加速度测量中气垫导轨的气流理论分析及实验优化设计

卢肖然，马 彬，邓 莉，张诗按，国泽镕，李浩源

(华东师范大学 物理与电子科学学院，上海 200241)

气垫导轨可以模拟无摩擦环境，是测量瞬时速度、加速度、牛顿第二定律、碰撞实验的重要教学仪器。实验中利用气垫导轨气孔喷出气体，形成气膜，使滑块产生悬浮，有效减小运动过程中滑块与导轨之间的滑动摩擦，从而较准确地测量重力加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律等实验。然而在实际实验操作过程中，气垫导轨虽然可以减小滑动摩擦带来的实验误差，但气泵气流分布不均、气压不稳定等都会对实验测量结果造成的更复杂的实验系统误差，为实验数据的分析带来困难[1-10]。

本文中，我们聚焦空气黏滞阻力对测量精度的影响，分析了气泵不同气流强度、滑块速度、气压分布导致气垫导轨对运动滑块的气体摩擦力及滑块瞬时速度测量的影响，基于分析结果提出在重力加速度加入修正项，可以减小空气黏滞阻力对实验测量结果的影响，为优化实验方案提供参考。

1 实验原理

图1为滑块瞬时速度测量的实验装置。

图1 滑块瞬时速度测量的实验装置

先将气垫导轨AB调至水平状态，将导轨一端AO抬至不同高度，使导轨形成不同倾角θ。光电门P1和P2分别放置在导轨上，其位置可以随意调整。遮光板固定在滑块上，总质量为m。设实验中滑块通过第一个光电门P1时的瞬时速度为v1，通过第二个光电门P2时的瞬时速度为v2，滑块在导轨上滑动的加速度为a，P1、P2之间的距离为s，则：

v2=v1-at

(1)

(2)

瞬时速度与平均速度关系为：

(3)

(4)

进一步可推出：

(5)

根据牛顿第二定律可以得到加速度的理论值：

a0=gsinθ

(6)

1.1 空气流速和气压的影响

通过气泵旋钮调节导轨表面小孔的出气量，气泵的挡数越高，出气量就越大，假设实验中气流的温度不变，通过调节气泵的档位改变导轨上的气流流速。物体相对于流体的运动速度v，物体所受黏滞阻力为F，流体的黏滞系数为b，当v较小时，F与成v、b成正比。这一规律称为斯托克定律。由于压强变化对分子的动量交换影响非常微弱，所以气体的黏性随压强的变化很小。

1.2 空气黏滞阻力的作用原理

气泵将空气从气垫导轨表面的小孔高速垂直喷出,使滑块悬浮在导轨面上,滑块在水平方向分力的作用下运动。从滑块的运动方向来看,可以认为紧贴导轨表面的空气层相对于导轨是完全不动的,紧贴滑块内表面的空气层同滑块以相同的速度运动。中间气层的厚度近似为滑块的飘浮高度,它分成若干层,层与层之间发生相对运动,滑块向外的表面同样与外表面的空气有相对运动,便产生了摩擦阻力,对滑块的运动产生阻碍作用，由此产生空气黏滞阻力[1]。

2 空气黏滞力造成系统误差的修正

2.1滑块运动的阻尼系数的推导与测量

当气垫导轨水平时F=0，根据牛顿第二定律有：

(8)

积分化简为：

(9)

化简求得阻尼系数：

(10)

按照图1所示，我们测量了OA=5 cm，时，气泵挡位为3、4、5、6挡时(挡位为1、2档，滑块无法悬浮)，光电门位置相距40 cm处，两光电门测量的瞬时速度，并根据式(10)，计算出其黏滞系数，如下表1、3、4、5所示。

表1 气泵3档黏滞阻力系数相关数据(狭缝宽度1 cm)

图2 滑块速度与阻尼系数关系

表3 气泵4档黏滞阻力系数相关数据(狭缝宽度1 cm)

表4 气泵5档黏滞阻力系数相关数据(狭缝宽度1 cm)

表5 气泵6档黏滞阻力系数相关数据(狭缝宽度1 cm)

据表1的数据，我们做出滑块瞬时速度v1与阻尼系数b之间的关系，发现随着速度的增大，空气黏滞系数从0增加到最大值，然后渐渐趋向一个稳定值。将气泵挡位处于3、4、5、6的阻尼系数b画在同一个图中，发现不同挡位，其阻尼系数b随速度变化的趋势不同，随着气泵挡位的提高，其喷出的气流越大， 实验测得的运动阻尼系数就越不稳定，甚至有上升趋势。

图3 气流强度与阻尼系数的关系

2.2 重力加速度的修正项

当滑块运动速度不大时，空气黏滞阻力与滑块的运动速度成正比关系，有f空气=-bv.其中b为黏滞阻力系数，由牛顿第二定律得：

(11)

(12)

(13)

其中v1是滑块通过第一道光电门的速度，整理得：

(14)

(15)

(16)

将实验测得的重力加速度与上海当地的重力加速度G0=9.796 4 /m·s-2比较计算相对误差分别有：

不考虑空气黏滞阻力时的相对误差：

表6 垫块高度为5 cm时重力加速度的测量

3 实验优化方案

3.1 速度对系统误差的影响

在处理数据时，尽管我们把阻尼系数b作为常数处理，但是滑块速度v越大时，其受到的摩擦力也相应越大，导致速度的损失也越大，在实验所需的条件下，运动滑块的质量m是一定的，所以因黏滞阻力而造成的速度损失主要取决于滑块的瞬时速度，所以本实验系统误差主要来源于空气对滑块的黏滞阻力。实验中为了使得因黏滞阻力所造成的速度损失量与滑块自身速度大小相比所占比例减少些，尽量减少系统误差，不增加其他误差的前提下选用较大的实验速度进行测量结果准确性会更高。

3.2 气流强度对系统误差的影响

滑块运动的阻尼系数b的大小由滑块内表面积、空气黏滞系数等相关。实验中测得，若气流强度较大，滑块悬浮高度较高，其运动就会出现不稳定的现象，因此在实验中还应选取气流强度相对较小的气泵，使滑块悬浮高度相对低些。

3.3 气泵气压不足引起的系统误差

气垫导轨的气流是从气垫的中腔输入，然后从表面喷出，气流从气轨的一端流到另一端。由于气流的速度不大，所以流动的为层流。随着气流流动的前进方向，压强也随之降低。进气端的气轨与滑块所形成的气层一定比出气端气轨与滑块所形成的气层高一些。将滑块放置在水平导轨上，导轨从右端进气，轻轻推动滑块使其左右移动，调节导轨水平高度使滑块经过两个光电门时的速度相等。由于v是相等的，同一处压力P与密度ρ成正比[3,4]，喷气后密度减小，越靠近下游越小，因此进气端气轨与滑块所形成的气层一定比出气端气轨与滑块所形成的气层高一些。所以，实验中选择用测速调平法来调整气轨的平衡。通过不断调整一段的旋钮来调整气轨的高度，使滑块从进气端至出气端经过两个光电门的速度大致相等。以抵消运动过程中的摩擦阻力，从而达到减小实验误差的效果。

4 结 语

滑块在导轨上的运动往往被人们假设为理想化的无摩擦运动,忽略了滑块在导轨上运动时受到的气体内摩擦,气体内摩擦黏滞性阻力对滑块的运动造成附加的速度损失,由此产生了更多的实验误差，我们对气轨上的各种摩擦阻力加以分析,通过对重力加速度的修正，减少空气黏滞阻力这一实验系统误差对实验测量结果的影响。