一道平面几何题的多角度证明

巩继忠

摘 要：针对平面几何题“在△ABC中，∠A=60°，且AB=2AC.求证：△ABC是直角三角形”的证法进行探究，分别从“角”“边”两方面入手，运用平面几何、三角函数和平面向量等知识，给出了多种证法。

关键词：直角;直角三角形;勾股定理及其逆定理;相似三角形;平面向量

题目：在△ABC中，∠A=60°，且AB=2AC.求证：△ABC是直角三角形。

证法探究及证明：要证明一个三角形是直角三角形，常从“角”或“边”两方面入手。从“角”入手，这是因为，根据直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形。所以，要证明一个三角形是直角三角形，只需证其一个角是直角即可;从“边”入手，这是因为，根据勾股定理的逆定理，三角形中如果一边的平方是另外两边的平方和，那么这一边所对的角是直角。所以，要证明一个三角形是直角三角形，只需证其一边的平方是另外两边的平方和即可。

一、从“角”入手，证∠ACB=90°

1.证法一 证法探究考虑题给条件∠A=60°，且AB=2AC，联想等边三角形的判定及性质，延长AC边至M，使CM=AC，连接BM，即可证得∠ACB=90°.这一方法就是平面几何证明中的“补短法”。

证明：延长边AC至M，使CM=AC，连接BM，如图（1）.

因为AB=2AC，

所以AB=AM，又∠A=60°，

所以BM=AB，

所以BC⊥AM，

所以∠ACB=90°，

即△ABC是直角三角形。

2.證法二 证法探究欲证∠ACB=90°，可证∠ACB与一直角相等.作AB边上的高线CD，只需证 △ABC∽△ACD即可.

证明：作CD⊥AB，垂足为D，如图（2）.

因为∠A=60°，所以=.

又AB=2AC，所以=.

所以=.

又∠BAC=∠CAD=90°，

所以△ABC∽△ACD，

所以∠ACB=∠ADC=90°。

即△ABC是直角三角形.

3.证法三 证法探究根据三角形内角和定理，欲证∠ACB=90°，可证∠A+∠B=90°.于是，作AB边上的高线CD，只需证△ABC∽△ACD即可。

证明：作CD⊥AB，垂足为D。

因为∠A=60°，所以=，∠ACD=30°。

又AB=2AC，所以=.

所以=.

又∠BAC=∠CAD，

所以△ABC∽△ACD，

所以∠B=∠ACD=30°，

所以∠ACB=90°。

即△ABC是直角三角形。

4.证法四 证法探究考虑直径所对的圆周角是直角，以边AB为直径作圆，证点C在以边AB为直径的圆上即可。

证明：以边AB为直径作圆O，连接OC，如图（3）.

因为AB=2AC，所以AC=OA，

又∠A=60°，

所以OC=OA，

所以C点在圆O上，

所以∠ACB=90°。

即△ABC是直角三角形。

二、从“边”入手，证AB2=AC2+BC2

1.证法一 证法探究运用余弦定理进行证明.

证明：因为∠A=60°，AB=2AC，

所以BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A，

所以BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos60°，

所以BC2=AC2+AB2-2AC2，

所以AB2=AC2+BC2.

所以△ABC是直角三角形。

2.证法二 证法探究运用平面向量的模进行证明。

证明：因为，

所以，

所以2，

又因为∠A=60°，AB=2AC，

所以2，

所以2，

即AB2=AC2+BC2。

所以△ABC是直角三角形。