敦煌《算经》编撰年代及源流探析

任占鹏

内容摘要：关于敦煌写本《算经》的编撰年代，有唐代说、五代说以及唐五代说，笔者结合韩延《夏侯阳算经》，将其编撰年代推定在唐代宗建中元年之后的中晚唐或后唐。《算经》类算书的源流，前人多追溯至晋代的《孙子算经》。笔者通过对比，认为北大秦简《算书》甲篇是《孙子算经》《算经》的源头，其内容和结构对后世算书的编撰有很大影响;《算经》分门别类的编撰体式，是受北朝《算书》的影响，而北朝《算书》上承《孙子算经》。由此，《算经》类算书的源流和发展脉络愈加明晰。

关键词：敦煌写本;《算经》;《孙子算经》;北大秦简《算书》甲篇;北朝《算书》

中图分类号：G256.1  文献标识码：A  文章编号：1000-4106（2021）06-0107-09

On the Codification Era and Origins of the Suan Jing from

Dunhuang Documents

REN Zhanpeng

（Headquarters for Education， Hiroshima University， Higashi Hiroshimashi， Hiroshima 7398511， Japan）

Abstract：Scholars of Dunhuang Studies have traced the compilation of the Dunhuang manuscript Suan Jing， an ancient book on mathematics， either to the Tang dynasty， the Five Dynasties， or the period of overlap between the two dynasties. By comparing the text with Xiahouyang Suan Jing recorded by Han Yan， the author of this paper concludes that the Suan Jing was compiled in the mid to late Tang dynasty， either after the first year of the Jianzhong era or during the Later Tang period. The origins of arithmetic books like the Suan Jing have traditionally been traced back to the Sun Tzu Suan Jing from the Jin Dynasty. It is through similar historical comparison and analysis that the author believes that the “Jia” chapter of the Suan Shu （a similar mathematical treatise） from the Qin dynasty bamboo slips collected at Peking University is the source of both Sun Tzu Suan Jing and Suan Jing， and that the contents and structure of this earlier compilation had a crucial influence on the compilation of books on mathematics created in later times. The compilation style of Suan Jing was clearly influenced by the Suan Shu of the Northern Dynasty， which in turn inherited its structure from Sun Tzu Suan Jing. This process of inheritance is highly suggestive for the origins and development of Chinese treatises on mathematics.

Keywords：Dunhuang manuscript; Suan Jing; Sun Tzu Suan Jing; “Jia” chapter of Suan Shu in the Qin bamboo slips; Suan Shu of the Northern Dynasties

《算经》，史籍未载，作者不明，幸赖敦煌莫高窟藏经洞得以保存了6个卷号的写本，可以缀合为两件，为P.3349+S.5859、S.19+羽37+Дx.3903+

S.5779{1}。缀合后的两件写本的内容依旧残缺，按照现存内容可以分为三部分：一是序文，二是以筹算识位法和乘除法、九九乘法歌、大数法、度量衡制为主的传统基础算学知识，三是“均田法第一”。一直以来学界多围绕《算经》的内容和价值展开探讨，且多涉及与《孙子算经》《夏侯阳算经》《五曹算经》的对比，先后有李俨[1]、那波利贞[2]、李倍始（U.J.Libbrecht）[3]、赵承泽[4]、许康[5]、李并成[6]、王进玉[7]、宫岛一彦[8]、王渝生[9]、李迪[10]、刘钝[11]、邓文宽[12]等先贤的研究成果可供参考。

本文在先贤的基础上，欲就以下两个方面的问题展开讨论：首先是《算经》的编撰年代。李俨、那波利贞、许康、宫岛一彦、郝春文、王进玉虽对此提出了自己的观点，但尚无定论，现在主要有唐代说、五代说以及唐五代说。笔者在校录《算經》写本时，发现识位法中的部分内容源自《夏侯阳算经》，对于缩小编撰年代的范围有重要价值。其次是《算经》类基础蒙书的源流。据先贤研究，《算经》内容多见于《孙子算经》，表明《孙子算经》就是《算经》的源头。2010年北京大学入藏的一批秦简中，有《算书》甲篇210枚[13]，此书内容、结构与《孙子算经》《算经》非常类似。另外，敦煌文献中尚有北朝《算书》一卷，结构与《算经》较为接近。这两件资料对探究《算经》的源流具有重要意义。接下来就以上两个问题进行讨论，以求教于方家。

一 《算经》编撰年代新探

关于《算经》的编撰年代，李俨在1935年《中算书录》中主张是开元、天宝年间[14]，然未说明，1938年在《唐代算学史》一文中称唐代[15]，1955年又在《中算史论丛·宋代民间算学教育》中提及是唐末宋初[16]。那波利贞推断为唐代昭宗大顺二年（891）之前[2]。许康主张《算经》写于唐代或五代[5]。近年来，郝春文[17]、王进玉[18]主张五代说。先贤的认识尚不一致，下面依次对各观点进行分析。

李俨《唐代算学史》一文判断《算经》是唐代著作，主要依据有二：第一，《算经》中“《大唐令》文：诸[度]以北方秬黍中者一黍之广[为分]”一句与《唐律疏议》所载“《杂令》“度以秬黍中者一黍之广为分”及《唐六典》所载“凡度以北方秬黍中者一黍之广为分”的内容相吻合{2};第二，《算经》所载“五尺曰步”，与《旧唐书·职官志》所载“凡天下之田，五尺为步，步二百有四十为亩，亩百为顷”[19]的相关内容一致。从李俨所举材料来看，《算经》的内容符合唐制，那么它编撰于唐代的可能性很高。然而李俨又在《中算史论丛》中提出它是唐末宋初著作，但未说明。许康所依据材料与李俨类似，认识却略有不同。他指出《算经》所载“五尺曰步”与唐代《夏侯阳算经》所载相同，符合唐制，又结合李俨所列第一条材料，认为《算经》写于唐代或五代。的确，五代的度量衡制基本延续自唐代，且后唐也有称“大唐”{1}，所以不能排除《算经》编撰于后唐的可能性。

郝春文先生进一步主张五代说，依据有三：其一，唐人多称《开元令》或《某某年令》，而不称《大唐令》;其二，《算经》量部末尾载“今云：廿粟为一圭”，与《大唐令》中“十粟为一圭”一句不同，透露出其时代在《大唐令》之后;其三，《算经》中量制单位“抄”，唐代成书的《隋书·律历志》中写作“妙”，而成书于后晋的《旧唐书·食货志》即写作“抄”，似乎表明《算经》的时代与《旧唐书》成书时代相近。笔者以为这三条依据皆有值得商榷之处。首先，唐杜佑《通典·职官》载：“大唐令：诸职事官年七十、五品以上致仕者，各给半禄。”[20]此材料可证唐代当朝有称《大唐令》。其次，《算经》中“又据《大唐令》文：诸[度]以北方秬黍中者一黍之广[为分]”一句出现在度制内容末尾，应该是作为度制的补充介绍，而不能认为《算经》所载量制的“十粟为一圭”亦出自《大唐令》。而且“廿粟为一圭”的说法在传世文献中尚未发现，笔者以为它可能出自当时的地方制度，可能是唐代，也可能是五代，所以不能根据这句话得出《算经》的编撰年代在唐代之后的推测。最后，《隋书·律历志》载：“《孙子算术》曰：‘六粟为圭，十圭为秒，十秒为撮，十撮为勺，十勺为合。”[21]其中作“秒”字，而非“妙”字。《隋书》中作“秒”，可能是“抄”字之讹，而且古籍传本用字不一非常多见，实难据此来推测《算经》的时代。王进玉亦认为是五代，然不知所由。总之，以现有的证据来看，并不能排除《算经》编撰于唐代的可能，还是唐代或后唐时期更为稳妥。

日本学者那波利贞还提出唐昭宗大顺二年（891）之前说。那波氏得出此结果的前提是《算经》和P.2667《算书》是同一本书，P.2667背有题记“大顺二年十一月”（按：该题记为“大顺三年十二月”，那波氏校录有误）。“大顺”是唐昭宗年号，那波氏进而推测出《算书》和《算经》的编撰年代应该早于大顺二年。但是，《算经》和P.2667《算书》不是同一本书，这一点先贤已有论断。如许康主张《算书》可能出自北朝[5];菊池英夫推断《算书》的编撰年代在北朝到唐初之间[22];郭正忠更是经过对《算书》各题内容的详细考证，判断它是北朝著作[23]。王进玉支持郭正忠之说[18]79-80。可见《算书》的编撰年代早于《算经》似乎已成定论，二者实非一书，因此那波氏的立论基础就不成立了。

从先贤所举材料来看，《算经》的编撰年代应该在唐代或后唐，而笔者重新校录P.3349《算经》之后，发现一条资料对于判断其编撰年代上限有帮助。P.3349中识位法紧接在序文之后，仅有三行，行末皆残缺，李俨的录文如下：“凡算者正身端坐，一从右膝而起，先识其位，一纵十横，百立千僵，万百相似，千十相望。六不积聚，五不单张。算 乘之法，十步至十，百步至百，千步至千，万步至万。乘除之法，言十自过，不满自当，相 乘至尽则已。 ”[24]“先识其位，一纵十横，百立千僵”一句，李俨所补应该无误，但是“算乘之法，十步至十，百步至百，千步至千，万步至万”一段的校补，笔者以为值得商榷。依据IDP彩图，可见写本“万步至万”一句之前二字明显作“百见”，结合起来应该作“百，见万步至万”，而与这句话类似的内容出现在《夏侯阳算经》中。《夏侯阳算经·明乘除法》载：“夫乘除之法，先明九九。一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当……言法之上，见十步至十，见百步至百，见千步至千，见万步至万。悉观上数，以安下位。上不满十，下不满一。”[25]据此，笔者把《算经》“五不单张”一句之后的内容校补作：“算 法 □□□，见十步至十，见百步至 百，[见千步至千]，见万步至万。”因此可以推断出《算经》这段话其实出自《夏侯阳算经》。另外，《算经》量制的“十粟为一圭”，与《孙子算经》所载“六粟为一圭”不同，而与《夏侯阳算经》一致，为《算经》有参考《夏侯阳算经》的又一例证。钱宝琮经过考证，认为传世本《夏侯阳算经》是唐人韩延大约在唐代宗建中元年（780）两税法施行以后编撰的[26]。若钱氏考证无误的话，那么《算经》的编撰年代应该在韩延《夏侯阳算经》之后。也就是说，《算经》的具体编撰年代应该是在唐代宗建中元年之后的中晚唐或者后唐时期。

二 《算经》的源流探析

利用北大秦简《算书》甲篇、敦煌写本北朝《算书》，结合《孙子算经》，对《算经》的源流试作探析，以期对唐以前算学蒙书的发展过程有更多认识。

从李俨、那波利贞、许康等学者的论述中，可知《算经》序文、度量衡制、大数法、识位法、九九乘法歌等的内容多源自《孙子算经》。这里对二者内容结构和性质的相同点作一点说明。《孙子算经》的编撰年代大约在公元400年前后[25]275，唐人多有修订[26]104。传世本《孙子算经》分为序、卷上、卷中、卷下，卷上内容依次为度量衡制、大数法、金属比重、识位法和乘除之法、九九乘法歌;卷中和卷下是各种算题。现存《算经》的内容依次为序文、识位法和乘除法、九九乘法歌、大数法、度量衡制、九九乘法歌、田亩算题。可见二者内容结构高度相似。二者都是基础算书。钱宝琮认为：“《孙子算经》卷上首先叙述竹籌记数的纵横相间制和乘除法则，卷中说明分数算法和开平方法，这些不仅在当时达到了普及数学教育的目的……卷中和卷下所选的应用问题大都切于民生日用，解题方法亦浅近易晓。”[25]275-276那波利贞认为《算经》和《孙子算经》的内容都是唐代普通人日常实际生活中最低限度的算术知识，是可以在寺塾、乡学、里学等学校中使用的庶民普通教育的教材[2]。王渝生指出敦煌算书的数学水平与著名的十部算经中的《孙子算经》《五曹算经》和《夏侯阳算经》大致相当[9]。因此从内容结构和性质来看，我们可以断定《算经》上承自《孙子算经》。

除此以外，北大秦简《算书》甲篇内容和结构与《孙子算经》《算经》较为接近，敦煌本《算书》所存部分也与《算经》的“均田法第一”结构类似，对于它们之间的联系，学界尚未充分关注。

（一）北大秦简《算书》甲篇与《孙子算经》《算经》的关联

北京大学入藏的秦简与算学相关的有4卷，即卷3、卷7、卷8和卷4的一部分。卷7和卷8的内容、形式类似，是关于田亩、租税计算的算书，存篇名《田书》。卷3和卷4的一部分是以各种算术和相关算题为主，未存篇名，韩巍拟题作《算书》。卷4中的《算书》又分作甲、乙两篇。甲篇210枚简，可以分为四个部分，依次为《鲁久次问数于陈起》、九九乘法歌、算题汇编、衡制[13]。这些内容让笔者联想到了《孙子算经》《算经》，它们的联系值得深入探究。

对于《算书》甲篇，前人的目光多集中在开头的《鲁久次问数于陈起》，不断探究其文意与其他文献的关系。郭书春和郭世荣的论述涉及了该文与《孙子算经》序文的一些异同点[27]。郭书春认为二者在强调“数”的作用方面有一定相似性。郭世荣认为陈起是从实际出发，论述平实，而《孙子算经》所述比较夸张和张扬。先贤虽然已经论及一些《鲁久次问数于陈起》与《孙子算经》序文的异同点，但是未能说明。下面具体来看看此文与《孙子算经》《算经》序文的关系。

《鲁久次问数于陈起》共32枚竹简，816字，原无篇题，韩巍取其篇首命名，简称为“《陈起》篇”起自“鲁久次问数于陈起”，终于“所求者毋不有也”{1}，包括鲁久次的三次提问和陈起的三次回答;通过问对，论述了数学的起源、作用和意义。鲁久次的三次提问，分别引出三个问题：第一问是“久次读语、计数弗能并撤，欲撤一物，何物为急”，第二问是“天下之物，孰不用数”，第三问是“临官莅政，立度兴事，何数为急”。其中第二问和第三问的部分内容皆可在《孙子算经》《算经》的序文中找到相关内容，见表1。

《算经》序文大部分内容与《孙子算经》相似，经过对比，二者的联系明显有三：

其一，二者都借用天地、日月、四时等宏大又不可缺少的事物来说明数学的重要性。《鲁久次问数于陈起》第二问中“天下之物，无不用数者。夫天所盖之大也，地所生之众也，岁四时之至也，日月相代也，星辰之往与来也，五音六律生也，毕用数”，这段话所论之“天”“地”“四时”“日月”“星辰”等，都能在《孙子算经》序文“夫算者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪”中找到对应的内容，都是从宏观的角度表达“数”的重要意义。

其二，二者都宣扬数学对人们日常生产生活的重要意义。《鲁久次问数于陈起》第二问中“地方三重，天圆三重，故曰三方三圆，规矩水绳、五音六律六闲皆存”这段话对应着《孙子算经》序文的“立规矩，准方圆”。第三问中从“不循昏黑，澡漱洁齿”到“各有所宜，非数无以知之”一大段话，是从现实的角度表达“数”在日常生活、生产、营造、军事等方面不可缺少的。《孙子算经》序文浓缩为“谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析黍絫”数语，更为精炼罢了。

其三，两者都有明显的劝学意图。《鲁久次问数于陈起》第三问末尾的“（隶首）者算之始也，少广者算之市也，所求者毋不有也”，这几句话与《孙子算经》序文末尾的“向之者富有余，背之者贫且窭”所表达的含义类似，旨在告诉学习者算学是成功的阶梯。

由此可见，《鲁久次问数于陈起》所表达的算学意义和价值，基本可以在《孙子算经》序文中找到对应的部分，可以说前者是后者的源头。不同的是前者以问答方式展开，解答细致;后者则借用“孙子”之口进行述说，注重简要。从学习者的角度看，后者容易记诵，更为实用。

另外，《鲁久次问数于陈起》第三问中还提道：“民而不知度数，譬犹天之毋日月也。天若毋日月，毋以知明晦。民若不知度数，无以知百事经纪。”这段话让笔者联想到了《算经》序文末尾的“言人不解算者，如天无日月，地无泉源，人无眼目”。二者都强调了算学的重要意义，涉及内容和形式有一定的相似性，说明它们有渊源关系。《孙子算经》的编撰时代在《鲁久次问数于陈起》与《算经》之间，而传世本序文中却没有这段类似的内容，似存在传播过程中亡佚的可能。

总之，可以确定的是《鲁久次问数于陈起》就是《孙子算经》《算经》序文的源头，这对探究《孙子算经》序文的形成具有启示性，而且可知《孙子算经》和《算经》所表达的数学思想早在秦代就已经形成。

《算书》甲篇中《鲁久次问数于陈起》之后的内容，僅韩巍《北大秦简中的数学文献》一文有所介绍，尚未有学者与《孙子算经》《算经》做过对比。

《算书》甲篇的第二部分是九九乘法歌，韩巍称之为“九九术”，共八枚简，上下五栏抄写，起自“九九八十一”，终于“一一而二”，共三十七句，后接算题，其内容和形式与里耶、敦煌、居延等地出土的九九乘法歌基本相同，只是缺了“二半而一”一句。《孙子算经》中的九九乘法歌是在度量衡制、大数法等之后，算题之前。《算经》有两篇九九乘法歌，第一篇在序文和识位法之后、大数法之前;第二篇在度量衡制之后、田亩算题之前。可见三本书中九九乘法歌的位置相似。不过，《孙子算经》《算经》九九乘法歌已经发展为四十五句的“小九九”，且在歌诀后添加了加法、除法、平方运算，内容更为丰富。

《算书》甲篇的第三部分是算题汇编，内容以田亩和田租方面的算题和相应算术为主，现存标题有“田”“租禾”“租枲”“不为实”等，概括了本组算题的内容。算题结构可分三类：一是先以“某某述（术）曰”或“曰某某述（术）”开头，陈述算术，然后列举例题;二是先举例题，然后用“某述（术）曰”说明算术;三是仅有算术而无例题，如“乘分”“合分”“约分”等分数运算。这种内容形式和算题结构为后来的《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《算经》等算书所继承。具体到《孙子算经》《算经》，算题都是以“今有……问……”的形式提出问题，以“答曰……”或“曰……”的形式公布答案，最后用“术曰……”的形式讲述算法和计算过程。

《算书》甲篇的第四部分是衡制，包括石、钧、斤、两、锱、铢等单位的相互换算，如“一石而四钧”“一钧而卅斤”等，形式上与《孙子算经》《算经》的度量衡制相近。不同的是，《算书》甲篇仅有衡制，且其中单位换算用“而”字连接，而后两者度量衡制齐备，单位换算多用“为”字连接。

综上所述，《算书》甲篇中的《鲁久次问数于陈起》其实可以看作是其序文，紧接着是九九乘法歌、算题汇编、衡制。除了衡制的顺序，可以说内容和形式与《孙子算经》《算经》相似度很高，证明了《算书》甲篇就是《孙子算经》《算经》的源头。

（二）北朝《算书》与《孙子算经》《算经》的关联

关于敦煌写本P.2667《算书》，前人已注意到其“营造部第七”“□□部第九”的部名以及算题形式与《算经》“均田法第一”有诸多相似之处，那波利贞便以为它可能是P.3349《算经》的一部分[2]。那么它与《孙子算经》《算经》又有怎样的联系呢？

P.2667《算书》，首尾俱缺。原件无题，李俨最早称之为《算书》。许康[5]、郭正忠[23]皆证明它是北朝著作。故本文称之“北朝《算书》”。那波利贞认为它和《算经》一样，是唐代乡校的俚儒编纂的作为教授普通庶民的一般教科书[2]。宫岛一彦认为它是初级的数学问题集[8]，李并成说它是用于学校或家塾教育的初级数学课本[6]。可见其性质和《孙子算经》《算经》非常类似。

该算书现存计有算题13道，第2题之后有部名“营造部第七”，第10题之后有部名“□□部第九”，各题的结构是以“今有……”开头的题目，然后是以“△问：……”的形式提出问题，接着用“△曰：……”的形式给出答案，最后是“△

术：……”的形式给出算法。这一形式与《孙子算经》《算经》相似。其算题涉及内容包括民食、军需、营造、生产，具体问题有人口食量、马匹食量、堑和堤的营造、建屋用瓦、衣袍制造、城防建设、军队出征、生活物品生产（作枕、燃蜡），与普通人的日常生活关系不大，而是与官吏的行政和军事工作、社会生产的关系更为密切。《孙子算经》卷中也有类似的工程营造（圆窖、方窖、索、堤、沟、筑城、穿渠）、生活物品生产（作枕、织布）等。二者相近的算题对比可见表2。

表2所举算题为建屋用瓦、方木作枕、修建堤坝三题，二者的数据基本相同、算法近似，可以确认北朝《算书》的这些算题源自《孙子算经》。但是《孙子算经》未分部，而《算书》中“营造部第七”和“□□部第九”两个部名的出现表明它更有体系。姜亮夫在《敦煌——伟大的宝藏》中指出：“这种分类编辑法，本是六朝以来类书体式，也是适应当时民间需要而作的。”[29]可见《算书》采用的分类体式，显然顺应时代，受到了类书编撰体式的影响，较之《孙子算经》是进步的体现。

《算书》虽是北朝著作，但敦煌写本的字体是正楷，抄写时代应该是唐代，背面是社司转帖、字迹清晰的三件状稿和《千字文》以及题记“大顺三年（892）十二月”，对比正背面书写情况，正面的《算书》是较为正式的抄写，而背面带有杂写性质，所以推测《算书》的书写年代在前，背面内容在后，那么敦煌本北朝《算书》的书写年代当在唐代大顺三年之前{1}。

北朝《算书》一直到唐代还在敦煌地区流传，它应该对《算经》的编撰产生过一定的影响。下面从内容形式和写本特征两方面分析二者的异同点。

首先，二者的编撰形式具有相似性。北朝《算书》的部名“营造部第七”“□□部第九”与《算经》部名“均田法第一”有一致性，都采用类书的编撰体式而且二者算题的形式也基本相同，都分为题目、提问、答案、算法四部分，前者当是后者体式之滥觞。顺便一提，宫岛一彦根据题目的相关性，推测《算书》的每部皆由4道题构成[8]，即现存第1题和第2题属于“某某部第六”，第3题到第6题属于“营造部第七”，第7题到第10题属于抄写过程中脱掉的“某某部第八”，第11题到第13题属于“□□部第九”。此说颇有道理。但是《算经》“均田法第一”最少有10道算题，与宫岛氏所推测出的《算书》每部由4道题构成的结构不同。

其次，二者的写本特征具有相似性。写本都留有天头地脚，有界栏，行约35字，总的抄写方式类似，但是二者字迹不一，非同一人所抄。

经过对比可知，《算经》中算题分门别类的结构形式非原创，而是承自北朝《算书》。北朝《算书》在唐代还在流行，甚至和《算经》一起流行于敦煌地区，因此不排除《算经》的编撰者直接参考《算书》的可能。遺憾的是，《算书》和《算经》都缺失大半，难以了解它们的全貌。

小 结

《算经》的编撰年代当在唐代或后唐，考虑到其识位法的部分内容引自韩延编撰的《夏侯阳算经》，因此笔者以为将它的具体编撰年代放在唐代宗建中元年之后的中晚唐或后唐更为稳妥。关于《算经》的源流，先贤多追溯到两晋时期的《孙子算经》，笔者通过比对出土秦代简牍，始知早在秦代就已经出现这类算书的先河。《孙子算经》的序文实际脱胎自北大秦简甲篇《算书》甲篇的《鲁久次问数于陈起》，可知其序文所表达的数学思想早在秦代就已经形成;《孙子算经》内容结构也和北大秦简甲篇《算书》非常类似，是知北大秦简《算书》甲篇便是《孙子算经》的源头。敦煌本北朝《算书》继承《孙子算经》而发展，且受到当时类书体式的影响，对算题按照种类进行了分部。唐五代的《算经》可谓博采众长，内容上主要受《孙子算经》影响，而又吸取了《夏侯阳算经》的部分内容，结构上继承北朝《算书》，分门别类。从秦简《算书》甲篇、《孙子算经》、北朝《算书》到《算经》，可以搭建起一条此类基础算书从秦代到唐五代的基本发展脉络。

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