基于新课程改革的三角函数概念教学案例

张伟

一、课例背景分析

在旧教材中，三角函数的概念是从初中锐角三角函数的概念出发，逐步导出任意角的三角函数。通过坐标化，将三角函数的定义引导到sin = ，cos = ，tan = （x≠0）上进行表述，再将这一定义推广到任意角也适用的情况，这样得到了任意角的三角函数。这种定义的引入的优点是从学生熟悉的知识点出发，学生易于接受。但从函数定义的角度看，将锐角的情况直接推广到任意角的情况，基于数学定义的严谨度来说是不够的。

而新教材中，三角函数概念的引入是从刻画单位圆上点逆时针旋转时的位置变化入手，建立函数关系。在直角坐标系中，角的终边从初始位置开始旋转到一定位置，它与单位圆交点的坐标唯一确定，从而形成了角一定，则相应的终边与单位圆交点的坐标一定，从而构成了函数关系。之后三角函数给出定义sin =y，cos =x，tan = （x≠0）。這样的定义方式，从函数的角度来说是最严谨的，但缺点是学生一开始会对这个函数比较陌生，需要通过在锐角情况下和初中的三角函数定义比较，学生才明白这个函数就是以前锐角三角函数定义的推广。进一步探究角的终边上除顶点外的任意一点计算三角函数的方法，从而更深入地理解三角函数。

新教材的概念引入有两个优点：一是函数的定义更加自然，而且单位圆的定义方法在之后的学习中有更广泛的应用（比如已知三角函数值的范围，求角的范围）;二是便于从现实问题情境引入（比如摩天轮引入三角函数），这也体现了新课标中数学应用性的理念。

二、教学案例

1. 情景引入

展示图片，提问：二次函数可以刻画篮球的运动轨迹，指数函数可以刻画细胞的分裂次数与细胞数的关系，生活中的周期现象应如何刻画？现在我们需要寻找新的函数模型。突出三角函数是刻画周期现象的重要模型，体现函数的重要性，定义新函数的必要性。

2. 数学建模

摩天轮是我们常见的建筑，如何刻画它上面某个客舱的位置变化情况呢？这就需要建立平面直角坐标系。将一个实际问题转化为一个数学问题，这就是数学建模。

模型假设和简化：抽象出动点P在单位圆O上的运动。

建系：以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1，0），点P的坐标为（x，y）。摩天轮转动时，OA为始边，OP为终边，形成一个角 。我们可以借助 刻画点P的位置变化。

探究：在点P的运动过程中，寻找变化规律。

确定→点P位置确定→点P坐标确定→点P横坐标（纵坐标）确定。

强调角 是自变量，点P的横（纵）坐标是函数值。说明点P的横坐标，纵坐标都是角 的函数。构建三角函数的概念，是一个在一般函数概念指导下的探究活动。

3. 三角函数的概念

三角函数的定义：设 是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点P（x，y），那么：

把P的纵坐标y叫做 的正弦函数，记作sin ，即y=sin ;

把P的横坐标x叫做 的余弦函数，记作cos ，即x=cos ;

我们将正弦函数、余弦函数都称为三角函数，通常将它们记作：正弦函数y=sinx，x∈R;余弦函数y=cosx，x∈R。

探究：初中时我们用直角三角形定义了锐角三角函数，与用单位圆定义是否一致？

4. 例题分析

例1：求角 π的正弦、余弦值。

从具体题目出发，传授知识与技能。学生缺少解析几何中直线与圆的认知，在求特殊角的三角函数值时，需要借助锐角的三角函数值求交点的横（纵）坐标的绝对值。

例2：设 是一个任意角，它的终边上一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r，求证：sin = ，cos = 。

将三角函数的定义从形（单位圆）到数（坐标的比）的抽象。培养学生分类讨论的数学思想，提高数学抽象的能力。

5. 思考

x≠0时， 是不是一个确定的数？可以用它定义一个新的函数吗？

激发学生学习欲望，类比探究，通过正切函数，让学生体会下位学习方式。

6. 小结及布置作业（略）

三、教学反思

构建三角函数的概念，是一个数学化的过程，是一个在一般函数概念指导下的探究活动。其思路是先确认“这样的对应关系是函数”，然后给出形式化定义。“下位学习”不仅使三角函数定义的自然引入达到了水到渠成的效果，而且三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质。

为了实现“借助单位圆建立任意角三角函数的概念”的教学目标，本节课从实际生活中的摩天轮出发，抽象出动点在单位圆上运动的数学模型，探究点的坐标与角之间的对应关系，培养了学生数学建模和数学抽象等核心素养。探究动点P的相对位置也可以用角度，但是角度的测量不太方便，所以想用另一个办法反映这种相对位置——转化为长度，这是三角函数之实用性的体现。

除此之外，本节课也带给学生对单位圆的认知。在求特殊角的三角函数值时，需要借助锐角的三角函数值，而任意角的三角函数是锐角三角函数的推广，从初中在直角三角形中的定义到高中在单位圆中的定义，体现了从图形到代数的抽象过程。在单位圆中定义三角函数体现了数形结合的数学思想，也为后面的相关课程打下了良好基础。

在授课方式方面，本节课通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养团队合作意识。课堂上重点讲解了正弦与余弦函数，突出重难点，学生易于接受和理解。而正切的定义以课后思考题形式留给学生，让学生体会知识的构建过程，培养学生不断探索的科学精神。