让评价的过程成为学习的过程——以小学数学纸笔测试命题设计为例

浙江省杭州市江干区教育发展研究院 潘红娟

纸笔测试作为学生学业评价的重要途径，被广大教育工作者持续关注与深度研究。数学命题设计要“关注数学本质”“指向学习过程”“突出素养立意”“尊重学生差异”等理念已逐渐成为共识。但是，如何发掘纸笔测试中的“学习”功能，将评价的过程视为“学习”的过程，则鲜有人研究。

笔者已有二十余年的命题实践经验，评价不仅具有导向、诊断、激励的功能，同样，也具有“学习”的功能。为什么？首先，试题本身可以作为“信息源”，向学生传递数学常识、数学文化、时事信息、多元方法；其次，解题过程可以作为“方法源”，让学生体验问题解决的不同思路与策略，感受不同的数学思想方法；最后，解题结果可以得到“新命题”，获得一些新的规律、定律、性质、公理等结论。因而，好的命题设计，不仅指向于考查目标的有效达成，同时，可以在拓宽知识视野、完善认知结构、丰富学习经验、提升学习智慧等方面有所作为。

下面，以小学数学纸笔测试命题设计为例，从优化方法的习得、数学文化的渗透、后续学习的孕伏、思想方法的渗透、数学新规律的发现、非常规问题的探索、现实世界的关注等维度展开分析。

一、试题指向优化方法的习得

考试虽指向于学习结果的评测，但如果能在试题中有意识地融入解决问题的优化思路，让学生在解题过程中感知不同方法、体验优化思想，并在之后类似问题的解决中得以有效迁移，则显然是对考试功能的再拓展。

【试题举例】计算4÷4.4，根据图1中的笔算过程，下列结果正确且最简洁的是（ ）。

图1

【分析】此试题考查目标指向于“循环小数”的算理理解，旨在考查学生是否理解“商的循环出现，其原因是余数的循环出现”之本质，要求学生根据余数的重复出现判断商的循环节。同时，试题将“4÷4.4”转化为“1÷1.1”进行笔算，显然，意在向学生示范“根据商不变性质自觉转化，简便计算”的思路与方法，运算能力中“能根据数据特征灵活运算”这一目标蕴含其中。

【试题举例】

【分析】两题均是六年级“分数乘除”内容的试题。题①综合考查“运算定律在分数计算中的运用”“求一个数的倒数”等相关知识。同时，试题又给出“如何通过转化将复杂计算变得简单”这一思路提示，帮助学生积累一种灵活计算的策略，使其在今后同类运算中得以运用。题②，同样出于这一命题理念，帮助学生积累优化策略的同时，对“分数除法”与“整数除法”做了算理算法上的联系与沟通。

二、试题指向数学文化的渗透

结合相关内容进行“数学与现实生活”“数学与科学技术”“数学与人文艺术”“数学史”等数学文化的渗透，在教学中已被充分关注。事实上，考试评价同样可以将数学文化的渗透融入其中。例如，可以根据数学史、数学名题、历史材料编制数学试题，实现考查目标的同时，让学生了解数学之史、领略数学之美、感受数学之用。

【试题举例】“哥德巴赫猜想”认为，所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。如6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3……请你将60写成两个质数之和：60=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）。

【分析】试题指向于“质数”概念的考查，并不要求学生记忆概念语言，而是基于概念理解进行举例，这样的命题，体现对数学概念本质的考查。我们也看到，题干给出“哥德巴赫猜想”的背景介绍，意在拓宽数学视野，了解数学家与数学名题。考查概念的同时，学习已无痕发生。

【试题举例】

①图2中有六个小正方形，它们的边长是一组斐波那契数列，分别是：1，1，2，3，5，8，用这些数作半径，可画出美妙的螺旋线。

图2

请计算图中螺旋线的长度是（ ）cm。（结果可用含有π的式子表示）

②如果要计算1²+1²+2²+3²+5²+8²，有什么简便的方法呢？我们可以用“数形结合”的方法来研究。观察图2和下面的算式，填空：

1²+1²=1×2

1²+1²+2²=2×3

1²+1²+2²+3²=（ ）×（ ）

1²+1²+2²+3²+5²+8²=（ ）×（ ）=（ ）

【分析】将经典的“斐波那契数列”作为试题素材，考查圆的周长、数与形两个知识点，这样的命题，情境新颖，知识综合。题①需要判断螺旋线每段弧长的圆心、半径，然后计算周长。题②一方面考查学生用“式”表达“形”的能力，另一方面考查学生借助“形”探究“式”的规律，以数解形、以形助数的思路凸显。当然，试题并不满足于此，而是试图向学生打开数学文化的窗口，领略斐波那契数列的神奇，感受数列螺旋线的美妙。考查结束，还可以将这一内容作为长周期作业，布置学生搜索“斐波那契数列还有哪些奇妙的结论”“美妙的螺旋线在生活中有哪些应用”等，相信会是一次美妙的数学文化之旅。

三、试题指向后续学习的孕伏

试题若能既着眼当前，有效测查知识能力的掌握情况，又能为后续学习积累相应的经验，则能发挥最大功效。后续学习的铺垫与孕伏，可以是知识层面的，也可以是方法层面的。

【例题举例】由图3中的数据可知，两条直角边的长度（ ）。

图3

A.不成比例关系

B.成正比例关系

C.成反比例关系

【分析】试题考查对正反比例意义的理解，难度不大，但很好地突破了形式判断的记忆水平，要求学生真正理解正比例“一个量变化，另一个量随之变化”“相对应的量比值一定”，针对这一本质内涵进行概念辨析。试题给出的是一组相似三角形，为初中相似图形、相似多边形对应边成比例、比例线段等知识的学习，做了很好的孕伏。

【试题举例】图4中，a、b、c、d、e是五条等距的平行线，线段AD和BC相交于b直线上的E点。已知线段AB=4cm，AB∶CD=1∶3，△ABE的面积为4cm2，△CDE的面积是（ ）cm2。

图4

【分析】本题指向比例应用的综合考查，基本思路为：根据“1∶3”求出CD；根据两个三角形高的关系求出△CDE的高；底与高均已知，则可以求得△CDE的面积。在考查学生能否利用比例知识解决变式问题的同时，为初中学习相似三角形的面积比等于相似比的平方做了有效铺垫。

四、试题指向思想方法的渗透

能否在命题设计时，将数学思想方法蕴含其中，需要命题者突破知识技能的考查视野，具有高瞻远瞩的战略眼光。

1.恒等思想

【试题举例】如图5，有大小两个圆，将两个圆如图6放置，阴影部分面积是（ ）cm2；如图7放置，阴影面积是（ ）cm2；如图8放置，两块阴影面积的差是（ ）cm2。

图5

图6

图7

图8

【分析】此题考查内容为圆环面积。图6、图7着眼于基本方法的掌握，图8则给出一个非常规图形，不同层次的学生可以有不同的解题策略。水平较低的学生可以假设空白部分的面积，再计算求得；水平较高的学生可利用等式性质，得到“（S大圆-S空白）-（S小圆-S空白）=S大圆-S小圆”，推理获得结论。考查圆环面积的同时，将恒等思想孕伏其中。

2.简化思想

【试题举例】一批圆柱形茶叶罐的规格是：底面直径8厘米，高12.5厘米。新茶上市了，茶叶公司用这批茶叶罐装新茶，并采用如图9的包装方法进行包装。问：装入茶叶罐后，长方体盒子内剩余的空间占长方体盒子容积的百分之几？（π取3.14）

图9

【分析】命题设计将“简化思想”的考查蕴含其中。方法一：先求出长方体盒子内剩余体积及长方体盒子容积，再求百分率；方法二：从“体”的关系转化为“面”的关系，再求百分率；方法三：将四个单位转化为一个单位计算，求出一个茶叶罐的空余体积与所占长方体的体积之间的百分率；方法四：简化为“一个茶叶罐底面的空余面积与所占长方体的底面面积之间的百分率”等。显然，方法二、三、四中思维的灵活性、问题的简化能力明显高于方法一。

3.化归思想

【试题举例】图10中，正方形ABCD的边长是5cm，正方形CEFG的边长是3cm，求阴影部分的面积。

①小明解决这个问题的计划是：

阴影部分的面积=四边形BEFD的面积-三角形BEF的面积

四边形BEFD的面积=三角形BCD的面积+（ ）的面积

解答：

②小强解决这个问题的计划是：

如图11，因为BD与CF平行，所以三角形BDF（阴影部分）和三角形（ ）同底等高。因此，求阴影三角形的面积就是求三角形（ ）的面积。

图11

解答：

③如果正方形ABCD的边长不变，将小正方形CEFG改为边长为1cm的正方形，如图12，请比较图10、图12中阴影部分的面积大小，并说明理由。

图12

【分析】化归，是指在解决问题时，将待解决的问题甲，通过某种转化，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解决返回去得到问题甲的解决。此试题正是考查学生能否将复杂图形化为简单图形的能力，题①是将复杂图形化为简单图形的加减，题②、题③则是引导学生将阴影三角形通过等积变形，转化为直角三角形BDC的面积来解决。试题试图帮助学生体会“化归”的基本思想，并促进方法策略的形成，从而提高灵活解决问题的能力。

4.极限思想

【试题举例】不计算，用发现的规律直接写出下面算式的商。

那么7÷11=（ ），11÷11=（ ），12÷11=（ ）。

【分析】此题为“用计算器探索规律”的内容，考查学生能否通过观察、推理，找到商的变化规律。我们看到，根据规律可得，基于已有经验可知这一极限思想得以随机渗透。

五、试题指向新规律的发现

对学生进行知识能力评测的同时，很多时候，还能通过解题过程与解题结果，帮助学生获得一个新的规律、新的结论，这样的试题，可谓独具匠心，令人回味无穷。

图13

【分析】本题意在考查学生对分数加减计算的掌握情况，如果学生能分别求出A、B、C的值，然后正确求得圆上所有数的和，则达到考查目的。试题也为优秀学生预留了“先发现规律然后计算”的空间，希望学生可以发现，圆上所有数的和，其实是三个数重复加了3次，这样，则可以得出“和=原数和的3倍”这一新结论。

【试题举例】有A、B、C三个数，如果数A除以5，余数是3；数B除以5，余数也是3，数C除以5，余数是2。且A＞B＞C。

小明认为：A与C的和一定是5的倍数。

小红认为：A与B的差也一定是5的倍数。

他们两人的说法是否正确？请说明你的观点和理由。

【分析】人教版数学“因数倍数”单元中，“奇偶性”例题指向于“将抽象问题转化为具体问题来解决”，此题正是对这一问题解决能力的考查，学生可通过列举、推算等方式完成观点说理，学生由此也获得了“同余问题”的新结论。

六、试题指向于非常规问题的探索

这里所指的非常规问题，是指运用学生现有的知识基础与经验储备难以完成的问题。这样的试题，如若能给出一个自学提示，根据问题之间的联系，促进学生对解决方法的类比与迁移，则能实现“自学能力考查”与“非常规问题思路学习”的双重目的。

【试题举例】我们曾经用图14中的方法解决了求三角形面积的问题，用这样的经验，你能求出图15这个几何体的体积吗？（单位：cm）

图14

图15

【试题举例】图16中，若圆柱和圆锥等底等高，则圆锥体积是圆柱体积的图17 中，若这个四棱锥的底和高与长方体的底和高分别相等，则四棱锥的体积是（ ）。（单位：cm）

图16

图17

【分析】这两道题，非规则几何体与四棱柱的体积都是学生没有学过的内容，试题给出“图形转化”的思路提示、“圆柱与圆锥”的关系提示，引导学生通过类比推理，找到解决的思路与方法。可以说，这两题是学习功能试题的典型例证。

七、试题指向现实世界的关注与解释

会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，是新课标提出的数学核心素养的具体内涵。评价如何凸显对现实世界的观察、思考与解释，是命题者需要关注的重要方面。

【试题举例】“一元钱去哪了”的小故事。

小明向爸爸妈妈各借钱50元，买书用了97元，剩下的钱，各还父母一元，还欠父母各49元，自己还剩下1元。他算了一下：49元+49元=98元，98元+1元=99元。小明觉得很奇怪，还有一元去哪了？

你觉得小明错哪了？根据这个故事情境，请你写出两个正确的等量关系：

向父亲借的钱+向母亲借的钱=（ ）

欠父亲49元+欠母亲49元=（ ）

【分析】试题期待学生寻找情境中正确的数量关系，解释“一元钱去哪儿了”的疑惑，一方面，指向学生“关系表征”的能力考查；另一方面，将视角从单纯的数学题中走出来，转向现实世界，引导学生关注生活，并用数学语言解释、表达现实。

最后，值得说明的是，试题作为一个测量单元，它有刺激情景和对应答形式的规定，它的目的是获得被试的应答，并根据应答对考生的某些心理特质方面的表现（如知识、能力等）进行推测。命制一道试题，需要回答“考什么能力”“考什么内容”“用什么材料考”“用什么方式考”“问什么问题”“怎么回答”“怎样赋分”“难度预估”等相关问题。因而，本文所提出的“试题要具有学习功能”，应该是在保证试题信度、效度基础上的增值思考，与同行探讨！