若干广义度量空间上的半连续函数的单调插入

胡星宇，金元峰，李坚兵

（1.广州工商学院 通识教育学院，广东 广州 510850；2.延边大学 数学系，吉林 延吉 133002）

近些年，一般拓扑空间上的函数插入问题受到了极大的关注，尤其是某些广义度量空间和函数插入的关系更是被广泛讨论，谢利红等［1-4］在这方面做了大量工作。金迎迎［5］讨论了K-MCM 空间、层空间、半层空间、K-半层空间上的半连续函数的单调插入。本文在文献［5］的基础上讨论MCM 空间、MCP空间、弱MCP 空间、完备空间、完备正规空间上的半连续函数的单调插入。

1 基本知识

关于拓扑空间的一些基础知识在文献［6］中都可以找到，此处省略。

定义1［7］设（X，μ）是拓扑空间，R 是赋予通常拓扑的实直线。f：X→R 是上半连续函数（下半连续函数)，若对每一a∈R 集合｛x∈X：f（x）＜r｝（或｛x∈X：f（x）＞r｝）是开集。

定义2［6］定义一个拓扑空间（X，μ），若对于X 的任意开覆盖均有一个有限的子覆盖，则称它为紧空间。

定义3［5］符号-∞和+∞被称作广义实数。令R*=R∪｛-∞，+∞｝，它同胚于［0，1］区间，那么R*被称作是广义实数集。它满足序关系，对于任意r∈R，-∞＜r＜+∞。映射f：X→R*被称作是广义实值函数。

定义4［5］设（X，μ）是拓扑空间，对于映射h：X→R*而言，如果存在正实数r 和一个X 的开领域U满足h（U）⊆（-r，r），那么h：X→R*被称作x 在R 上的局部有界映射，对于映射h：X→R*而言，定义Uh=｛x∈X：h 是x 在R 上的局部有界映射｝，很明显的是，Uh是X 上的开集。

定义5［5］如果（Fj）是拓扑空间（X，μ）中的递减闭集序列，那么我们可以定义映射：X→R*为已知在X∩j∈NFj中是上半连续并且是x在R 上的局部有界映射。那么对于每一个j∈N，给定任意两个递减的闭集序列（Fj）j∈N和（Ej）j∈N，如果Fj⊆Ej，那么

定义6［5］如果（Uj）j∈N是拓扑空间（X，μ）中的递减开集序列，那么可以定义函数：X→R*为

2 主要结果

首先我们给出MCM、MCP 空间的概念。

定义7［7］空间X 被称作单调可数亚紧空间MCM，如果存在一个算子U，将X 中的每一个相交为空集的递减的闭集列｛Fn｝都对应X 的开集列U（n，｛Fn｝）），并且满足：

（1）对于每一个n∈N，有Fn⊆U（n，Fj））成立；

（2）∩n∈NU（n，Fn））=Ø；

（3）如果，那么｛U（n，｛Fn｝）｝≺｛U（n，｛En｝）｝。

如果更设条件（2）满足，，则称为MCP 空间。

定义8［8］设X 为拓扑空间（X，μ），如果其上的g 函数具有如下性质，若对于每一n∈N 有xn∈g（n，yn），则序列｛xn｝在X 中有聚点，序列｛yn｝在X 中也有聚点，则称空间X 是弱MCP 空间。其中g 为X 的弱MCP 函数。

由文献［8］又知道每个C-MCP 空间都是C-弱MCP 空间。

定理1空间X 是MCM 空间当且仅当对于每一个局部有界的实值映射h：X→R，都存在一个下半连续h'：X→R 有：i）│h│≤h'；ii）如果│h1│≤│h2│，有

由定义7 和定义8，自然有如下推论。

推论1空间X 是MCP 空间当且仅当对于每一个局部有界的超实值映射h：X→R，都存在一个超下半连续h'：X→R 有：i）│h│≤h'；ii）如果│h1│≤│h2│，有。

推论2空间X 是弱MCP 空间当且仅当对于每一个局部有界的超实值映射h：X→R，都存在一个超下半连续h'：X→R 有：i）│h│≤h'；ii）如果│h1│≤│h2│，有。

下面我们给出完备空间、完备正规空间上的半连续函数的单调插入。

定义9［6］拓扑空间（X，μ）的子集A 被称为Gδ（Fδ）集，如果A 是可数个开（闭）集的交（并）集。

定义10［6］拓扑空间（X，μ）被称作完备的，如果每一个闭集都是Gδ集，称为完备正规的，如果这空间既是T4的，又是完备的。

定理2设X 为拓扑空间（X，μ），则下列条件相互等价：

（1）X 是完备空间；

（2）如果（Uj）j∈N是递增的开集序列，那么存在递增的闭集序列（Fj）j∈N，对于每一j∈N，有∪j∈NFj=∪j∈NUj成立，并且Uj⊇Fj；

（3）如果（Fj）j∈N是递减的闭集序列，那么存在递减的开集序列（Uj）j∈N，对于每一j∈N，有∩j∈NFj=∩j∈NUj成立，并且Uj⊇Fj。

证明（1）⇒（2），令（Uj）j∈N是递增的开集序列。因为X 是完备的，对于每一个j∈N，有Uj=∪i∈NFi，j。在这里对于每一个i∈N，Fi，j是闭集，并且有Fi，j⊆Fi+1，j。令Dj=∪i≤jFi，j，很明显（Dj）j∈N满足性质（2）。

由DeMorgen 法则，易知（2）⇔（3）。（2）⇔（1），对于X 中的任意开集，对于所有的j，令Uj=U，结果是显然的。

依据定理2 可以给出下列定理。

定理3设X 为拓扑空间（X，μ），则下列条件相互等价：

（1）X 是完备空间；

（2）存在一个算子U，将X 中的每一个递减的闭集列｛Fn｝都对应为X 的递减开集列｛U（n，｛Fn｝）｝，使得下面这些结论成立：

（i）对于每一个n∈N，有Fn⊆U（n，（Fj））成立；

（ii）∩n∈ωU（n，（Fj））=∩n∈ωFn。

定理4拓扑空间（X，μ）是完备空间，当且仅当对于每一个函数h：X→R*，都存在一个下半连续函数h'：X→R*，有下列结论成立：i）h'（Uh）⊆R；ii）│h│≤h'。

证明首先证明必要性，假设X 是完备空间。取任意函数h：X→R*，对于每一个j∈N，令因为对于每一个x∈Uh而言，h 都是x 在R 上的局部有界映射。通过定理3 一定存在算子满足条件（2）。

接下来我们按照如下方式定义h'：X→R*

再证明充分性，在X 中仍取递减的闭集序列（Fj）j∈N。通过式（5）定义映射：X→R*。很明显的是是上半连续函数并且。再根据假设，存在一个下半连续函数h'：X→R*，有：i）h'（Uh）⊆R；ii）│h│≤h'；iii）如果│h1│≤│h2│，那么成立。令，因此可以通过定义算子U（（Fj））=（U（n，（Fj）））n∈N将每一个递减的闭集序列（Fj）j∈N对应到U 上，在这里对于每一个n∈N，U（n，（Fj））=Un。为了证明X 是C-完备空间，需要证明算子U 满足定理3 的（2）。

很明显的是，∩j∈NU（n，（Fj））⊇∩n∈NFn。取任意x∉∩j∈NFj。根据假设，存在r∈R 满足。因此，如果n0＞r，那么x∉U（n0，（Fj））。这意味着∩j∈NU（n，（Fj））=∩n∈NFn，那么算子U 满足定理3 的（2）（ii）。

根据定理3，很明显下面这个推论成立。

推论3拓扑空间（X，μ）是完备正规空间，当且仅当对于每一个函数h：X→R*，都存在一个下半连续函数h'：X→R*，有下列结论成立：i）h'（Uh）⊆R；ii）│h│≤h'。