手持振动机械与手臂耦合系统主共振研究

杨志安，王思奇，李高峰

(1. 唐山学院 a.唐山市结构与振动工程重点实验室；b.基础部，河北 唐山 063000；2.华北理工大学 机械工程学院，河北 唐山 063210)

手臂系统生物力学是理解振动引起疾病机制和评估振动暴露风险的重要基础。手是一个可储存动能与势能的弹性体，当手握振动机械手柄时，激励系统(手柄)与被激励系统(手)会发生能量的转移，由于手有阻尼会导致储存的势能以动能形式耗散，即手的组织会发生相对运动。产生的热量会对手的组织、血管等产生伤害，长此以往会导致部分使用振动机械的人患雷诺氏症(白指病)。为深入研究人体手臂振动与白指病发病机理的关系，需建立手持振动机械与人体手臂耦合系统振动方程。手臂系统中有很多非线性特性存在[1]，为了使人体手臂系统动力学模型更加准确，不能忽略非线性因素。

文献[2-3]建立了手臂系统线性模型，并分析了不同范围的频率与手臂系统不同部位响应之间的关系，研究表明，整个手臂对低频振动较为敏感，高频振动对手部影响较大。文献[4-5]建立了振动手柄和不同振动工具耦合的不同自由度手臂系统线性模型，分析了手臂系统的机械阻抗特性和振动功率吸收与外激励频率的关系，在较高振动频率下，振动功率大部分被手和手掌吸收。文献[6]探究了井窖孔制作机的手传振动，并建立了手臂系统二自由度振动模型，研究表明，人体手臂系统对振动能量的吸收随着振动能量的增加而增大，手臂前端吸收了振动所产生的绝大部分量。文献[7]测量和分析了手指和手掌的吸收功率，结果表明，手传振动能量吸收功率中高频信号与白指病有关，因为在高频率时大部分能量被手部吸收。文献[8]通过实验测试得出，人体在受到振动时确实存在非线性并且可能足够大，以至于无法进行线性假设。根据以上研究，有必要对手持振动机械与人体手臂耦合系统进行非线性建模。

1 人体手臂系统在简谐激励下的振动模型

手臂是由皮肤、皮下组织、肌肉和骨骼组成的复杂的非均匀系统。本文由简入繁，研究其非线性规律，以文献[9]提出的单自由度手臂系统线性模型为基础建立非线性模型。选择文献[10]给出的标准生物力学建模坐标系，即坐标原点设在手的第三节掌骨处，如图1(a)所示，探究X方向上的振动规律。采用单自由度弹簧阻尼质量模型描述手持振动机械与人体手臂耦合系统，如图1(b)所示。

(a) (b)图1 手臂振动模型

手臂系统是非线性的，设人体手臂系统非线性项为立方项，根据牛顿第二定律得到系统的动力学方程：

(1)

式中，m为人体手部质量，k为刚度，k1为手部非线性刚度，c为手部阻尼，f(t)为手部受到的外界激励。

其中手部受到的外界激励f(t)有多种情况。首先研究系统受简谐激励时的情况，即f(t)=fcos Ωt，其中f为激励力幅值。进一步化简得：

(2)

2 耦合系统的主共振分析

主共振是指外激励频率Ω接近派生系统固有频率ω0时产生的振动。非线性系统中的主共振和线性系统中的共振是不同的，在线性小阻尼系统中，即便是很小的激励f也可以引起强烈的共振。所以，在非线性系统中分析主共振时需对除线性项以外的其他项加以限制，在其前面冠以小参数ε。对式(2)进一步整理得：

(3)

本文用多尺度法研究方程的近似解。研究一次近似解时，采用两个时间尺度T0，T1，设系统(3)具有如下形式的解：

x(t，ε)=x0(T0，T1)+εx1(T0，T1)。

(4)

式中，T0=t，T1=εT0。

将式(4)代入式(3)，通过比较ε同次幂的系数，得到一组线性偏微分方程：

ε0：D02x0+ω02x0=0；

(5)

(6)

方程(5)的解为：

(7)

式中：

(8)

研究系统主共振问题，也就是外界激励频率与固有频率接近时发生的情况，引入调谐参数σ，则有：

Ω=ω0+εσ，σ=0(1)。

(9)

将式(7)代入式(6)可得：

D02x1+ω02x1=

(10)

式中：

(11)

将式(8)代入式(11)，进行化简，分离其实部和虚部得：

(12)

式中：

φ=σT1-β。

(13)

方程组(12)上下两式联立可解出a，φ，于是方程(6)的一次近似解为：

x(t)=a(T1)cos(ω0T0+φ)+O(ε)。

(14)

由稳态系统可知，D1a=0，D1φ=0，即：

(15)

由式(15)可得稳态系统的幅频响应方程：

(16)

化简得：

J1a6+J2a4+J3a2+J4=0。

(17)

式中：

根据Routh-Hurwitz判据，可知稳态解稳定的充要条件是：

(18)

式(18)说明系统主共振稳态解与调谐参数有关，并说明对于系统主共振的幅频响应方程式(17)，在一定的范围内可能存在三个稳态解，但是这些稳态解不一定都是稳定的。

3 数值分析

3.1 主共振幅频响应分析

为了定量求解，根据文献[11]给出人体手臂参数，给各参数赋值：

m=0.45 kg，c=178 Ns/m，k=66.5 N/m，k1=6.65 N/m，f=10 N。

按照式(17)、式(18)计算系统主共振幅频响应曲线，并研究其稳定性。其中横坐标为调谐参数、纵坐标为振幅。

图2为手臂系统主共振随外激励力幅值f变化的幅频响应曲线。由图2可以看出，随着调谐值的不断增大，振幅并没有发生“跳跃”现象，也就是属于很弱的非线性问题。当增大外激励力时，系统振幅幅值会随着外激励力的增大而增大，共振区域也随着增大，且共振区域变化较大。

图2 激励力不同时的幅频响应曲线

图3为手臂系统主共振随手部阻尼c变化的幅频响应曲线。由图3可以看出，随着阻尼系数c的不断增大，振幅并没有发生“跳跃”现象；随着手臂系统阻尼系数c的增加，系统受到的阻力增大，振幅幅值降低，共振区域变化较小。

图3 阻尼不同时的幅频响应曲线

图4为手臂系统主共振随非线性刚度k1变化的幅频响应曲线。由图4可看出，手直接接触振动工具时，系统非线性刚度较小，曲线不会发生“跳跃”现象；当手戴防护设备时会增加系统非线性刚度，非线性刚度达到5.1×106时，曲线会发生“跳跃”现象。此时，便不可忽略非线性项的影响，而且随着非线性刚度的不断增大，“跳跃”现象会更加明显。

图4 非线性刚度不同时的幅频响应曲线

图5为手臂系统在三种不同调谐值下的阻尼幅频响应曲线。由图5可以发现，随着阻尼增加系统振幅会不断减小。在一定范围内，振幅变化速率较快。

图5 调谐参数不同时的阻尼幅频响应曲线

图6为手臂系统在三种不同调谐值下的激励力幅频响应曲线。由图6可以发现，随着外激励力F不断增大，振幅也会逐渐增大。

图6 调谐参数不同时的激励力幅频响应曲线

3.2 主共振时间历程分析

设式(5)、式(6)线性微分方程的初始条件分别为：

(19)

(20)

将式(19)代入式(7)，得φ=0，所以：

x0=acosω0T0。

(21)

式(6)消除永年项得：

(22)

将式(8)代入式(22)，并进行欧拉变换，解得：

(23)

解得主共振的一次近似解为：

x=x0+εx1。

(24)

选取初始位移a=0.008，调谐值σ=0.1，其他值不变。应用Matlab软件，根据四阶Runge-Kutta法(数值法)得到时间响应曲线及其相图，并与Simulink仿真形成的图作比较。

图7和图8分别为数值法得到的时间响应曲线和相图。由图7可知，随着时间增加，系统主共振位移逐渐减小并趋于稳定。由图8可知，随时间增加，系统逐渐稳定，形成了一个有一定厚度的极限环。图9与图10分别为Simulink仿真得到的时间响应曲线和相图，与数值法得到的大致相同。

图7 数值法时间响应曲线

图8 数值法相图

图9 Simulink仿真时间响应曲线

图10 Simulink仿真相图

4 结论

建立手持振动机械与人体手臂耦合系统动力学模型，用多尺度法得到系统幅频响应曲线。分析系统各参数对主共振幅频响应曲线的影响，可以得出，单位时间内系统振幅变化较快，这使得手部内各组织相对运动更加剧烈，能量耗散于手部，从而诱发雷诺氏症；减小振幅可降低相对运动程度。因此，对于预防此类职业病提出的建议为：可通过减小外激励幅值来减小系统振幅；可通过增加阻尼减小系统振幅；还可以通过在特定频率段内使用振动机械来避免过大振幅。