给定观测精度下的点(线)源模型重力与磁力横向分辨能力研究

张义蜜， 王万银， 于长春， 熊盛青*

1 长安大学重磁方法技术研究所， 长安大学地质工程与测绘学院， 长安大学西部矿产资源与地质工程教育部重点实验室， 西安 710054 2 中国自然资源航空物探遥感中心， 自然资源部航空地球物理与遥感地质重点实验室， 北京 100083

0 引言

在地球物理勘探中，重、磁勘探因具有效率高、成本低、工作范围广等优点而受到重视(管志宁，2005；曾华霖，2005).但重、磁场具有叠加性，当相邻有多个地质体时，各个重、磁异常就可能会相互叠加，导致无法辨别重、磁异常是由单一地质体还是由多个地质体产生的(Gupta and Ramani，1982；Zeng et al.，1994；王宝仁和徐公达，1995)，这就需要对重力(重力异常、重力张量)和磁力(磁力异常、磁力张量)的理论横向分辨能力以及在给定观测精度下的实际横向分辨能力进行研究.

对于重力异常的理论横向分辨问题，前人研究结果(Fajklewicz，1976；王宝仁和徐公达，1995)表明对于两个半径相同的球体和水平圆柱体模型，同一埋深的重力异常可被理论横向分辨的最小中心距分别为1倍和1.15倍埋深.对于重力垂直张量的理论横向分辨问题研究较多(Elkins，1951；Hammer，1970；Butler，1984；王宝仁和徐公达，1995；徐公达，1986；徐公达等，1988；Li，2001a；Martinez and Li，2011；蒋甫玉等，2011；王浩然等，2013)，其他重力张量分量研究较少，王宝仁和徐公达(1995)给出了重力垂直张量对水平圆柱体模型的理论横向分辨系数(即横向分辨多个地质体时最小中心距与埋深的比值)，其可理论横向分辨的最小中心距为0.82倍埋深，其他学者仅给出了定性分析结果.王浩然等(2013)从反演的角度表明重力张量比重力异常具有更强的横向分辨能力.重力位三阶张量比二阶张量、重力异常具有更强的横向分辨能力，并且横向分辨能力随场源埋深的增大而减小(DiFrancesco et al.，2009；杜劲松和邱峰，2019).以上为前人对重力及重力张量理论横向分辨能力的研究，但在给定观测精度下重力及重力张量的实际横向分辨能力研究则较少.徐公达等(1988)通过对重力垂直张量的实际横向分辨能力研究得到，在重力垂直张量观测精度为30E时，当几个浅、小构造中心距小于2倍埋深时，重力垂直张量将产生叠加，横向上无法分辨.其他重力张量分量的实际横向分辨能力则少有研究.

由此可知对于重力和磁力横向分辨能力研究存在的问题为：(1)重力(重力异常、重力张量)、磁力(磁力异常、磁力张量)理论横向分辨能力研究主要集中在重力异常和重力垂直张量，其他重力张量分量以及磁力研究较少；(2)前人研究结果大多没有考虑观测精度这一要素，缺乏实际横向分辨能力研究结果.针对以上问题，本文以球体(点源模型)和无限延伸水平圆柱体(线源模型)重、磁场正演理论为基础，详细研究并对比了重力异常、重力张量、化极磁力异常以及垂直磁化磁力张量的理论横向分辨能力和给定观测精度下的实际横向分辨能力.

1 重力异常及重力张量横向分辨能力研究

重力异常与重力张量能够分辨某一深度多个地质体称为重力异常与重力张量的横向分辨能力.在理想观测精度(观测误差为0)和给定观测精度下，本文以球体(点源模型)和无限延伸水平圆柱体(线源模型)重力场正演理论为基础研究重力异常与重力张量的横向分辨能力.

1.1 重力异常及重力张量对球体模型横向分辨能力研究

设两个球体质量分别为M和k·M(其中k为比例系数，k>0)，球体中心埋深均为D，沿x方向中心距为d.将坐标原点O选在两个球心在地面的投影中心处，z坐标方向铅垂向下为正，则两个球体(图1)在计算面(x,y,0)上引起的重力异常表达式为(索洛金，1955)

(1)

当两个球体中心距较大时，其产生的重力异常有两个极大值；中心距较小时，仅有一个极大值.随着中心距由大到小，重力异常恰好有且仅有一个极大值时称作重力异常理论上能横向分辨两个球体.

当两个球体质量相等时，可从剖面(x,0,0)上对重力异常理论横向分辨能力进行研究.由(1)式可得，图1所示球体模型在剖面(x,0,0)上引起的重力异常表达式为

(2)

图1 双球体模型示意图Fig.1 Schematic diagram of double sphere model

当中心距由大到小，剖面(x,0,0)上重力异常恰有一个极大值点时，中心距d和埋深D有以下关系(见附录A)

d2-D2=0.

(3)

由(3)式得：d=1.0D.因此，重力异常能够理论横向分辨两个等质量球体时，理论横向分辨系数(最小中心距与埋深比)为1.0，即最小中心距不能小于1.0倍埋深；由(3)式也可得到：D=1.0d，因此最大埋深不能超过1.0倍中心距.

在实际情况中，重力勘探具有一定的观测精度.当两个球体引起的重力异常极大值Δgmax与极小值Δgmin之差大于等于重力观测精度时，两个球体才能够被分辨.即在给定观测精度Δgmse下，两个球体能被重力异常横向分辨的临界条件为

图2 重力异常在不同观测精度下的横向分辨能力Fig.2 Lateral resolution of gravity anomaly under different survey accuracy

(4)

给定不同的重力观测精度(0.1 mGal，0.4 mGal，0.6 mGal，1.5 mGal)并考虑垂向识别(张义蜜等，2020)基础上，图2为重力异常对等质量的磁铁矿(剩余密度取为1.5×103kg·m-3，半径取为300 m，质量为1.65×1011kg)的实际横向分辨能力.从图2可以得到，随着重力观测精度的提高，重力异常实际横向分辨能力逐渐增强并接近理论分辨线.

利用上述方法同样可以研究重力张量的横向分辨能力.重力张量有9个分量，因为重力异常位满足Laplace方程，而且Wxz和Wyz具有对称性，所以只用研究Wxx、Wxy、Wxz和Wzz这4个分量的横向分辨能力即可.

图1所示球体模型重力张量表达式为(索洛金，1955)

(5)

由于(5)式中重力张量Wxx、Wxy、Wxz极值位置的解析解难以求解，故本文通过数值解研究这三个张量的理论横向分辨能力.等质量球体(k=1)引起的重力张量Wzz可通过解析解研究理论横向分辨能力.

当两球体质量相等时，设球体半径为100 m，剩余密度为1000 kg·m-3，埋深为200 m，中心距分别为6倍和1倍的埋深时，两个球体在平面(x,y,0)上引起的重力张量Wxx、Wxy、Wxz如图3所示.从图3中可以看出，当两个球体中心距较大时，重力张量Wxx、Wxy、Wxz分别有4、4、2个极大值；中心距较小时，分别有2、2、1个极大值.经过极大值搜索技术(Blakely and Simpson,1986；王丁丁等，2021)得到当且仅当重力张量Wxx、Wxy、Wxz分别有2、2、1个极大值时，球体最小中心距与埋深有表1所示数值关系.

图3 重力张量平面等值线图(A1) 中心距为6倍埋深时Wxx等值线图； (A2) 中心距为1倍埋深时Wxx等值线图; (B1) 中心距为6倍埋深时Wxy等值线图； (B2) 中心距为1倍埋深时Wxy等值线图; (C1) 中心距为6倍埋深时Wxz等值线图； (C2) 中心距为1倍埋深时Wxz等值线图.Fig.3 Gravity tensor contour map(A1) Wxx contour map when center distance is 6 times buried depth; (A2) Wxx contour map when center distance is 1 times buried depth; (B1) Wxy contour map when center distance is 6 times buried depth; (B2) Wxy contour map when center distance is 1 times buried depth; (C1) Wxz contour map when center distance is 6 times buried depth; (C2) Wxz contour map when center distance is 1 times buried depth.

表1 三个重力张量Wxx、Wxy、Wxz最小中心距与埋深的关系Table 1 Relationship between minimum center distance and buried depth of three gravity tensors Wxx, Wxy, Wxz

将表1数据绘图并线性拟合如图4所示，重力张量Wxx、Wxy、Wxz的理论横向分辨系数(最小中心距与埋深比)分别为0.723、1.0和1.0.即重力张量Wxx、Wxy、Wxz横向分辨两个等质量球体时，最小中心距不能小于0.723、1.0和1.0倍埋深.

当两个球体质量相等时，可从剖面(x,0,0)上对重力张量Wzz(x,0,0)的理论横向分辨能力进行研究.图1所示球体模型在剖面(x,0,0)上引起的重力张量Wzz(x,0,0)表达式为(索洛金，1955)

Wzz(x,0,0)=G·M·

(6)

当中心距由大到小，剖面(x,0,0)上重力张量Wzz(x,0,0)恰有一个极大值点时，中心距d和埋深D有以下关系(见附录B)

d6-43d4D2+448d2D4-256D6=0.

(7)

由(7)式得：d=0.778D.因此，重力张量Wzz能够横向分辨两个等质量球体时，理论横向分辨系数(最小中心距与埋深比)为0.778，即最小中心距不能小于0.778倍埋深.

当两个球体质量比k≥1时，重力及其张量理论横向分辨系数与球体质量比(k)的关系如表2所示.

表2 重力异常Δg及重力张量Wxx、Wxy、Wxz、Wzz理论横向分辨系数与球体质量比(k)的关系Table 2 Relationship between the theoretical lateral resolution coefficients of gravity anomaly Δg gravity tensors Wxx, Wxy, Wxz and Wzz and the mass ratio (k) of the sphere

取等质量的球体和直立六面体模型，剩余密度均取为1000 kg·m-3，以重力垂直张量Wzz为例研究其对不同模型的理论横向分辨能力(表3).

表3 等质量球体和直立六面体模型重力张量Wzz理论横向分辨系数Table 3 Gravity tensor Wzz theory lateral resolution coefficient of equal mass sphere and vertical hexahedron model

从表3可以看出，重力张量Wzz对等质量的球体和直立六面体理论横向分辨能力随着直立六面体的长宽高变化有着轻微变化，但系数与双球体理论横向分辨系数0.778相差不大(相对均方根约为4.1%)，因此可以认为重力张量Wzz理论横向分辨能力对非点源体也有一定的适应性.

图4 三个重力张量Wxx、Wxy、Wxz中心距与埋深的关系(a) Wxx； (b) Wxy； (c) Wxz.Fig.4 Relationship between the center distance and buried depth of three gravity tensors Wxx, Wxy, Wxz

根据重力异常实际横向分辨能力研究思路，在现有的重力观测精度(重力异常观测精度取为0.1 mGal、重力张量观测精度取为10E)和垂向识别基础上，研究并对比重力异常和重力张量Wxx、Wxy、Wxz以及Wzz对等质量的磁铁矿(剩余密度取为1.5×103kg·m-3、半径取为300 m，质量为1.65×1011kg)的实际横向分辨能力.

图5 重力异常与重力张量横向分辨能力对比Fig.5 Comparison of the lateral resolution between gravity anomaly and gravity tensor

根据图5可知，重力异常及重力张量实际横向分辨曲线随埋深增加呈指数衰减，重力张量Wxx和Wzz横向分辨能力基本相同，Wxz略次之，Wxy最弱.在800 m以浅，重力异常和重力张量Wxz实际横向分辨能力几乎相同，在800 m以深，重力异常实际横向分辨能力优于重力张量Wxz.在900 m以浅，重力异常实际横向分辨能力弱于重力张量Wxx和Wzz，在900 m以深，则相反.

1.2 重力异常及重力张量对无限延伸水平圆柱体模型横向分辨能力研究

设两个半径、剩余密度均相等的水平圆柱体(图6)沿y方向无限延伸，中轴线埋深为D，中心距为d，半径为R(R≤D)，线密度为λ.将坐标原点O选在两条中轴线在地面投影中心处，且让y轴平行中轴线，z坐标方向铅垂向下为正，则x轴上任意点(x,0)处的重力异常表达式为(索洛金，1955)

图6 双无限延伸水平圆柱体模型示意图Fig.6 Schematic diagram of double infinitely extending horizontal cylinder model

(8)

对重力异常Δg(x,0)沿x方向求导，可得

∂Δg(x,0)/∂x=

(9)

令∂Δg(x,0)/∂x=0，解方程得(别列兹金，1994)

(10)

重力异常理论横向分辨两个无限延伸水平圆柱体的临界条件是：重力异常有且仅有一个极大值，由(10)式可得

(11)

图6所示无限延伸水平圆柱体引起的重力张量表达式为(索洛金，1955)

(12)

由于(12)式中重力张量Wxz极值位置的解析解难以求解，故本文通过数值解研究重力张量Wxz的理论横向分辨能力.重力张量Wzz可通过解析解研究理论横向分辨能力.

设水平圆柱体半径为100 m，剩余密度为1000 kg·m-3，两个水平圆柱体中心埋深为400 m，中心距分别为2倍、0.25倍中心埋深时，产生的重力张量Wxz(x,0)如图7所示.从图7中可以看出，当两个水平圆柱体中心距较大时，重力张量Wxz有2个极大值；中心距较小时，有1个极大值.经过极大值搜索技术(Blakely and Simpson,1986；王丁丁等，2021)得到当且仅当重力张量Wxz有1个极大值时，水平圆柱体最小中心距与埋深有表4所示数值关系.

图7 重力张量Wxz异常曲线图(a) 中心距为2倍埋深的Wxz异常曲线; (b) 中心距为0.25倍埋深的Wxz异常曲线.Fig.7 Gravity tensor Wxz curve graph(a) Wxz curve graph when center distance is 2 times buried depth; (b) Wxz curve graph when center distance is 0.25 times buried depth.

表4 重力张量Wxz最小中心距与埋深的关系Table 4 Relationship between minimum center distance and buried depth of gravity tensor Wxz

将表4数据绘图并线性拟合如图8所示，重力张量Wxz的理论横向分辨系数(最小中心距与埋深比)为1.115.即重力张量Wxz横向分辨两个无限延伸水平圆柱体时，最小中心距不能小于1.115倍埋深.

图8 重力张量Wxz中最小中心距与埋深的关系Fig.8 The relationship between minimum center distance and buried depth of gravity tensor Wxz

对于重力张量Wzz可从解析解得出理论横向分辨能力.当中心距由大到小，剖面(x,0)上重力张量Wzz(x,0)恰有一个极大值点时，有以下关系

d8-16d6D2-160d4D4-256d2D6+256D8=0,

(13)

2 磁力异常及磁力张量横向分辨能力研究

磁力异常与磁力张量能够分辨某一深度多个地质体称为磁力异常与磁力张量的横向分辨能力.在理想观测精度(观测误差为0)和实际观测精度下，本文以球体(点源模型)和无限延伸水平圆柱体(线源模型)重力场正演理论为基础研究磁力异常与磁力张量的横向分辨能力.

2.1 磁力异常及磁力张量对球体模型横向分辨能力研究

磁力异常与磁倾角和磁偏角相关，不易直接用来研究横向分辨能力.实际磁力数据处理、解释中常用化极磁力异常、垂直磁化磁力张量，因此需要研究化极磁力异常、垂直磁化磁力张量的横向分辨能力.

设两个球体磁矩大小分别为m和k·m(其中k为比例系数，k>0)，球体中心埋深均为D，沿x方向中心距为d.将坐标原点O选在两个球心在地面投影中心处，z坐标方向铅垂向下为正，则两个球体在计算面(x,y,0)上引起的化极磁力异常为(考留巴金和拉宾娜，1963)

(14)

两个球体引起的化极磁力异常公式与重力垂直梯度公式相似，仅是系数(常数)的差别.因此，化极磁力异常具有和重力垂直梯度相同的理论横向分辨能力.化极磁力异常能够分辨两个相等磁矩的球体时，理论横向分辨系数也为0.778，最小中心距不能小于0.778倍埋深.

按照重力异常实际横向分辨能力研究思路，在现有的磁力观测精度(磁力观测精度取为±4.0 nT和±2.0 nT)和垂向识别基础上，研究化极磁力异常对磁铁矿(磁化强度取为66.0 A·m-1、半径取为300 m，磁矩大小为7.26×109A·m2)和矽卡岩(磁化强度取为0.8 A·m-1、半径取为300 m，磁矩大小为8.8×107A·m2)的实际横向分辨能力.

从图9可以得到：化极磁力异常对磁铁矿的实际横向分辨能力强于矽卡岩；随着观测精度地提高，化极磁力异常的实际横向分辨能力也逐渐增强.

图9 化极磁力异常对不同地质体的横向分辨能力Fig.9 Lateral resolution of RTP for different geological bodies

利用上述方法同样可以研究垂直磁化磁力张量的横向分辨能力.垂直磁化磁力张量共有9个分量，因为磁力异常位满足Laplace方程，而且Uxz和Uyz具有对称性，所以只需要研究Uxx、Uxy、Uxz、Uzz这4个分量的横向分辨能力即可.

图1所示球体模型垂直磁化磁力张量表达式为(秦葆瑚，1980)

(15)

由于(15)式中垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz极值位置的解析解难以求解，故本文通过数值解研究这三个垂直磁化磁力张量的理论横向分辨能力.等磁矩球体(k=1)引起的垂直磁化磁力张量Uzz可通过解析解研究理论横向分辨能力.

设等磁矩球体半径为100 m，磁化强度为0.1 A·m-1，两个球体埋深为200 m，球体中心距分别为6倍和0.6倍的中心埋深时，两个球体在平面(x,y,0)上引起的垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz如图10所示.从图10可以看出，当两个球体中心距较大时，垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz分别有4、4、2个极大值；中心距较小时，分别有2、2、1个极大值.经过极大值搜索技术(Blakely and Simpson,1986；王丁丁等，2021)得到当且仅当垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz分别有2、2、1个极大值时，最小中心距与埋深有表5所示数值关系.

图10 垂直磁化磁力张量平面等值线图(A1) 中心距为6倍埋深时Uxx等值线图； (A2) 中心距为0.6倍埋深时Uxx等值线图; (B1) 中心距为6倍埋深时Uxy等值线图； (B2) 中心距为0.6倍埋深时Uxy等值线图; (C1) 中心距为6倍埋深时Uxz等值线图； (C2) 中心距为0.6倍埋深时Uxz等值线图.Fig.10 Vertical magnetization magnetic tensor contour map(A1) Uxx contour map when center distance is 6 times buried depth; (A2) Uxx contour map when center distance is 0.6 times buried depth; (B1) Uxy contour map when center distance is 6 times buried depth; (B2) Uxy contour map when center distance is 0.6 times buried depth; (C1) Uxz contour map when center distance is 6 times buried depth; (C2) Uxz contour map when center distance is 0.6 times buried depth.

表5 垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz最小中心距与埋深的关系Table 5 Relationship between minimum center distance and buried depth vertical magnetization magnetic tensor Uxx, Uxy, Uxz

将表5数据绘图并线性拟合如图11所示，垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz的理论横向分辨系数分别为0.595、0.816和0.778.即垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz横向分辨两个球体时，最小中心距不能小于0.595、0.816和0.778倍埋深.

从平面(x,y,0)上不易对垂直磁化磁力张量Uzz横向分辨能力进行理论研究，故在剖面(x,0,0)上研究.图1所示球体模型在剖面(x,0,0)上引起的垂直磁化磁力张量Uzz(x,0,0)表达式为(秦葆瑚，1980)

(16)

当中心距由大到小，剖面(x,0,0)上垂直磁化磁力Uzz(x,0,0)恰有一个极大值点时，有以下关系

27d6-390d4D2+1408d2D4-512D6=0.

(17)

由(17)式得：d=0.639D.因此，垂直磁化磁力张量Uzz能够横向分辨两个球体时，理论横向分辨系数为0.639，即最小中心距不能小于0.639倍埋深.

当两个球体质量比k≥1时，化极磁力异常及垂直磁化磁力张量理论横向分辨系数与球体质量比(k)的关系如表6所示.

表6 化极磁力异常RTP及垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz、Uzz理论横向分辨系数与球体质量比(k)的关系

实际情况中，化极磁力异常和垂直磁化磁力张量观测具有一定的观测精度.在现有的磁力异常观测精度(化极磁力异常取为2 nT、磁力张量观测精度取为±0.04 nT)和垂向识别基础上，研究化极磁力异常和垂直磁化磁力张量Uxx、Uxy、Uxz以及Uzz对磁铁矿(磁化强度取为66.0 A·m-1、半径取为300 m，磁矩为7.26×109A·m2)的实际横向分辨能力.

图11 垂直磁化磁力张量三个分量Uxx、Uxy、Uxz中心距与埋深的关系(a) Uxx； (b) Uxy； (c) Uxz.Fig.11 Relationship between center distance and buried depth of vertical magnetization magnetic tensor Uxx, Uxy, Uxz

根据图12可知，化极磁力异常和垂直磁化磁力张量实际横向分辨曲线随埋深增加呈指数衰减，垂直磁化磁力张量Uxx和Uzz横向分辨能力基本相同，Uxz略次之，Uxy最弱.在1200 m以浅，化极磁力异常和垂直磁化磁力张量Uxz实际横向分辨能力几乎相同，在1200 m以深，化极磁力异常实际横向分辨能力优于垂直磁化磁力张量Uxz.在2200 m以浅，化极磁力异常实际横向分辨能力弱于垂直磁化磁力张量Uxx和Uzz，在2200 m以深，则相反.

图12 化极磁力异常与垂直磁化磁力张量横向分辨能力对比Fig.12 Comparison of the lateral resolution between RTP and vertical magnetization magnetic tensor

2.2 磁力异常及磁力张量对无限延伸水平圆柱体模型横向分辨能力研究

设两个半径、磁化强度相等的水平圆柱体沿y方向无限延伸，中轴线埋深为D，半径为R(R≤D)，磁化强度为M.将坐标原点O选在两条中轴线在地面投影中心处，且让y轴平行中轴线，z坐标铅垂向下为正，则x轴上任意点(x,0)处化极磁力异常表达式为(考留巴金和拉宾娜，1963)

(18)

两个水平圆柱体化极磁力异常公式和重力异常垂直梯度公式相似，仅是系数(常数)的差别.因此，化极磁力异常具有和重力异常垂直梯度相同的横向分辨能力.化极磁力异常能够分辨两个无限延伸水平圆柱体时，理论横向分辨系数为0.828，即最小中心距不能小于0.828倍埋深.

图6所示无限延伸水平圆柱体引起的垂直磁化磁力张量表达式为(秦葆瑚，1980)

(19)

由于(19)式中垂直磁化磁力张量Uxz极值位置的解析解难以求解，故本文通过数值解研究垂直磁化磁力张量Uxz的理论横向分辨能力.垂直磁化磁力张量Uzz可通过解析解研究理论横向分辨能力.

设无限延伸水平圆柱体半径为100m，磁化强度为4.0 A·m-1，埋深为400 m，中心距分别为2倍、0.25倍中心埋深时，产生的垂直磁化磁力张量Uxz(x,0)如图13所示.从图13中可以看出，当两个水平圆柱体中心距较大时，垂直磁化磁力张量Uxz有2个极大值；中心距较小时，有1个极大值.经过极大值搜索技术(Blakely and Simpson,1986)得到当且仅当垂直磁化磁力张量Uxz有1个极大值时，水平圆柱体最小中心距与埋深有表7所示数值关系.

图13 垂直磁化磁力张量Uxz异常曲线图(a) 中心距2倍埋深的Uxz异常曲线； (b) 中心距0.25倍埋深的Uxz异常曲线.Fig.13 Vertical magnetization magnetic tensor Uxz curve graph(a) Uxz graph when center distance is 2 times buried depth; (b) Uxz graph when center distance is 0.25 times buried depth.

将表7数据绘图并线性拟合如图14所示，垂直磁化磁力张量Uxz的理论横向分辨系数为0.828.即垂直磁化磁力张量Uxz横向分辨两个无限延伸水平圆柱体时，最小中心距不能小于0.828倍埋深.

表7 垂直磁化磁力张量Uxz最小中心距与埋深的关系Table 7 Relationship between minimum center distance and buried depth of vertical magnetization magnetic tensor Uxz

图14 垂直磁化磁力张量Uxz最小中心距与埋深的关系Fig.14 The relationship between minimum center distance and buried depth of vertical magnetization magnetic tensor Uxz

对于垂直磁化磁力张量Uzz(x,0)可从解析解得出理论横向分辨能力.当中心距由大到小，剖面(x,0)上垂直磁化磁力张量Uzz(x,0)恰有一个极大值点时，有以下关系

5d4-40d2D2+16D4=0,

(20)

由式(20)得：d=0.649D.因此，垂直磁化磁力张量Uzz能够分辨两个无限延伸水平圆柱体时，理论横向分辨系数为0.649，即最小中心距不能小于0.649倍埋深.

3 重力、磁力及其张量横向分辨能力对比研究

3.1 重力、磁力及其张量对球体模型横向分辨能力对比研究

本文通过理论横向分辨系数(最小中心距与埋深比)大小来衡量重力和磁力的理论横向分辨能力强弱，系数越大代表理论横向分辨能力越弱；系数越小则表示理论横向分辨能力越强，表8是重力异常、重力张量、化极磁力异常以及垂直磁化磁力张量对等质量球体模型的理论横向分辨系数.

从表8可以得到：重力异常、重力张量、化极磁力异常以及垂直磁化磁力张量对于等质量球体(点源模型)的理论横向分辨能力由强到弱依次为：Uxx>Uzz>Uxz=RTP>Uxy>Wxx>Wzz>Wxz=Wxy=Δg.

表8 重力异常、重力张量、化极磁力异常以及垂直磁化磁力张量理论横向分辨系数(球体模型)Table 8 Theoretical lateral resolution coefficient of gravity anomaly, gravity tensor, reduction to the pole (RTP) of magnetic anomaly, vertical magnetization magnetic tensor (sphere model)

在现有的重力观测精度(重力观测精度取为±0.4 mGal和±0.1 mGal)和磁力观测精度(磁力观测精度取为±4.0 nT和±2.0 nT)以及垂向识别基础上，对比球体赋存磁铁矿(剩余密度取为1.5×103kg·m-3，磁化强度取为66.0 A·m-1，半径取为300 m，质量为1.65×1011kg，磁矩大小为7.26×109A·m2)和赋存矽卡岩(剩余密度取为0.24×103kg·m-3，磁化强度取为0.8A·m-1，半径取为300 m，质量为1.65×1011kg，磁矩大小为8.8×107A·m2)时重力异常和化极磁力异常实际横向分辨能力(图15).

图15 重力异常、化极磁力异常横向分辨能力对比(a) 磁铁矿； (b) 矽卡岩.Fig.15 Comparison of lateral resolution of gravity anomaly and reduction to the pole (RTP) of magnetic anomaly(a) Magnetite； (b) Skarn.

通过研究认为：在6000 m以浅，对于磁铁矿和矽卡岩，化极磁力异常实际横向分辨能力优于重力异常.

在现有的重力张量观测精度(重力张量观测精度取为±10E)和磁力张量观测精度(磁力张量观测精度取为±0.04 nT/m)以及垂向识别基础上，对比球体赋存磁铁矿(剩余密度取为1.5×103kg·m-3，磁化强度取为66.0A·m-1，半径取为300 m)和赋存矽卡岩(剩余密度取为0.24×103kg·m-3，磁化强度取为0.8A·m-1，半径取为300 m)时重力张量Wzz、垂直磁化磁力张量Uzz的实际横向分辨能力(图16).

图16 重力张量Wzz、垂直磁化磁力张量Uzz横向分辨能力对比(a) 磁铁矿； (b) 矽卡岩.Fig.16 Comparison of lateral resolution of gravity tensor Wzz and perpendicular magnetization magnetic tensor Uzz(a) Magnetite； (b) Skarn.

通过研究认为：在重力张量观测精度(±10E)和磁力张量观测精度(±0.04 nT/m)下，对于磁铁矿和矽卡岩，垂直磁化磁力张量Uzz的实际横向分辨能力优于重力张量Wzz.

3.2 重力、磁力及其张量对无限延伸水平圆柱体模型横向分辨能力研究

通过以上理论研究总结(表9)得到：重力异常、重力张量、化极磁力异常以及垂直磁化磁力张量对无限延伸水平圆柱体(线源模型)的理论横向分辨能力由强到弱依次为：Uzz>Uxz=RTP=Wzz>Wxz>Δg.

表9 重力异常、重力张量、化极磁力异常以及垂直磁化磁力张量的理论横向分辨系数(无限延伸水平圆柱体模型)

4 结论与建议

(1)在理想观测精度(观测误差为0)下，重力异常及重力张量对球体和无限延伸水平圆柱体的理论横向分辨系数随深度呈线性变化.重力异常及重力张量对等质量球体(点源模型)理论横向分辨能力由强到弱依次为：Wxx>Wzz>Wxz=Wxy=Δg；对相同无限延伸水平圆柱体(线源模型)理论横向分辨能力由强到弱依次为：Wzz>Wxz>Δg.在给定观测精度下，重力异常及重力张量的实际横向分辨能力与形体质量以及观测精度成正相关，实际横向分辨能力随深度呈指数衰减变化.

(2)在理想观测精度(观测误差为0)下，化极磁力异常及垂直磁化磁力张量对球体和无限延伸水平圆柱体的理论横向分辨能力随深度呈线性变化.化极磁力异常及垂直磁化磁力张量对等质量球体(点源模型)理论横向分辨能力由强到弱依次为：Uxx>Uzz>Uxz=RTP>Uxy；对相同无限延伸水平圆柱体(点源模型)理论横向分辨能力由强到弱依次为：Uzz>Uxz=RTP.在给定观测精度下，化极磁力异常及垂直磁化磁力张量的实际横向分辨能力与磁矩大小以及观测精度成正相关，实际横向分辨能力随深度呈指数衰减变化.

(3)重力(重力异常、重力张量)和磁力(磁力异常、磁力张量)对等质量球体(点源模型)理论横向分辨能力由强到弱依次为：Uxx>Uzz>Uxz=RTP>Uxy>Wxx>Wzz>Wxz=Wxy=Δg，对相同的无限延伸水平圆柱体(线源模型)的理论横向分辨能力由强到弱依次为：Uzz>Uxz=RTP=Wzz>Wxz>Δg.本文在给定观测精度下(重力观测精度取为±0.4 mGal和±0.1 mGal、磁力观测精度取为±4.0 nT和±2.0 nT、重力张量观测精度取为±10E、磁力张量观测精度取为±0.04 nT/m)，对比了重力异常和化极磁力异常，重力张量Wzz和垂直磁化磁力张量Uzz对球体赋存磁铁矿(质量为1.65×1011kg，磁矩大小为7.26×109A·m2)和矽卡岩(质量为1.65×1011kg，磁矩大小为8.8×107A·m2)时的实际横向分辨能力.研究结果表明，在6000 m以浅，对于磁铁矿和矽卡岩，化极磁力异常横向分辨能力优于重力异常，垂直磁化磁力张量Uzz横向分辨能力优于重力张量Wzz.

致谢在本文撰写过程中，评审专家和编辑部等提出了宝贵的意见，在此谨表谢意！限于水平和篇幅，本文疏漏和不对之处，敬请批评指正.

附录A 重力异常Δg对球体模型理论横向分辨能力公式推导

图1所示球体模型在剖面(x,0,0)上引起的重力异常Δg(x,0,0)表达式为

Δg(x,0,0)=

(A1)

(x+d/2)·[(x-d/2)2+D2]5/2+(x-d/2)·[(x+d/2)2+D2]5/2=0,

(A2)

对方程(A2)进行平方、移项、化简得

x2·[(x-d/2)2+D2]5-x2·[(x+d/2)2+D2]5+2x(d/2)·[(x-d/2)2+D2]5+2x(d/2)

·[(x+d/2)2+D2]5+(d/2)2·[(x-d/2)2+D2]5-(d/2)2·[(x+d/2)2+D2]5=0，

(A3)

对方程(A3)进一步化简得

(A4)

将方程(A4)写为

x·f(x,d,D)=0,

(A5)

其中

f(x,d,D)=x{[(x-d/2)2+D2]5-[(x+d/2)2+D2]5}+d{[(x-d/2)2+D2]5+[(x+d/2)2+D2]5}

+[(x-d/2)2+D2]2[(x+d/2)2+D2]2+[(x-d/2)2+D2][(x+d/2)2+D2]3

+[(x+d/2)2+D2]4}.

(A6)

若重力异常恰能分辨两个球体时，f(x,d,D)=0的解为x=0，将此条件代入(A6)，经化简得

d2-D2=0.

(A7)

附录B 重力异常垂直张量Wzz对球体模型理论横向分辨能力公式推导

图1所示球体模型在剖面(x,0,0)上引起的重力垂直张量Wzz(x,0,0)表达式为

(B1)

[(x+d/2)3-4D2(x+d/2)]·[(x-d/2)2+D2]7/2+[(x-d/2)3-4D2(x-d/2)]·[(x+d/2)2+D2]7/2=0,

(B2)

对方程(B2)进行平方、移项、化简得

{(x+d/2)6·[(x-d/2)2+D2]7-(x-d/2)6·[(x+d/2)2+D2]7}

+(-8D2){(x+d/2)4·[(x-d/2)2+D2]7-(x-d/2)4·[(x+d/2)2+D2]7}

+16D4{(x+d/2)2·[(x-d/2)2+D2]7-(x-d/2)2·[(x+d/2)2+D2]7}=0,

(B3)

对方程(B3)进一步化简得

(B4)

其中

将方程(B4)写为

x·f(x,d,D)=0,

(B5)

其中

(B6)

若重力垂直张量Wzz恰能分辨两个球体时，f(x,d,D)=0的解为x=0，将此条件代入(B6)式，经化简可得

d7-43d5D2+448d3D4-256dD6=0.

(B7)