基于教材与儿童视角构建加减法模型的教学研究

张敏铃

加法和减法是小学重要的数学模型之一。小学生建立加减法模型的认知结构主要来源于日常活动经验、教材学习资源及课堂学习三个渠道，其中课堂学习是连接教材学习资源与日常活动经验的重要桥梁。教师应该基于研读教材与了解儿童活动经验的视角，探讨加减法模型不同认知阶段的相应教学策略。

加减法模型集中在小学一年级学习，教材以“合并”与“去掉”的含义呈现加法模型和减法模型。那么，从教材编排的逻辑顺序出发，应如何划分学生建模的认知阶段？根据建模的不同认知阶段，采用哪些教学策略可以帮助学生更好地理解和掌握模型？运用哪些教学策略，能融合教材的学习素材与学生活动经验两者的关系？本文以人教版小学数学教材为例进行教学研究与探讨。

一、教材视角下的加减法模型

教材编排两个例题分三个层次揭示加法和减法模型。第一层，通过情境连续图呈现气球的“合并”和“去掉”的动态过程（见图1）。第二层，呈现圆点图素材，图1中左图表示把两部分合并成一个整体的集合思想，右图中的虚线表示拿走、去掉，蕴含着从整体去掉其中一部分余下另一部分的集合思想。第三层，引出用“+”或“-”的数学符号表示数量的“整体与部分”关系。

教材提供的素材以“合并”与“去掉”为主线，体现出从直观到半抽象再到抽象的认知过程。

在揭示加减法模型之前，教材安排了数量和数的“分与合”学习内容（见图2）。教材编排的目的有两个：一是让学生理解数与数之间有着密切联系，培养数感;二是为后续的5以内加减法口算技能学习做准备。“分”本身就蕴含着减法模型，“合”蕴含着加法模型，那么在正式学习加减法模型前，可否拓展“分与合”的学习目标，使之成为建立模型前的学习素材？

其次，在初步建立加减法模型后，教材编排了19道巩固模型的练习题，其中有18道题通过现实情境呈现或学具操作等形式，让学生列出加法或减法算式，即从具体到抽象。教材只有1道题提供加减法算式，让学生用自己喜欢的方式表征算式意义，即从抽象回到具体，用数学符号描述现实世界，用数学语言解释现实世界。两种途径都是理解和掌握加减法模型的重要认知方式，但是两类途径的教材编排比例是否有利于学生深刻理解加减法模型？

二、儿童视角下的加减法模型

学龄前儿童在日常生活中积累了大量“合并”与“去掉”的活动经验，例如他们会把一些物品按照一定的可视属性，如颜色、形状、大小等不同标准，分成几类，也会把同属一类别的物品合并在一起。分与合，是儿童熟悉的日常活动，但儿童没有具备主动运用语言去描述操作过程的意识，在儿童眼里，分与合就是一种熟悉的、具体的游戏活动。

在进行加减法模型的巩固性练习中，类似于图3所示的练习题，学生错误率非常高，其错误类型都是把要求的答案参与列式，这是什么原因？

回顾原题，学生通过点数的方式直接提取数量：总车位10个，停车8辆，空位2个，并把这些数量关系转化为自己生活中熟悉的现实情境，有的学生熟悉“合并”的现实情境，由此写出“2+8”的数量关系;有的学生熟悉“去掉空白部分”的现实情境，由此写出“10-2”的数量关系。也就是说，学生不能把外化的图像、文字转化为内在的思维操作，即不能展示从已知数量出发，通过数字与符号的一系列操作求出未知数量的思维过程。

三、构建加减法模型的教学策略

基于教材编排的逻辑顺序，本文研究划分构建加减法模型的三个认知阶段，融合儿童积累的活动经验，提出每一阶段相应的教学策略。

（一）模型铺垫阶段：初步感受“整体与部分”的关系

拓展教材中“分与合”素材的学习目标，让学生在活动中充分感悟整体与部分的数量关系，为正式建立加减法模型做铺垫。

活动1：把一个整体拆分成两部分的学习活动。

活动重点引导学生一边操作学具一边用数学语言描述分与合的活动过程，把动作表征与语言表征相互一一对应，逐渐把日常活动经验转化为数学活动经验，促使思维外显，初步感受到一个整体可以分成两部分、两部分可以合并成一个整体的模型思想。

活动2：把一个整体拆分成若干部分。

在教学过程中可创设这样的问题情境：有8个圆片，你能把它们分成三堆、四堆、五堆……吗？把你分的过程描述出来。学生面对这样的开放性问题，会产生强烈的挑战欲。教师应先让学生展示分与合的形式，然后引导学生用数学符号表示分与合的结果，如图4。用符号表征数学活动过程，虽然较之数学语言更抽象，但同时更能凸显“整体与部分”的数量关系。

从教材“把一个整体拆分成两部分”拓展到“把一个整体拆分成若干部分”的活动，借助动作表征、语言表征和符号表征等多种形式，丰富了“分与合”的数学活动，让学生在活动中深刻体会到一个整体可以“分成”几部分，也可以把几部分“合并”成一个整体的思想，感悟到“整体”与“部分”的相互依存关系，为正式学习加减法模型奠定了厚实的认知基础。

（二）模型建立阶段：多元表征凸显“整体与部分”的关系

布鲁纳的多元表征理论表明，对数学概念的理解有多种方式，多种方式之间建立其联系，才能深化概念的理解。在建立加减法模型的认知阶段，教学的重点应是引导学生运用多种方式表征加法和减法含义，并且体悟到尽管表征方式不同，但都表示“合并”与“去掉”的含义。

例如，教学中鼓励学生运用现实情境表征、动作表征、语义表征、符号表征等方式描述加减法模型，不同的表征方式都深刻反映加减法意义（见表格），让学生经历了从具体到抽象的认知过程，从动作思维逐渐向数理逻辑思维过渡。

建立了加法和减法模型后，要告诉学生：“+”和“-”像“1、2、3……”一样，都是数学的符号，它们一起能帮助我们解决许多数学问题。目的是让学生亲近抽象的數学符号，感受数学符号的普适性，体会数学符号能简洁、抽象地表达现实世界“整体与部分”的数量关系。

（三）模型巩固阶段：表征互相转化达成深度理解

布鲁纳认为，在人类智慧生长期，有3种表征系统在起作用，即动作表征、表象表征、符号表征。莱什在布鲁纳表征系统的基础上，又增加了两种表征：口头语言表征和现实情境表征。有学者认为，要获得真正意义上的理解，就要灵活地实现多种表征方式之间的转化。

但是在实际教学中，教师往往使用单向表征加减法模型，如提供现实情境、小棒操作等素材，让学生根据情境或操作列式计算，即从动作表征转换为符号表征，学生只经历从具体到抽象的建立模型过程，极少经历从抽象回到具体的深化模型过程。这是学生难以进行内在思维操作的原因之一，这既与教材编排的练习比例有关，也与教师没能准确掌握学生的认知方式、认知规律有关。

因此，在教学中要加强现实情境表征、加减法模型语义表征、动作表征与符号表征的互相转化，在抽象与具体的循环反复中把外化的动作表征、现实情境表征转化为语言表征、符号表征等内在的思维操作，进而深刻理解加减法模型。

例如，可设计看图编数学题，或者说一说小棒拆分过程并列式计算等练习，旨在把情境表征、动作表征转化为语言表征、符号表征，经历从具体到抽象的建立模型过程;也可以设计根据算式意义摆小棒，或根据算式编一个数学故事，或者用图画表示算式的意义等练习，旨在将符号表征转化为动作表征、语言表征，经历从抽象回到具体的深化模型过程。

除此以外，教材和教师都比较重视“+”表示“合并”，“-”表示“去掉”的符号意义，但缺少引导学生深刻认识和理解“=”表示“等量”含义的教学设计。从数的计算角度看，“=”表示数的运算结果，但是从数量关系的角度看，“=”蕴含着左右两边数量等价的数学思想，这是加减法模型的内涵之一。

因此，还可以设计以下的数学活动，制作10个长方形卡片，每张卡片对应编上号码1-10，其长和宽的数值分别为下表。

选择其中的卡片，使它们拼成的长度一样，如图5所示。引导学生根据拼成的卡片列出加法或减法算式，通过图形直观，让学生感受到上面与下面的长方形卡片同样长，可以用“=”表示，就有算式2+3与数5相等，算式2+3与1+4相等。同样，折叠数5的纸条，算式5-2与数3相等。不同的拼法、折叠法有不同的算式，就能列出不同的等式，让学生深刻理解“=”所表示的数学意义，也更进一步理解加减法模型。

建立加减法模型是学生经历数学化的认知过程，对学生后续学习乘除法模型有着重要作用。教师应深入研读教材，了解儿童活动经验和知识经验，准确地划分构建模型的三个认知阶段：模型的铺垫、建立与巩固阶段。不同认知阶段有不同的认知侧重点，目的均是运用操作、语言、游戏、图画、演示等多种教学策略，理解模型的核心——“合并与去掉”，体现加减法模型“整体与部分”的数量关系，努力寻找教材与儿童活动经验的教学契合点，帮助学生顺利构建加減法模型。

责任编辑 罗 峰