Zeeman 场引起的三组分ERD 自旋轨道耦合的二维费米气体能谱偏移

陈正方

（江西理工大学理学院，江西 赣州 341000）

1 引言

最近，超冷原子气体的自旋轨道耦合效应[5]受到了广泛的关注。可调控粒子间相互作用强度和粒子间距离的新型实验手段使人们能够探索这种新奇的效应[2]。目前，人们已经在实验上实现了人工的自旋轨道耦合，首先是玻色气体，然后是费米气体。最早实现自旋轨道耦合的是NIST 的小组。他们实现的是一种Equal-Rashba-Dresshauls(ERD)的自旋轨道耦合[3]，这种自旋轨道耦合是将Rashba 自旋轨道耦合和Dresshauls自旋轨道耦合进行等量的叠加。相比于传统的Rashba 和Dresshauls 自旋轨道耦合，这种新型的自旋轨道耦合具有各向异性。在这篇文章中我们主要的研究是含有ERD 自旋轨道耦合的费米气体。不同于玻色气体，费米气体主要是自旋为半整数的粒子组成的气体，它符合费米-狄拉克统计。费米子满足泡利不相容原理这一重要的性质，即两个费米子不能同时占据同一个量子态。在绝对零温下，不含有相互作用的费米粒子会两两依次占据不同的能带形成费米海。但是一旦考虑粒子间相互作用，这种费米海就变得不再稳定，这会引起新的集体激发模式。在费米面上，一端的粒子会与另一端的粒子产生配对产生Cooper 对。Cooper 对的存在解释了为什么费米气体中也存在超导效应以及玻色爱因斯坦凝聚态。进一步的通过配对状态的不同我们可以将Cooper 对分为质心动量为零和质心动量不为零的两种不同形式。在这篇文章中，我们主要讨论了三组分含有ERD 自旋轨道耦合的二维费米气体的能谱，并且研究了zeeman 场对系统能谱的影响，进一步研究了变化的能谱对形成Cooper 对形式的影响。结果发现，在没有zeeman 场时体系能谱是相互对称的，如果考虑费米气体中有微弱的吸引势，那么在同一能级上，费米面上左右两端方向相反大小相同动量的粒子将发生配对。在存在zeeman 场时，体系的能谱发生偏移，同样考虑费米气体的微弱吸引势，那么粒子之间依旧会发生配对，但是发生配对的粒子的动量方向相反大小不同。

2 理论推导和图像

2.1 理论推导

我们以NIST 小组实现的模型作为研究对象。

这里主要包含了三组份的费米气体[3,4]。赝自旋向上、赝自旋向下以及无自旋这三种原子超精细态。超精细态上的粒子在受到了Raman 激光的激发后会跃迁到一个虚能级上，随后放出光子回落到另一个超精细态上，因此这些超精细态被Raman 激光耦合。在进行绝热近似并在原有的模型中加入zeeman 场后可以得到体系的单粒子哈密顿量。

图1 NIST 实现人工自旋轨道耦合原理图[1]

其中

我们定义了δ为在Raman 过程中的双光子失谐，h= ħΩR/2表示等效Zeeman 场强度，ΩR是激光的Rabi频率。作为能量单位，这里的m是原子质量。波矢kL作为动量单位。为了方便起见，我们在本章中只考虑双光子失谐δ= 0的情况。我们将哈密顿量对角化得到单粒子矩阵的本征值和本征向量。哈密顿量和本征值的对应关系如下所示：

2.2 Zeeman 场对系统的影响

zeeman场使得在kx方向上对称的能谱发生了偏移。体系的费米表面发生形变，导致单粒子能带的反转对称性破坏。因此，不可能在同一波段找到两个动量相反但能量相同的费米子。当我们考虑在两个精细态，中加入微弱相互吸引作用，系统就会产生粒子配对。这里我们考虑的是等布居数的费米粒子系统，因为不等布局数的费米粒子也会引起动量不为零的配对。没有zeeman场时，粒子的配对方式应该是同一能级上动量为+kx自旋为与动量为-kx自旋为的粒子进行配对，对应的cooper对的配对质心动量为kx+(-kx)=0。当存在zeeman场时，由于能带发生了偏移，就会导致同一能带上的两个粒子的动能发生了位移，因此进行配对的两个粒子将变成同一能级上动量为+kx+Q自旋为与动量为-kx自旋为的粒子，此时粒子间的配对质心动量变成了Q，如图3所示。

图2 没有zeeman场的情况下，ky =0三组份费米子的能谱

图3 存在zeeman场的情况下，ky =0三组份费米子的能谱

在动量为ky轴的能谱中我们发现，zeeman场使得E2和E3之间的能隙 ΔE1变大，E1和E2之间的能隙 ΔE2变小，如图4、5所示。但是能谱的对称性没有遭到破坏。这说明ERD形式的自旋轨道耦合具有各向异性，而加入的zeeman场只能引起能谱kx方向上的偏移。对于ky方向单粒子的反转对称性并没有被破坏。因此在考虑配对情况时只需要参考kx轴上的能谱。

图4 没有zeeman场的情况下，k x =0时三组份费米子的能谱

图5 存在zeeman场的情况下，k x =0时三组份费米子的能谱

3 总结

我们研究了zeeman 场对于含有ERD 自旋轨道耦合的二维三组分费米粒子能谱的影响。当不存在zeeman场时，费米粒子的能谱是关于动量对称的。因此，加入微弱吸引势后，粒子间将发生质心动量为零的配对。当存在zeeman 场时，费米粒子的能谱发生了偏移，原本同一能带上动量对称的两个粒子发生了动量上的位移。当加入微弱吸引势后，粒子间将发生质心动量不为零的配对。