基于改进谱聚算法考虑机组分组的电网恢复分区方法

叶寅钢，欧阳利平，钟 磊，方宇迪，张胜峰，何育钦

（1.国网浙江省电力有限公司台州供电公司，浙江 台州 317000；2.武汉大学 电气与自动化学院，武汉 430072）

0 引言

随着社会用电需求的日益增长，电力系统规模不断扩大，区域电网间的联系更加紧密[1]。另一方面，世界各国正在积极调整能源结构，新能源及其相应设备的接入，使得电力系统变得更为复杂[2]。在这样的背景下，外力破坏、人员误操作等都可能引发大规模的停电事故，带来巨大损失[3-4]。事故后电力系统的恢复方案可分为整体串行恢复和分区并行恢复。在制定系统恢复预案时，为加快系统停电后的恢复速度，提高恢复成功率，通常将整个电力系统划分为若干个子系统，对各个子系统进行并行恢复，最终并网实现整个电力系统的恢复供电。因此制定合理的恢复分区策略对于减少停电损失、提高系统可靠性具有重要意义。

目前在电力系统制定分区方案时，子系统多是简单地按照供电公司管辖范围进行划分，没有考虑机组启动、恢复成功率以及恢复时间等问题。国内外针对分区恢复的子系统划分已展开了一定研究。文献[6]基于WAMS（广域测量系统）信息对网架进行分区。文献[7]基于最小路集思想计算正常运行概率，从而推导恢复成功率，以恢复成功率最高为分区依据。文献[8]收集WAMS 信息，基于系统可观测概念，计算节点可观测度，以保障联络线的可观测度为目标对电网进行划分。上述方法偏向于人工分析，求解效率不高。

近年来随着人工智能的快速发展，分区恢复策略的研究热点从分区目标转移到对分区优化模型的求解算法上来。许多学者将遗传算法[9]、粒子群算法[10]、非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ[11]、经典最短路径算法[12]运用于分区内部的启动机组路径优化等问题，但存在着多目标的权重取值合理问题。有学者运用图论中的相关理论解决电网恢复分区问题，文献[13]考虑无功分布及网架内的节点电压分布划分子系统，考虑因素单一不全面。文献[14]基于有序二元决策理论搜索决策方案，简化运算。文献[15]采用分区的量化指标反映网络拓扑结构的社团特点，综合黑启动电源在网架中的位置进行子系统划分，但是对电力系统恢复过程中机组启动过程过于简化。因此在运用图论等高效算法时，往往未能将分区内的有功功率平衡、机组启动路径、启动顺序结合到算法中，影响到分区并行恢复的效果和可靠性。

本文提出一种基于改进谱聚算法考虑机组分组的电网恢复分区方法，该方法基于谱聚算法原理，以子区域尽可能规模均衡且区域间联络线权重尽可能小为优化目标，增加考虑机组出力及待启动机组启动成功率的机组分组优化模型，并通过在切图权重中引入线路传输功率，使目标函数考虑分区有功平衡影响，降低电网的不平衡功率。算例分析对比验证了方法的有效性。

1 电网恢复分区的谱聚优化模型

1.1 谱聚类算法原理

谱聚类是一种基于图论的聚类方法，利用拉普拉斯矩阵特征值将离散的聚类问题松弛为连续的特征向量，最小的系列特征向量对应着图最优的系列划分方法。

电网恢复分区问题本质上归属于复杂网络的社团发现问题。针对这类问题，谱聚类算法相比传统的聚类算法，对任意形状的网络空间上聚类且收敛效果好。

谱聚类常将割边最小分割或者分割规模差不多为优化目标。综合考虑最小化切割的边和各子区域平衡，引入Vol（Ai）子区域平衡，其优化目标函数为：

结合约束条件，将拉普拉斯矩阵L（G）标准化，可将优化模型式（1）化简为：

式中：tr（FTD-1/2LD-1/2F）为矩阵迹运算；F 为特征矩阵，F=D1/2H；I 是单位矩阵。

1.2 电网恢复分区的谱聚优化模型

分析电力网络分区划分时，主要考虑社团结构特性及部分参数，按照以下原则对实际电网进行抽象化简[16]：

（1）在线路简化时仅考虑高电压等级及包含变压器的线路形成等效边。

（2）把厂内电压等级相同的线路等效化简成电网网络拓扑中的节点。

（3）对于多回线路等效为单回，且不包含并联电容支路。

（4）忽略电力网络的有向性。

化简后可得由n 个点，m 条边构成的电网结构拓扑图。定义拓扑图中所有节点构成的集合为V，所有边的构成的集合为E，可得矩阵G=（V，E）表示拓扑图，电网连通图通过n×n 阶邻接矩阵A 表达。选取节点间的电气距离为线路权重：

式中:Zii，Zjj，Zij为网络阻抗矩阵的元素；Wij为以节点i 与节点j 为端点线路的赋予权值。

将邻接矩阵A 修正为：

式中：Aij=0 时，wij=0；Aij=1 时，wij按照式（4）计算赋值。

基于谱聚算法原理，结合优化模型，以子区域尽可能规模均衡且区域间联络线权重尽可能小为优化目标，则电网分区恢复目标函数为：

式中：k 为黑启动电源数量，即分区数目；Ai是第i 个分区包含的节点集合；为A 在V 空间的补集；L 为G=（V，E）对应的Laplace 矩阵；D 为矩阵G=（V，E）对应的度矩阵，其计算式如下：

此时可以求出G=（V，E）对应的Laplace 矩阵，进而求取D-1/2LD-1/2，从而计算其对应的特征矩阵F，根据实际问题选择m 个特征值及对应特征向量构成m 维度的容量为n 的聚类样本向量。

求解时采用K-means 分类算法对特征矩阵F进行传统聚类，选用欧氏距离描述相似度，相似度较高的节点划分为同一聚类，可得到对应的电网划分方案。

2 考虑机组分组及分区有功平衡的改进谱聚模型

2.1 机组分组模型

依照电网恢复分区的基本原则：

（1）根据电网结构的特点和黑启动电源在电网中的位置合理划分子系统。

（2）每个子系统内至少具有l 个黑启动电源。

（3）子系统间的规模相近，且每个区内电源与重要负荷到达平衡。

在划分电网恢复分区时，最大分区应该以网架内黑启动机组数量为上限，但在基于传统谱聚算法的电网恢复分区模型中没有将黑启动节点及机组节点突出出来，无法保障每个分区都具备黑启动电源且机组能够顺利启动，其划分结果极大地受到黑启动电源分布是否合理的影响。因此本文针对这一问题进行改进，在采用谱聚算法分区前增加机组分组优化模型。

以黑启动电源为初始节点，依据待启动机组获取启动电能的黑启动电源为分组依据，对所有机组进行分组。机组分组优化数学模型主要考虑两方面：区域内机组出力尽可能充足和保障待启动机组启动成功率。这里仅考虑线路充电过程中的过电压问题，采用线路容抗分析，则目标函数可表述为：

式中：k 是分区数；Nq为分区中包含的机组数量；r 为所有分区中Nq之和；α 为恢复可靠性权重系数；为包含q 个机组的分区机组g 在t 时刻的有功出力；Tc为机组启动从开始到升至设定输出的时间；tstart，g为机组g 的启动时刻；Pneed，g为机组启动时消耗启动功率；tcrank，g为机组g 开始升有功出力的启动时刻；Rg为机组g 的爬坡速率；Cl为启动路线的容抗。

在精确度要求不高的应用场景下，为了提升效率也可以采用简化机组分组优化模型：

式中：Ni为编号i 分区中包含的待启动机组数；n为所有分区中包含的黑启动机组数量；，…，]为所有分区中包含的待启动机组的由黑启动电源启动分组的情况，当时表示第Ng台待启动机组由黑启动电源i 进行启动，反之则。

同时基于谱聚算法的电网恢复分区模型在优化目标及约束条件中，并不涉及分区功率交换及区域功率平衡，容易导致分区功率交换过大，在各分区通过联络线进行并网时引起系统波动，所以在计算切图权重时，将式（1）改进，不再只简单基于阻抗矩阵，引入线路流过功率：

式中：Pij是节点i，j 间线路传输功率；wmax为A′矩阵中最大值；Pmax为线路上传输功率的最大值；由于wij和Pij不在同一数量级，故将Pij进行处理变更，避免出现Pij覆盖wij的现象。

2.2 约束条件

由于在考虑机组分组的基础上进行分区，在搜索分区时需要避免把归为同一分组的机组及恢复路径分到不同簇群，对此可以采用Must-link和Cannot-link 成对约束信息来进行约束。定义集合SML代表Musl-link，集合SCL代表Cannot-link，若机组Gi，Gj位于同一分组，可表示为（Gi，Gj）∈SML情况；反之若Gi，Gj在不同分组中，可表示为（Gi，Gj）∈SCL情况，则有如下性质：

对邻接矩阵A 作如下修改：

由于邻接矩阵A 计算的拉普拉斯矩阵L（G），在一定程度上反映了两个节点之间的相似性，在取为较大值时（不需要设置为无穷大），表示Gi，Gj两个发电节点的相关性很强，在进行谱聚时更容易被划分在同一分区里；反之在取为零时，表示Gi，Gj两个发电节点的相关性很弱，在进行谱聚时不易处于同一分区里。最后利用下式完整表述机组分组约束：

2.3 改进谱聚电网恢复分区求解流程

如图1 所示，电网恢复分区的求解步骤为：

图1 改进谱聚电网恢复分区求解流程

（1）对于待分区恢复的电网进行简化，得到网络拓扑矩阵G=（V，E），邻接矩阵A，度矩阵D。

（2）根据建立的机组分组模型，利用遗传算法优化求解，得到待启动机组的最佳分组结果。

（3）将恢复待启动机组涉及到的线路按照式（14）对邻接矩阵A 中相应元素进行修正。

（4）计算拉普拉斯矩阵L（G）及标准化的矩阵D-1/2LD-1/2；计算相应标准化矩阵的特征值，并按照升序排列λ1＜λ2＜…＜λn，同时把特征向量按照对应的特征值排序f1＜f2＜…＜fn。

（5）选择合适的维度m，选择前m 个小的特征向量构成n 个聚类样本；进行K-means 算法聚类计算，得到与黑启动电源数量相等的簇群。

（6）判断分区的机组有功出力及负荷是否基本平衡，如果存在严重不平衡则重新划分。

（7）将K-means 算法聚类还原成电网恢复分区结果。

3 算例分析

3.1 基于谱聚算法的电网恢复分区模型算例

采用新英格兰IEEE 39 节点标准算例及IEEE 118 节点标准算例来验证分析基于谱聚算法的电网恢复分区模型的有效性及适用性。

（1）新英格兰IEEE 39 节点标准算例

将机组节点30，31 和34 设置为黑启动电源，其余机组节点为32，33，35，36，37，38 和39，依据参数计算IEEE 39 系统的L（G）对应的特征值按照升序排列，结果如表1 所示。由最小的两个特征值对应的特征向量构成维度为2 的聚类样本，以黑启动电源数3 为聚类簇数，采用K-means聚类算法求得聚类结果如图2 所示，其对应的3个分区还原到电网中，结果如图3 所示。

表1 IEEE 39 系统的特征值（升序排列）

图2 K-means 算法得到的聚类结果

图3 IEEE 39 节点系统基于谱聚算法电网恢复分区

由于模型目标函数没有涉及到黑启动电源位置信息，无法区别待启动机组与黑启动电源。以IEEE 39 系统中30，31，35 节点机组具备黑启动能力为例，分析电网自身机组分布适合分区恢复的情况。此时3 台机组恰好处于按照网络社团特点及电气参数划分的3 个分区内，同时每个分区的规模相当且功率大致平衡，可以利用各自的黑启动电源并行恢复。并且分区目标函数包含线路参数，使得分区间的联络线数目较少：如分区1、分区2 间的并网只需闭合联络线1-39 和3-4，分区2、分区3 间只需闭合联络线14-15，分区1、分区3 间只需闭合联络线16-17，从而各分区完成并行恢复后，仅需对少量线路操作相互并网，可以简化操作并缩短时间。

而在不适合分区恢复的情况下（如IEEE 39 系统中33，34 和35 节点机组具备黑启动能力时），就只能参照单一黑启动电源的情况去先识别启动机组顺序及路径，然后进行网架重构。

综上，基于谱聚算法的电网恢复分区模型在解决大电网高维度恢复分区问题时，可以高效求取规模相当且相互连接线少的分区方案。

3.2 改进谱聚电网恢复分区模型仿真分析

采用新英格兰IEEE 39 节点标准算例来验证分析改进谱聚电网恢复分区模型的有效性及适用性。将机组节点30，31 和34 节点设置为黑启动电源，其余机组节点为32，33，35，36，37，38和39。首先要对机组进行分组，式（8）中恢复可靠性权重系数α 依据专家经验选为30，利用遗传算法对优化模型求解，得到待启动机组的最佳分组结果如表2 所示，其启动路径如图4 所示。

图4 IEEE 39 节点系统待启动机组分组结果

表2 待启动机组分组结果

在得到待启动机组的分组基础上，将恢复待启动机组涉及到的线路按照式（14）对邻接矩阵A中相应元素进行修正，从而继续采用谱聚类算法进行分区，得到分区结果如表3 所示。

表3 改进谱聚电网恢复分区结果

分析表3 可以发现，在待启动机组的分组基础上，对目标函数引入线路传输功率后，得到的分区结果使得分区中负荷和发电量更加接近，3个分区中有功不平衡率都低于5%，使得区域联络线上流通的功率更小，有利于各个分区恢复后的并网。

为进一步分析考虑机组分组及联络功率的改进谱聚模型的特点，这里将3 种模型得到的IEEE 39 节点系统分区结果进行对比。

模型1：考虑机组分组及联络功率的改进谱聚模型。

模型2：基于谱聚算法的电网恢复分区模型。

模型3：文献[17]中提出的分布恢复分区模型，采用的是分步分析及调整。

3 种模型得到的分区方案如图5 所示，各区有功不平衡量如表4 所示。

图5 3 种模型IEEE 39 节点系统的电网恢复分区结果

从表4 中不难发现，基于谱聚算法的电网恢复分区模型2 得到分区1 及分区3 有功不平衡量幅度最大，各区域间依赖性强，不利于后续的分区并网操作，这是因为在目标函数中并未引入区域有功平衡信息，所以在进行优化时不能很好的对分区内有功出力及负荷进行平衡。同时由于在分区时未特别地将机组及负荷节点区分开来，当黑启动电源变化时，分区结果几乎不发生变化，仅在黑启动电源规划位置比较合理时具有一定的使用价值。

表4 3 种分区模型下电网恢复分区结果

分析图5 不难发现，模型3 与模型1 的分区3 完全相同，都包含节点15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，33，34，35，36，分区1 及分区2 仅存在差别较小，这是由于模型3 与模型1 都考虑了联络线上传输功率及机组分组问题，从侧面证明了本文改进谱聚电网恢复分区模型在解决恢复分区问题时的有效性。从表4 中可知，模型1 在分区1 和分区2 中的有功不平衡程度低于模型3，模型3 与模型1 的分区结果主要差别在于节点39 和节点9 划归为分区1 中还是分区2 中。首先结合表3 分析，在排除节点39 和9时，分区1 发出有功为1 620 MW，分区2 发出有功为1 222.9 MW；再对节点9 和节点39 进行分析，节点9 为普通节点影响不大，对于节点39既接入了发出有功功率的机组，又带有大量的负荷，最终总体消耗有功，将节点9，39 及线路划分进分区1 更加合理。综上可知，相比模型3，本文提出模型1 改进谱聚电网恢复分区模型在解决恢复分区问题时更加有效。

综上，本文针对多黑启动电源情况下的电网并行恢复，考虑机组启动和分区有功平衡的影响，提出了计及机组分组优化的电网恢复分区模型。该方法对不同的机组分布皆具有适用性，可起到降低各分区内不平衡功率的作用，从而减小区域联络线上流通的功率，有利于各分区恢复后的并网。此外，电网分区结果也会对电网恢复过程造成影响[18]，不同子系统恢复时间相差较大的情况下，将延长系统的总恢复时间；分区内各线路恢复风险的大小也可能影响到电网并行恢复的成功率。

4 结论

本文针对电力系统中含多黑启动电源的恢复分区易出现不平衡功率且并行恢复有效性和可靠性受限等问题，提出了考虑机组启动及分区内有功平衡的改进谱聚电网恢复分区方法，算例分析验证了方法的有效性，并得到以下结论：

（1）本文基于谱聚算法，以子区域尽可能规模均衡且区域间联络线权重尽可能小为优化目标，能够高效求取得到规模相当、连接线少的电网恢复分区方案。

（2）本文在谱聚前增加考虑机组出力及待启动机组启动成功率的机组分组优化模型，使该恢复分区方法对不同的黑启动电源分布皆具有适用性，更加贴合实际应用需求。

（3）本文所提恢复分区方法在切图权重中引入线路传输功率，能有效考虑分区有功平衡，减小区域联络线上流通的功率，有利于各分区恢复后的并网。