水透镜的变焦原理研究

唐建国

(苏州市胥江实验中学校 江苏 苏州 215004)

可变焦水透镜，由一层薄膜包裹一定体积的水组成，可以通过注射器注入或抽取透镜内液体，从而改变球面透镜的曲率半径，达到变焦的效果，如图1所示.水透镜在初中物理教学中，通常用来演示人眼晶状体凸度的调节，模拟近视眼和远视眼的成因原理，能较好地解决相关教学难点.然而，对于水透镜焦距的改变，教师大多给出一个定性的解释，即“水透镜注入的水越多，形状上就越凸(曲率半径越小)，焦距就越小”，那这几个相关物理量之间究竟满足怎样的定量关系？本文对此进行了研究.

图1 水透镜

1 水透镜的理论模型建立

当往薄膜内注入水时，薄膜向外凸出，形成水凸透镜.忽略水的重力影响，水透镜可近似当作是由两个对称的“球缺”组成，如图2(a)所示.设水透镜的曲率半径为R，水透镜孔径的半径为r，球缺的高度为h，如图2(b)所示.

单个球缺的体积可用积分的方法求出[1]，整个水透镜的体积V就是两个对称球缺体积之和

(1)

(a)

(b)

根据图2(b)的几何关系得出

代入式(1)，得到水透镜体积计算公式为

(2)

由于水透镜的厚度比其球面的曲率半径小很多，因此可将水透镜视作薄透镜模型考虑.对于在空气中的薄透镜，焦距f与曲率半径R和透镜材料的折射率n满足如下关系[2]

代入式(2)，得

(3)

当r和n取相应的数值之后，式(3)就是一个水透镜的焦距f关于其体积V的隐函数.

2 水透镜焦距的测量方法

采用共轭法测量水透镜在不同体积下的焦距，如图3所示.固定光源和光屏之间的距离L不变，L须大于所测水透镜的4倍焦距.将水透镜放在光源和光屏之间，在前后移动水透镜的位置过程中，水透镜有两个位置能够使光源成像在光屏上，一个是倒立放大的实像，另一个是倒立缩小的实像，记录这两个位置的距离为d.根据薄透镜成像条件

(4)

根据几何条件

u-v=du+v=L

代入式(4)，整理可得

(5)

图3 共轭法测焦距实验原理图

根据式(5)，只需测定L和d，就能把焦距测出，即为共轭法测焦距.这种测量方法不需要考虑透镜的厚度，相比于利用式(4)来测量焦距，避免了在测量u和v时引入的较大误差，所以测量结果更加准确.

3 实验测量与理论计算

所选用的水透镜的孔径半径r=18 mm，水透镜充入一定体积的水.在测量过程中，保持光源和光屏的距离L=800 mm不变，记录不同水透镜体积V情况下成倒立放大实像和倒立缩小实像时，水透镜所在位置分别对应的刻度d1和d2，两个刻度的差值即为d，将L和d代入式(5)，可得出水透镜焦距f，记录如表1所示.将不同水透镜体积下的焦距绘制入图4，用圆点表示.

表1 水透镜焦距测量记录表

续表1

将水透镜孔径半径r=18 mm，纯水的折射率n=1.333代入式(3)，利用Mathematica数学软件绘制水透镜的焦距f和所含水体积V之间的函数关系图像，如图4中光滑曲线所示.

图4 水透镜的焦距与含水体积的关系图

4 总结

实验测量和理论计算的结果对比后，可以得到如下结论：(1)实验测量结果与理论模型计算基本符合，证实了所建立的理论模型可以较好地解释水透镜变焦原理.(2)理论和实验都表明，水的体积只在一定范围内变化时，水透镜才具有较好的变焦能力.(3)水透镜内水的体积不宜充入太多，一方面，水透镜的变焦能力随体积的增大而变弱；另一方面，水的体积越大，水的重力会使水透镜的形状越来越趋近于水滴形，导致水透镜的主光轴不稳定.(4)若将充入透镜的液体介质改成折射率更大密度较小的油，油透镜是否会比水透镜具备更好的调焦能力？这个问题值得进一步研究.