圆盘自同构迭代的零点序列与Blaschke乘积

和佳星, 曹 阳

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

1 引言与主要结果

定义2[2]如果存在η∈(0,1), 使得水平集{z∈D; |u(z)|<η}是连通的, 则称一个属于H∞的内函数为单分支[3]内函数.

Aleksandrov[4]给出了内函数u(z)是单分支的充要条件为存在常数C=C(u), 使得对所有的a∈D, 均有

文献[2]证明了几类内函数是否为单分支的, 如有限Blaschke乘积是单分支的, 但插值Blaschke乘积和无穷Blaschke乘积不一定是单分支的.

定义3[5]若存在正数δ>0, 使得B(z)满足

则称B(z)为插值Blaschke乘积.

Dρ(an,r)={z∈D:ρ(z,an)<ε}

是两两分离的.

定义4[2]z与w在伪双曲度量下的距离定义为

则存在一个常数γ, 使得

|B′(eiθ)|≤{γ|φ′(eiθ)| a.e.

如果f∈Aut(D)并且f不是恒同映射, 则f或者在圆盘D内有一个不动点, 或者在圆周T上有两个(可以重复)不动点.

定义5[6]圆盘中自同构的分类定义如下：

1) 如果自同构在圆盘D内有且只有一个不动点, 则称其为椭圆型的；

2) 如果自同构在圆周T上有两个不同的不动点, 则称其为双曲型的;

3) 如果自同构在圆周T上有一个重复不动点, 则称其为抛物型的.

定义6设f:D→D和g:D→D分别是拓扑空间D和D上的连续自映射, 如果存在同胚映射h:D→D, 使得h∘f=g∘h, 则称f和g是拓扑共轭的.特别地, 如果f,g和h都是全纯(线性, 光滑,cr可微)的, 则称f和g是全纯(线性, 光滑,cr可微)共轭的, 称h是一个全纯(线性, 光滑,cr可微)共轭.

因为上半平面与单位圆盘是全纯共轭的, 因此本文利用文献[7]中的分类进行讨论, 将上半平面的全纯自映射gi(z)通过全纯共轭h(z)映射为单位圆盘上的全纯自映射

并利用作用任意的单位圆盘自映射A(z)得到

定理1在单位圆盘的解析自同构分类中, 抛物型的和双曲型的在迭代后得到的零点均可构成单分支的插值Blaschke乘积； 椭圆型的迭代后得到的零点不趋于边界, 不能构成Blaschke乘积.

1 定理1的证明

命题1单位圆盘上的解析自同构中, 所有抛物型的和双曲型的在迭代后得到的零点均可构成Blaschke乘积B1(z)和B2(z), 椭圆型的零点不能构成Blaschke乘积.

由于

(1)

注意到

其中

设α=a+bi, 化简得

其中

其中

设α=a+bi, 化简得

其中

引理1[2]令b是一个零点为{zn;n∈}的插值Blaschke乘积.如果对某个σ∈(0,1), 集合是连通的, 则b即为一个单分支的内函数.特别地, 如果对所有的n, 均有ρ(zn,zn+1)<σ<1, 则b也是一个单分支的内函数.

命题2B1(z)是插值Blaschke乘积并且是单分支的.

其中

因此零点收敛, 极限点为-eiθeiβ.

此时,

当cosm<0时, ∃N, 使得当n>N时, |λn-1|>λn-1, 则有

引理2[2]如果Blaschke乘积的零点zn=rneiθn满足:

rn

则该Blashke乘积是插值的且是单分支的.

命题3B2(z)是插值Blaschke乘积并且是单分支的.

因此不妨设

则

并且有

其中

由引理2知,B2(z)是插值的且是单分支的.

综合命题1～命题3可得定理1.