声子晶体中波传播的自准直效应

张 昭，张 磊，郭江川，李加瑞，王艺飞

(大连理工大学运载工程与力学学部工程力学系，工业装备结构国家重点实验室，大连 116024)

0 引 言

声子晶体是一种人工设计的超材料，可以实现对波的调谐和控制，频率范围可以从Hz到THz[1]。与光子晶体类似，声子晶体具有能带结构和带隙特性，通过密度/波速的周期性排布，使带隙频率范围内的波无法通过周期性声子晶体结构，从而形成频带禁区[2-3]。利用声子晶体的带隙特性，可以形成声学二极管、声学斗篷、热二极管、热斗篷等结构元器件，以及减振降噪器件，具有良好的工业应用前景。文献[4]以变电站低频噪声为应用背景，提出一种局域共振型声子晶体板轻量化设计方法，通过振型位移及声压级复合声强流线图对其隔声机理进行了分析研究。文献[5]以某汽车为研究对象，建立具有声子晶体顶棚的汽车整车车身结构有限元模型，发现在一定的频率范围内，可以通过声子晶体顶棚降低车内的声压级。文献[6]基于声子晶体理论，引入新型声子晶体减振垫层，以降低60～80 Hz特殊频段的振动水平，从而解决高速铁路下穿机场航站楼引起的振动噪声问题。文献[7]从热声子的扩散输运、弹道输运等微观机制出发，探讨了材料微结构与热输运之间的关系。这些已有工作表明，声子晶体对工业结构中的减振降噪具有重要意义。除减振降噪外，声子晶体具有一系列独特的物理特性，为新装置、新结构的研究提供了新思路。与光子晶体中光的自准直效应类似，波在声子晶体中传播时，也会产生自准直效应[8-10]。Park等[11]通过拓扑优化技术寻求最优的材料布局，实现波在指定方向的自准直传播。Li等[12]设计了两种不同的波束分流器，通过在周期性结构中设置线缺陷，实现波束分流和转向，进一步研究显示通过改变波束分流器单胞的内部圆柱的大小和方柱的方向，可以改变和控制波束分流器的效率。Tan等[13]设计了一种声光子晶体，以实现对电磁波和声波的波束控制，并研究了密度和弹性模量对计算结果的影响。Shu等[14]设计了一种可以实现对电磁波和声波进行波束控制的声光子晶体，并认为这种无缺陷周期型结构可以与有缺陷的周期性结构具有类似的性能。通过声子晶体的自准直效应，可以对指定频率范围内的波实现波的转向和分流，对波传播的精确控制有重要意义。

声子晶体自准直效应的形成与结构单胞、材料中波传播的波速、波的特性等问题密切相关，研究波传播自准直效应的形成机理对波传播的控制和新的结构设计具有重要意义。与其他工作不同，本文聚焦于自准直现象产生时频率范围的控制，通过对材料性质、几何性质的调整和对比，探讨自准直现象产生的频率范围与设计参数之间的关联性。因此，本文通过设计周期性声子晶体的结构，分析阵列声子晶体结构中材料性能和几何特性的周期性变化，关联声子晶体的设计与波传播特性之间的关系，分析和阐述波传播自准直效应的形成机理。

1 计算模型

对声子晶体的波传播问题，可以采用色散面第一布里渊区内波矢和本征频率之间的关系，通过色散面的投影确定等频线，确定波的传播方向，因此，等频线的形貌代表着不同的波传播特性，如正折射、负折射和自准直对应不同的等频线，等频线形貌的变化意味着此时波束将沿该方向无衍射无拓宽的传播，即产生波传播的自准直现象。利用这一特性，可以设定入射波的方向和单胞的方向，从而形成该方向上指定频率范围内的无衍射无拓宽的波传播。为了研究结构和载荷的关联性，本文选取了如图1(a)所示的单胞，组成声子晶体阵列结构，如图1(b)所示，阵列结构的外边界设定为无反射边界。单胞为充液结构，其单胞尺寸为a=10 mm，中心圆形结构为固体，其直径为D=7.8 mm。结构单胞满足周期性边界条件[15-18]:

图1 单胞结构和阵列结构

u(r+a)=u(r)eika

(1)

式中：u是位移矢量；r是边界节点的位置矢量；a是声子晶体的格矢基矢量；k为波矢。

介质1为水，是可压缩绝热流体，其本构方程如下：

(2)

式中：p是压力；Kf是流体的体积模量；uf为位移；x为空间坐标；θi为独立的场变量。

介质2为金属，其材料物理特性和波速变化如表1所示，由文献[19-22]可以得到相关固体材料的弹性模量，弹性模量和体积模量之间满足如下关系式：

表1 单胞材料的物理性质

(3)

式中：K是体积模量；E为弹性模量；ν为泊松比。由弹性模量和体积模量之间的关系式可以得到材料的体积模量，用于波传播的分析计算。

所有的自由度和载荷被认为是角频率Ω的函数:

(4)

2 结果与讨论

介质1为水，介质2为铝合金。在60～80 kHz范围内计算，发现超声波在67.9 kHz出现波的自准直现象，这种自准直现象一直持续到75 kHz，继续增加频率的范围，自准直现象消失，说明了对于当前结构，自准直现象产生在67.9～75 kHz的频率范围内，随着频率的进一步降低，超声波出现明显的发散现象，如图2(a)所示，当超声波频率增加至67.9 kHz，超声波在阵列结构中的传递出现明显的自准直现象，其对应第一频带的等频线如图3所示，等频线的线型变化代表了自准直现象的产生，等频线的法线方向代表了自准直现象产生时的波传播方向。在70 kHz左右更为明显，当超声波的频率为75 kHz时，超声波的传递依然保持自准直，但是随着频率的进一步增加，自准直现象消失。自准直现象的产生与阵列结构设置的两种或者多种材料的体积模量以及密度的周期性变化相关。

图2 水-铝合金阵列结构波传播的自准直现象

图3 圆形柱结构第一频带的等频线

为了进一步确定波传播自准直的控制，采用不同金属介质，形成阵列结构，进行自准直现象的研究，如图4所示，研究阵列结构金属柱材料性质的变化对波传播自准直频率范围的影响，发现阵列金属柱材料性质会影响自准直波传播的频率范围，对于水-钛阵列结构，自准直波形成于61.5～66.3 kHz，对于水-钢阵列结构，自准直波形成于56.5～62.9 kHz，对于水-铅阵列结构，自准直波形成于54.6～57.8 kHz。

图4 不同介质下波传播的自准直现象

将自准直波传播的频率范围与材料的模量比和密度比进行关联，如图5所示，分别以铝合金、钛合金、钢、铅以及钨作为散射体，按照正方晶格周期性排列在以水为基体的二维声子晶体中。无论是自准直现象的起始频率还是终止频率，都随着周期性阵列结构中不同材料的密度比的增加而减小，随着模量比的增加呈现先增加后减小的趋势。自准直出现的频率范围受密度比的影响较大，当不改变散射体材料的密度时，在一定范围内对其弹性模量进行控制，可以发现自准直现象出现的频率会有一定波动，整体幅度较小。但散射体材料的密度也发生变化时，自准直现象起始频率和终止频率与散射体密度呈线性关系。这是因为增大散射体与基体的密度比，刚体的共振频率会向低频移动。这意味通过调整周期性结构中两种或者多种材料的模量比和密度比，可以实现对自准直波的频率控制。

图5 模量比与密度比对自准直波传播频率的影响

修改阵列结构的几何特性，将圆形金属柱修改为等面积的方形金属柱，采用不同介质得到的自准直频率范围如图6所示，可以看出，相对于圆形的情况，水-铝阵列结构方形柱对应的自准直现象产生的起始频率由67.9 kHz增加为74.4 kHz，终止频率由75 kHz增加至80 kHz，其第一频带的等频线如图7所示，方形柱阵列结构的自准直现象的频率范围较圆形柱情况有明显增加，这与等频线的形貌变化关系密切，等频线是设计周期性结构阵列自准直效应的重要设计依据。

图6 金属柱不同形貌下波传播的自准直现象

图7 方形柱结构第一频带的等频线

进一步讨论不同介质中波的自准直传播，采用不同的金属材料，分别为钛合金、钢和铅，得到的波的自准直传播情况如图8所示，模量比和密度比对方形柱周期性阵列结构中的自准直现象产生频率的影响规律与圆形柱周期性阵列结构一致，波传播的自准直现象产生的频率范围随模量比的增加呈现先增加后减小的变化的趋势，随密度比的增加而减小。

图8 模量比和密度比对方形柱阵列结构波传播自准直的影响

3 结 论

建立了液-固阵列声子晶体结构，可以实现超声波传播的自准直效应，并对材料常数和几何特性对自准直波传播的影响进行了研究。针对方形柱和圆形柱两种晶格单胞的情况进行计算，结果表明，阵列结构中波传播的自准直效应受模量比、密度比等材料性质和截面几何性质的影响，自准直产生的频率范围随模量比的增加出现先增加后减小的变化趋势，随密度比的增加而减小。设置合理的模量比、密度比等材料性质和截面几何性质，能够实现对阵列结构中趋势自准直效应波传播频率范围的控制，等频线是设计周期性结构阵列自准直效应的重要设计依据。