借助直观图形解决重叠问题

邱廷建

小朋友，我们知道解答求和问题时，只要直接把各部分数加起来，就可以得到答案。但是，计算部分有重复的时候，问题就不那么简单了，我们把这类问题称为重叠问题。在解答重叠问题时，我们可以借助直观图形，化抽象为直观，运用“包含与排除”原理，理清数量关系：当两个部分有重复包含时，应去掉重复部分，不重复计数，也就是要从它们的和中减去重复的数。

现在，我们一起来学习解决人教版教材三年级上册第九单元的有关重叠问题。

例1 新亭小学三（1）班共有学生38人，每人至少参加踢毽子和跳绳两项比赛中的其中一项。已知参加踢毽子的有25人，参加跳绳的有19人。求两项比赛都参加的学生有多少人？

[分析与解]根据题意，我们可以画出如图1所示的直观图。

从图1中我们可以看出，求两项比赛都参加的学生有多少人，就是求中间的重叠部分。把参加踢毽子比赛的25人加上参加跳绳比赛的19人，和是25+19=44（人），44人比全班总人数38人多，是因为重叠部分多算了一次，所以重叠部分，也就是两个项目比赛都参加的学生人数是44-38=6（人）。综合算式是25+19-38=6（人）。

从图1中我们还可以看出，用全班总人数38人减去参加踢毽子比赛的人数是38-25=13（人），这13人是只参加跳绳比赛而没有参加踢毽子比赛的学生人数。而参加跳绳比赛的有19人，说明这19人中有一部分既参加了跳绳比赛也参加了踢毽子比赛，从参加跳绳比赛的人数中减去只参加跳绳比赛的人数，剩下的就是两个项目比赛都参加的人数，算式是19-13=6（人）。综合算式是19-（38-25）=6（人）。同樣的道理，我们还可以这样列综合算式解答25-（38-19）=6（人）。

例2 红星小学三（2）班做完语文作业的有32人，做完数学作业的有27人，两种作业都完成的有14人，每人至少完成一种作业。三（2）班共有学生多少人？

[分析与解]根据题意，我们可以画出如图2所示的直观图。

从图2中我们可以看出，中间的重叠部分表示两种作业都完成的有14人。这14人既包含在做完语文作业的32人中，又包含在做完数学作业的27人中，而做完两种作业的一共有32+27=59（人），这59人中就重复计算了14人。因此要从做完两种作业的总人数中减去重复计算的14人，就是三（2）班的学生人数，算式是59-14=45（人）。综合算式是32+27-14=45（人）。

例3 育才小学三（3）班举办“元旦”联欢会，参加唱歌表演的有26人，参加舞蹈表演的有15人。两项都参加的有5人，两项都没有参加的有7人。三（3）班共有学生多少人？

[分析与解]根据题意，我们可以画出如图3所示的直观图。

从图3中我们可以看出，中间的重叠部分表示两项表演都参加的有5人。用参加舞蹈表演的人数减去重叠部分的人数就是只参加舞蹈表演的人数，算式是15-5=10（人）。用参加唱歌表演的人数加上只参加舞蹈表演的人数，再加上两项都没有参加的人数，就是全班的总人数，算式是26+10+7=43（人）。综合算式是26+（15-5）+7=43（人）。

结合图3，我们也可以这样思考，用参加唱歌表演的人数减去重叠部分的人数就是只参加唱歌表演的人数，算式是26-5=21（人）。用只参加唱歌表演的人数加上参加舞蹈表演的人数，再加上两项都没有参加的人数，就是全班的总人数，算式是21+15+7=43（人）。综合算式是26-5+15+7=43（人）。

例4 高新小学三（4）班有学生40人，做对第一道思考题的有24人，两道思考题都做对的有9人，两道思考题都做错的有8人。做对第二道思考题的有多少人？

[分析与解]根据题意，我们可以画出如图4所示的直观图。

从图4中我们可以看出，中间的重叠部分表示两道思考题都做对的有9人。全班有40人，两道思考题都做错的有8人，可以求出做对第一道思考题和第二道思考题的一共有40-8=32（人）。做对第一道思考题的有24人，两道思考题都做对的有9人，可以求出只做对第一道思考题的有24-9=15（人）。用做对第一道思考题和第二道思考题的总人数减去只做对第一道思考题的人数，就是做对第二道思考题的人数，算式是32-15=17（人）。综合算式是40-8-（24-9）=17（人）。

结合图4，我们还可以这样思考，全班有40人，两道思考题都做错的有8人，可以求出做对第一道思考题和第二道思考题的一共有40-8=32（人）。根据做对第一道思考题的有24人，先求出只做对第二道思考题的人数，算式是32-24=8（人）。根据两道思考题都做对的有9人，再求出做对第二道思考题的人数是8+9=17（人）。综合算式是40-8-24+9=17（人）。

（本文作者为福建省上杭县教师进修学校特级教师）

小灵通上学

小灵通的新家离学校有点远，他上学时坐车，回家时步行，在路上一共花了90分钟;往返都坐车，只需要40分钟;如果小灵通往返都步行，需要多少分钟？

（参考答案见第40页）