三明治夹芯板理论

三明治夹芯板理论认为铝蜂窝夹层结构是由上下两块各向同性的面层以及中间各向正交异性的夹芯所组成。运用该理论进行蜂窝芯层等效时，假定芯层不但能抵抗横向剪切变形，还具有一定的面内刚度。上下蒙皮服从Kirchhoff假设，忽略蒙皮抵抗横向剪应力的能力，则蜂窝芯层可以等效为均质的厚度不变的正交异性层。

蜂窝芯层力学参数的推导是选取夹芯自身结构中某一典型单元为胞元，使胞元处于单向受力状态，推导对应于该状态的力学参数。常见的正六边形蜂窝Gibson等效公式下的胞元结构如图6所示。

图6 Gibson等效公式所用胞元Fig.6 Cells used in Gibson’s equivalence formula

为了克服Gibson等效公式推导时没有考虑胞壁的伸缩变形，同时也为了能够使得推导夹芯层各等效力学参数时胞元模型保持一致，也有以Y形模型进行等效公式的推导。Y形胞元如图7所示。

图7 Y形胞元示意Fig.7 Schematic diagram of Y shaped cell

考虑到铝蜂窝材料的制备过程，对于单个蜂窝结构，胞壁Y方向的实际厚度是其他方向胞壁厚度的2倍。为了能够更精确地进行蜂窝芯层的等效，在进行等效参数推导时，胞元中胞壁厚度的不同因素也需要考虑。

铝蜂窝夹芯等效力学参数如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，Es为蜂窝夹芯材料的弹性模量；t为蜂窝胞元胞壁的厚度；l为胞元中胞壁的长度；Gs为蜂窝夹芯材料的剪切模量。

已知铝合金材料的弹性模量和泊松比，在确定所选用的铝蜂窝芯材胞元的壁厚以及边长后，可以很方便地计算出铝蜂窝芯材的等效力学参数。

2.1.3 蜂窝板理论

蜂窝板理论是以动力学方程为基础，基于曼哈顿原理，将整个蜂窝夹层结构等效为等刚度、同尺寸的正交各向异形板，其推导过程同时考虑了夹芯结构表层和芯层的面内和面外力学性质。蜂窝板理论中，夹层板与等效板示意图如图8所示[12]。

(a) 蜂窝夹层示意

蜂窝板理论进行等效板的力学参数推导时，首先假设夹层板横截面上的位移是连续的，根据低阶剪切理论，可将夹层板横截面的位移分量与夹层结构中面外法线绕x轴和y轴间的转角关系对应起来形成第一个等式。然后再利用蜂窝夹层和等效板具有相同形式的动力学方程，得到位移表达的第二个等式。

分别通过刚度等效以及惯性等效使得到第一个和第二个等式具有相同的解，分别得到等效板的弹性常数以及等效板的密度。文献[7,12]对蜂窝板理论的推导有具体的说明，本文仅给出推导的结果。

等效密度：

(13)

等效力学参数：

(14)

其中，

(15)

式中，

efij，ecij分别是表层材料和蜂窝夹芯在上述坐标系中的刚度系数；ρf，ρc分别是表层材料和蜂窝夹芯的质量密度；μs为蜂窝芯子材料的泊松比；K为影响系数，可以根据工程实际或实验取0～1的数值，其表明蒙皮层横向剪切的影响程度；Ex，Gxz，Gyz，Gxy为夹芯材料的等效工程常数，可由2.1.1得到；E，G为面板材料的工程常数。

2.1.4 计算仿真方法确定

Hoff理论的等效板法忽略了夹芯沿厚度方向的变形，不适用于计算局部稳定性的问题，等效时假设了结构剪应力沿厚度方向为常值，剪应力不连续，对于各夹芯层刚度差异较大的多层夹芯结构不适用。利用等效板法得到的夹芯结构的物理参数进行有限元仿真时，得到的材料应力只是等效板的应力，并不是真实蜂窝夹层板的应力，如果要得到蜂窝夹层板的应力，还需通过夹层结构与等效板的内力矩以及在内力相等的前提下进行推导，计算结果并不直观。蜂窝板理论的计算量相对比较大，而且计算中需要用到三明治夹芯板理论的结果。

以本文设计的蜂窝夹层结构为例，参数如下：铝蜂窝夹层板的面板厚度hf=d=1.5 mm，Ef=70 GPa，μf=μ=0.3，ρf=2 700 kg/m3；蜂窝夹芯的尺寸t×l=0.05 mm×5 mm，厚度为55 mm，其制作材料力学参数Es=70 GPa，μs=0.3，ρf=2 700 kg/m3，则由式(5) ～ 式(12)可知，蜂窝芯子的等效力学参数如表2所示。

表2 蜂窝芯子的等效力学参数Tab.2 Equivalent mechanical parameters of honeycomb core

Hoff等刚度法计算得到的铝蜂窝夹层结构等效力学参数如表3所示。

表3 Hoff理论蜂窝夹层结构等效力学参数Tab.3 Equivalent mechanical parameters of honeycomb sandwich structure based on Hoff theory

蜂窝板理论法计算得到的铝蜂窝夹层结构等效力学参数如表4所示。

表4 蜂窝板理论蜂窝夹层结构等效力学参数Tab.4 Equivalent mechanical parameters of honeycomb sandwich structure based on honeycomb plate theory

三明治夹芯板理论仅对铝蜂窝夹芯进行等效，其核心是通过有限元计算法得到夹层板力学分析时的数值解。利用有限元分析软件进行夹层板结构力学计算时，仅需在相应的有限元计算软件中建立蜂窝夹芯的板层模型，就可以很方便地进行分析，并且可以用于处理多层铝蜂窝夹层结构。三明治夹芯板理论计算模型简单直观、计算量不大，并且有多项对比研究表明，三明治夹芯板理论具有较高的准确性，在静力计算中能够较真实地反应结构应力分布[15-20]。故本文平面反射镜的设计中采用三明治夹芯板理论进行有限元分析。

2.2 铝蜂窝夹层平面反射镜有限元仿真

本文平面反射镜有限元仿真基于大型通用软件MSC/PATRAN。首先建立平面反射镜有限元模型，如图9所示。

(a) 平面反射镜有限元模型-正视图

有限元模型中，上下表层板采用壳单元、蜂窝夹层芯子采用六面体单元、预埋连接件采用六面体单元。为了模拟平面反射镜安装后的实际固定状态，按照图4设计的平面反射镜固定位置，进行5点约束。假设支撑时有100 mm长的悬臂，悬臂直径φ为16 mm。仿真约束位置如图10所示。

图10 有限元仿真约束位置Fig.10 Finite element simulation constraint position

进行平面反射镜力学性能仿真前，首先分析蜂窝夹层平面反射镜在5点支撑约束下的前4节模态，结果如表5所示。

表5 蜂窝夹层平面反射镜前4阶模态仿真结果Tab.5 Simulation results of the first four modes of the honeycomb sandwich plane mirror

由表5可以看出，所设计的平面反射镜结构具有较强的结构刚度。第2阶和第3阶是由于平面反射镜支撑变形引起的平面镜在镜面平面内前后以及左右方向的移动，由于约束点的对称性，所以这2个方向上的频率值相同。

在有限元分析过程中，通过改变施加重力的坐标系与平面反射镜自身坐标系间的夹角，可以方便地模拟平面反射镜在不同仰角下的重力变形情况。以平面反射镜镜面法向与重力方向间夹角为俯仰角，分别选择了平面反射镜仰角为0°,30°,45°,60°以及90°时5种工况进行了仿真分析。仿真结果如图11～图15所示。

图11 仰角0°时平面反射镜重力变形云图Fig.11 Cloud image of the plane mirror’s gravity deformation at El 0°

图12 仰角30°时平面反射镜重力变形云图Fig.12 Cloud image of the plane mirror’s gravity deformation at El 30°

图13 仰角45°时平面反射镜重力变形云图Fig.13 Cloud image of the plane mirror’s gravity deformation at El 45°

图14 仰角60°时平面反射镜重力变形云图Fig.14 Cloud image of the plane mirror’s gravity deformation at El 60°

图15 仰角90°时平面反射镜重力变形云图Fig.15 Cloud image of the plane mirror’s gravity deformation at El 90°

不同工况下平面反射镜中立变形仿真结果如表6所示。

表6 不同工况下平面反射镜重力变形仿真结果Tab.6 Simulation results of the gravity deformation of the plane mirror under different working conditions

由表6可以看出，在平面反射镜俯仰角为0°时，平面反射镜仅由重力引起的工作面均方根值最大，仰角90°时均方根值最小，二者间的最大差值为6.5 μm≤10 μm。设计的蜂窝夹层形式的平面反射镜满足刚度指标要求。

3 实物铝蜂窝夹层平面反射镜检测

根据设计的蜂窝夹层平面反射镜结构，加工了3块平面反射镜，如图16所示。利用激光跟踪仪对加工出的平面反射镜进行了检测。

图16 铝蜂窝夹层平面反射镜实物Fig.16 Physical picture of the aluminum honeycomb sandwich plane mirror

平面反射镜检测过程中数据点云分布如图17～图19所示。通过平面反射镜的检测数据点云图，可以得到加工出的平面反射镜的误差分布以及激光跟踪仪数据处理软件得到的反射镜平面度均方根值。

图17 18-01-01号平面反射镜检测数据点云分布Fig.17 Point cloud distribution map of plane mirror inspection data No.18-01-01

图18 18-01-02号平面反射镜检测数据点云分布Fig.18 Point cloud distribution map of plane mirror inspection data No.18-01-02

图19 18-01-03号平面反射镜检测数据点云分布Fig.19 Point cloud distribution map of plane mirror inspection data No.18-01-03

3块平面反射镜检测结果如表7所示。

表7 3块平面反射镜的实际检测结果Tab.7 Actual inspection results of three plane mirrors

由表7可以看出，加工出的平面反射镜满足工程中的指标要求，可以应用于实际工程。

4 结束语

本文在理论分析的基础上给出了铝合金蜂窝夹层复合成型的平面反射镜结构形式。分析对比了多种蜂窝夹层结构等效理论的特点，并且利用三明治夹芯板理论，对设计的平面反射镜结构进行了有限元仿真，仿真结果表明，设计的结构形式满足指标要求。

通过检测加工出的3块平面反射镜实物，验证所加工的平面反射镜各项指标均达到了设计指标的要求。根据仿真分析与实物测量结果的对比，进一步验证了三明治夹芯板理论在蜂窝夹层结构仿真中的合理性。同时也表明了本文中给出的铝合金蜂窝夹层复合成型平面反射镜结构在解决如何得到高刚度，轻量型平面反射镜问题中的实用性。