多隔间车辆路径问题研究综述

彭丽文 沈吟东

摘  要：随着不能混装货物需要同时进行配送要求的出现，以及现代物流中待运产品多样性特征的产生，多隔间车辆路径问题（MCVRP）于近年来逐渐受到关注。文章首先归纳了多隔间车辆路径问题的应用场景，并阐述了每种场景下使用多隔间车辆运输不相容货物的优点。然后，根据问题特征，对多隔间车辆路径问题研究进行归纳分类并就每类研究问题分别予以综述。最后，针对多隔间车辆路径问题在当前形势下面临的新挑战进行展望，并提出五个新的研究方向。

关键词：多隔间车辆路径问题;问题特征;应用场景;文献综述

中图分类号：U116.2      文献标识码：A

Abstract： With the emergence of requirements for simultaneous delivery of products that cannot be mixed and the diversity of products to be shipped in modern logistics， the multi-compartment vehicle routing problem（MCVRP）has attracted more and more attention in recent years. This paper first summarizes the application scenarios of the MCVRP， and then expounds the advantages of using multi-compartment vehicles to distribute incompatible products in each scenario. Furthermore， according to the characteristics of the problem， the research on the MCVRP is grouped into seven types， for each of which an overview is provided respectively. Finally， the new challenges to the MCVRP are prospected， whilst five new research directions are suggested.

Key words： multi-compartment vehicle routing problem; problem characteristics; application scenarios; research overviews

0  引  言

随着科技的进步和电子商务的飞速发展，物流业作为连接生产者与消费者的桥梁，发挥着越来越重要的作用。特别是疫情当下，在减少出行以及区域封锁的情况下，物流配送则变得尤为重要，而如何在防护状态下进行及时且合理的配送以满足各户生活所需，这对于物流业来说不仅是一份责任和发展契机，同样也是一个新的挑战。

与此同时，物流配送需求的普遍存在也使得作为运输组织优化中的核心问题即车辆路径问题[1]（Vehicle Routing Problem，VRP）受到广泛关注，已有很多学者对其进行研究并取得了丰硕的成果[2]。其中，大部分研究假设所有货物都相容且混装在单车厢中进行同时运输。而随着多样性、个性化消费经济的迅猛发展，现代物流配送系统出现了待运产品种类纷繁多样和配送网络日趋复杂这两个新的特征，配送的部分甚至所有产品之间很可能存在着不相容关系。此时，若仍然混装在同一车厢中则将导致产品变质甚至直接报废。例如，冷链物流[3]中常温和冷冻食品混装会导致食品发生变质，成品油配送[4]中不同类型石油混装会影响油品的使用性能且易发生安全事故，垃圾回收[5]中将多个分类盒倒出后混装会增加工作负担甚至导致此次回收任务失败。另外，将所有不相容产品都分别采用单隔间车辆单独配送则会大幅度增加成本[6]，继续使用传统的单隔间车辆运输已经不能更好地满足现代物流的运输需求了。因此，在面临不同类型产品不相容的这种特殊物流运输问题时，为了提高运输效率和节约成本，需要将单隔间分割成多隔间以使得车辆能同时运输多种不相容产品，由此衍生出了一类新的VRP问题：多隔间车辆路径问题（Multi-Compartment VRP，MCVRP）。

本文将首先给出MCVRP与传统VRP的不同之处，并归纳出多隔间车辆路径问题的应用场景;然后根据问题特征，对多隔间车辆路径问题研究进行归纳分类并就每类研究分别予以综述;最后，针对多隔间车辆路径问题在当前形势下面临的新挑战进行展望并提出五个新的研究方向。

1  MCVRP的特征及应用场景

MCVRP最早由Brown和Graves[7]提出，经典的MCVRP可描述为：有一个起点和若干个有多种产品需求的客户点，以及若干带有多个隔间的车辆且不同种类的产品需放在不同隔间进行配送，已知各点的地理位置和各客户对各种产品的需求，在满足各隔间容量约束以及其他约束条件下，如何规划一条最优的路径，使其能服务到每个客户点并最终返回起点。可以发现，与传统VRP在问题上的区别在于，除了使用能实现同时运输多种不相容产品的多隔间车辆外，还将传统VRP中的单隔间容量限制替换成了每种产品所对应的隔间容量限制。另外，与传统VRP的发展历程也不同，MCVRP早期时并没有引起广泛关注，而是随着其在某些特殊领域应用的必要性以及现代物流中待运产品多样性特征的出现，直到近年才逐渐成为学者们研究的一个热点课题。

目前，随着研究的深入，MCVRP的应用场景也在逐步增多，其中关于冷链物流、成品油配送以及生活垃圾回收的MCVRP研究则相对较多。例如，陶荣[8]（2014）构建了冷链产品多温共配的数学模型并利用蚁群算法对其求解;Chen等[9]（2019）在研究冷链配送时考虑时间窗和燃油消耗等因素，提出了一種比基于经验的人工方法更加有效的自适应大邻域搜索算法对该MCVRP进行求解;Coelho等[10]（2015）针对石油运输中的MCVRP，采用分支定界法进行求解;张源凯等[11]（2017）针对成品油配送中多车型、多车舱的车辆优化调度问题，以派车成本与油耗成本之和的总成本最小为目标，构建了综合考虑多车型车辆指派、多隔间车辆装载及路径规划等决策的MCVRP模型;Reed等[12]（2014）针对来自家庭垃圾废旧品回收中的MCVRP，提出了一种改进的蚁群算法对其进行求解，针对顾客点分散在不同集群的回收网络，使用K-means聚类算法来提高蚁群算法的求解效率;Henke等[13]（2015）讨论了不同颜色玻璃回收的MCVRP，并提出了一种分支—切割算法（Branch-and-Cut Algorithm）有效地进行了求解。表1归纳了目前文献中关于MCVRP的大部分应用场景，并且除了“使用多隔间运输相较于单隔间效率更高成本更低”的优点外，MCVRP应用在每种场景的其他优点以及其对应运载的不相容产品也在表中列出。

由于要满足实际生活需求，应用到现实场景中，MCVRP问题也变得复杂了，一些MCVRP的扩展问题也逐渐被学者们研究，如多车型MCVRP，带有时间窗的MCVRP以及需求可拆分的MCVRP等。本文旨在对近年来国内外文献关于MCVRP所研究的具体问题进行较为全面的综述，并在最后指出研究的发展趋势，希望能给予读者启示。

2  MCVRP问题分类及研究现状

随着MCVRP其应用场景的逐渐增加，关于它的研究成果也日益丰富。根据MCVRP问题的不同特征，MCVRP问题研究可以大致归纳为如下7类：（1）多车场MCVRP;（2）多车型MCVRP;（3）带时间窗的MCVRP;（4）需求可拆分的MCVRP;（5）动态MCVRP;（6）取送货MCVRP;（7）多目标MCVRP。本节将对每类的研究现状分别予以综述。

2.1  多车场MCVRP

多车场MCVRP是基本MCVRP问题的一种扩展，指的是有数个车场同时对多个带有多种产品需求的客户进行服务，要求对各车场的多隔间车辆和行驶路线进行适当的安排，在保证满足各客户需求的前提下，使总运输成本最小。相比较于单车场MCVRP，除了需要安排每辆车的路径外，它还涉及到场站的选择，所以其求解相对较难。

目前，大部分MCVRP研究都是考虑单车场，而少数涉及多车场[30-32]。如戴锡等[31]（2009）在油品配送车辆路径问题中考虑多油库和多成品油，以两阶段启发式算法为基础，给出了求解该问题的人机交互求解方法。Alinaghian和Shokouhi[32]（2018）提出了一种以车辆数和运输成本最小化为目标的多车场多隔间车辆路径问题数学模型并采用混合自适应大邻域搜索算法对其进行求解。

2.2  多车型MCVRP

根据车辆的型号是否相同，MCVRP又可分为单车型和多车型MCVRP。需要注意的是，与传统VRP相比，MCVRP采用的是多隔间车辆，所以其车辆类型划分除了需要考虑车辆容量外，还需要进一步考虑隔间比例。以往研究大多数假设配送过程中所使用的都是具有相同容量和相同隔间比例的单车型车辆，而随着物流业的发展，为了更好地满足实际运输需要，已有一些学者在MCVRP研究中考虑使用多车型多间隔车辆对多种不相容产品进行运输，其中主要出现的若干种多车型情形归纳于图1。

可以发现，根据在选择多隔间车辆前每辆车的隔间尺寸/隔板位置是否固定，多车型MCVRP又可继续分为带固定隔间多车型MCVRP和柔性隔间多车型MCVRP。而对于带固定隔间多车型MCVRP，根据车容量和隔间比例的不同，其又对应三种多车型情况，即：（1）同车容量但不同隔间比例;（2）不同车容量但同隔间比例;（3）不同车容量且不同隔间比例。例如张源凯等[11]（2017）针对多隔间成品油MCVRP，使用具有不同车容量且不同隔间比例的多辆多隔间车进行运输，并提出了一种利用Relocate和Exchange算子进行并行邻域搜索改进的算法用于求解，结果显示与单车型车辆独立运营相比，多车型车辆混合运营能够综合运用大车型远距离配送油耗成本小，小车型近距离配送派车成本小的优点，使得总运营成本更小。另外，需要注意的是，在带固定隔间多车型MCVRP中，即使每辆车的隔间尺寸固定，但是这并不意味着将产品分配到某隔间也是固定的，此处分为产品固定到隔间和产品再分配到隔间。前者研究起来简单方便且每次使用完多隔间车辆后不用立刻清洗，而后者则增加了产品如何分配到隔间该决策变量，其应用灵活但每次使用完后多隔间车辆后往往需要立刻清洗，比如在多种类型的成品油運输中以及装备了可自由切换的车载温控系统的冷链物流中等。例如陈久梅等[29]（2018）在研究生鲜农产品多隔间冷链配送问题时，假定车辆隔室与产品一一对应并建立了该问题的数学模型。而王旭坪等[14]（2019）则在考虑碳排放和时空距离的冷链配送路径优化研究中，使用带有可自由切换温度的冷冻舱和冷藏舱的车辆进行运输，在建立优化模型后设计了K-means算法与改进模拟退火算法相结合的两阶段启发式算法用于求解。

而对于柔性隔间多车型MCVRP，该问题中每辆多隔间车的总容量虽然相同，但是其隔间尺寸并不是提前固定的，而是可根据运输需要进行变化即可变隔间尺寸，这种机制使得每辆多隔间车都可能是一种新车型。进一步地，根据隔间尺寸的变化形式，柔性隔间MCVRP又可分为具有离散可变隔间尺寸的MCVRP和具有连续可变隔间尺寸的MCVRP，前者其隔间尺寸只能从一组潜在尺寸选项中选择得到，而后者其隔间尺寸则可以从一个连续区间中任意取值。在求解柔性隔间MCVRP时，相较于固定隔间多车型MCVRP，其求解任务除了需要（1）确定车辆行程外，还需要同时确认（2）每辆车的车容量应划分为多少个车厢、（3）每个车厢的尺寸应该为多少以及（4）应为每个车厢分配哪种产品类型，所以该类多车型MCVRP求解难度较大，其相关文献也较少。目前，Derigs等[33]（2011）构建了一种使用离散可变尺寸隔间来分配食物和燃料的MCVRP模型，其隔间尺寸是在满足车容量限制条件下从一组隔间集合中选择得到的。而Henke等[13]（2015）针对玻璃废料搜索难题也提出了一种考虑离散可变隔间尺寸的MCVRP，但其隔间尺寸是在给定的区间内可按等步长离散变化，即设置每个车厢是基本车厢单元的整数倍，之后构建了数学模型并使用可变邻域搜索算法对其进行了求解。紧接着，Henke等[34]（2016）又考虑到一辆车中可使用的最大隔间数可能小于或等于产品类型的数量，在此基础上构建了具有连续可变隔间尺寸的MCVRP模型并使用遗传算法求解。

除了以上多车型MCVRP外，一些特殊的车型组合也在或将被逐渐考虑使用。比如Ostermeier和Huebner[19]（2018）在研究杂货配送车辆路径问题时，考虑传统单隔间车辆和多隔间车辆的混合车队，并且通过实验发现使用混合车队运输与使用单一的单车型或者多车型车队相比能减少30%的成本。另外，随着国家节能减排要求的提出，一些如电动汽车、既能燃油也能用电的动力混合型汽车等新能源汽车的使用将会逐渐兴起和流行，这使得在运输任务中使用的车辆类型将更加多样化，混合配送车队的情形将会更加普遍。所以，将新能源车引入到MCVRP中甚至与传统燃油车组成混合配送车队，将会是未来的一种发展趋势。

2.3  带时间窗的MCVRP

在实际物流配送过程中，当每个顾客要求配送车辆在特定时间段内交付多种产品时，若由于产品特性这些产品不能同时存放在车厢中进行运输而使用传统的单车厢运输，这不仅会造成配送车辆的增加，也存在着顾客在短时间段内频繁取货的缺点，所以采用多隔间车辆来满足客户对多种产品的需求以及满足客户的时间窗要求是很有必要的，对应的带有时间窗的多隔间车辆路径问题（MCVRP with Time Windows，MCVRPTW）也被逐渐研究。

根据顾客点是否严格按照时间窗接受服务，MCVRPTW可进一步分为带有硬时间窗的MCVRP[35-37]（MCVRP with Hard Time Windows，MCVRPHTW）和带有软时间窗的MCVRP[4，15，20]（MCVRP with Soft Time Windows，MCVRPSTW）。其中，在MCVRPHTW中，车辆必须在规定的时间段内到达顾客点并服务，如果早到则需要等待至最早服务时刻才能开始服务;而如果车辆晚于顾客规定的最晚服务时刻到达，则其无法对该顾客点提供服务。在MCVRPSTW中，允许车辆在规定的时间段外对顾客进行服务，但是需要承担一定的时间窗惩罚成本。例如Chen等[37]（2019）研究了城市范围内的MCVRPHTW问题，在建立该优化问题的数学模型的基础上，提出了一种结合模擬退火的混合粒子群优化算法进行了有效的求解;詹红鑫等[15]（2019）针对成品油配送中多车型、多隔间的优化调度难题，以配送成本最小、配送风险最小和软时间窗惩罚成本最小这三个目标建立了成品油配送多目标路径优化模型，并基于邻域搜索的思想提出了求解该多目标问题的多目标变邻域搜索框架。

2.4  需求可拆分的MCVRP

目前，大多数关于MCVRP的研究都是假设每个客户的需求只由一辆车来完成，即考虑需求不可拆分，该类问题求解简单并且对于客户来说不用一次需求多次取货。然而，在实际应用中，相当一部分客户点的需求量可能较大，此时若仍要求每个客户点只由一辆车来提供服务，则势必造成车辆空载率上升，浪费运输资源。此外，还可能出现某客户总需求直接超过了车辆总容量或某客户某产品需求直接超过了对应隔间容量的情况，此时则必须对需求进行拆分才能完成对该客户点的运输任务。因此，在客户接受多次取货时或者使用“客户点的所有需求都已由多辆车运输至临时发放点后再通知顾客取货”的方法，采用需求拆分的运输方式能充分利用车辆装载能力和降低车辆行驶成本。基于以上优点，需求可拆分的MCVRP（Split Delivery MCVRP，SDMCVRP）近年来也逐渐被学者们研究。可以发现，根据客户是否要求每种产品需一次送达，SDMCVRP又细分为“客户总需求可拆分但每种产品只能由一辆车配送[32，36，38-39]”和“客户总需求可拆分且每种产品可由多辆车配送[11]”，后者在拆分上较前者更加完全、纯粹。例如王茜等[38]（2016）在研究多车型MCVRP问题中还假设客户需求可拆分但每种产品只能由一辆车运输，在此基础上构建了该问题的数学模型，并通过将反应机制与导引机制有机结合，提出了一种混合导引反应式禁忌搜索算法予以求解。而张源凯等[11]（2017）针对成品油配送中的多车型MCVRP，进一步放宽需求拆分限制，允许多辆车对每个加油站点的单个油品进行运输，在建立该问题的优化调度模型后，提出了基于C-W节约算法的“需求拆分→合并装载”的车辆装载策略，并综合利用Relocate和Exchange算子进行并行邻域搜索改进的算法用于求解。

2.5  动态MCVRP

在传统MCVRP模型中的信息是静态不变的，而实际物流配送中其实存在着较多不确定因素，比如客户需求变化、交通状况或天气导致的行驶时间波动以及人员或车辆自身等导致的不确定性。为了使得模型更加准确地反应和解决实际问题，有必要建立新的动态MCVRP模型和设计相应的算法对其求解。查阅文献发现，现有的动态MCVRP主要包括具有随机需求的MCVRP（MCVRP with Stochastic Demands，MCVRPSD）和具有随机行驶时间的MCVRP（MCVRP with Stochastic Travel Time，MCVRPSTT）。

对于随机需求，按照需求点的产生和需求量的变化可分为：（1）到达客户点处才能确定需求量的“已知点的随机需求”;（2）配送途中接收某处客户新订单的“随机产生点的固定需求”;（3）最为复杂的“随机产生点的随机需求”。需要注意的是，在MCVRP中考虑随机需求因素时不同于传统VRP，它需要进一步考虑每种产品的随机需求，问题复杂且求解也较难。现有关于随机需求下的MCVRP主要研究第一种随机需求情形，其相对于其他两种较简单一些。例如Mendoza等[40]（2010）将MCVRPSD视为一个有追索权的随机规划问题并采用文化基因算法求解;之后，Mendoza等[41]（2011）又将该类问题描述为两阶段随机规划模型并开发了三种启发式算法进行了求解;Goodson[42]（2015）则针对MCVRPSD设计了计算在先验路径上到达特定客户的初始到达期望时间的方法，并提出了基于循环顺序的模拟退火算法进行了有效求解;王淑云等[3]（2018）在MCVRPSD中还考虑了碳排放，并采用事前估计策略求解随机需求所带来的回程补货问题，并根据概率分布构造了多维冷链品剩余量分布图用以决策可能的前行/回程方案。而对于具有随机行驶时间的MCVRP即MCVRPSTT，其于近年来逐渐被研究，且主要集中应用在冷链物流的多温共配场景中。例如Huang和Lu[43]（2017）在研究冷链产品的多温共配问题时不仅考虑货损率还假设车辆行驶时间服从已知的正态分布，在此基础上建立随机优化模型并使用节约算法（Saving Algorithm）进行了求解;Lu和Wang[44]（2018）针对模糊环境下的多温共配问题，使用三角模糊数来表示行驶时间并建立该问题的模糊优化模型，然后设计了两种离散萤火虫算法进行了有效的求解;徐梅和陈淮莉[45]（2019）针对交通拥堵情况下的多温共配车辆路径问题，使用两客户点之间路段的交通量与该路段的通行能力之比作为判断路段拥堵的决策变量，并进而使用该决策变量计算出通过路段的实际耗时，在建立基于交通拥堵的多温共配优化模型后采用随机自适应遗传算法进行了求解;张济风和杨中华[46]（2020）则针对时变路网环境下的多温区产品配送车辆路径问题，考虑车厢容量限制以及时间窗约束，建立以运输成本、货损成本及制冷成本构成的总配送成本最小为目标的数学优化模型，并设计了模拟退火算法用以求解。

2.6  取送货MCVRP

根据任务特性，MCVRP问题可分为送货MCVRP、取貨MCVRP以及取送货MCVRP。其中，送货MCVRP的研究最多且其主要应用于正向物流中，比如表1中的冷链物流运送不同保温要求的肉类到超市[3]、成品油运输中将不同油品配送到加油站[4]以及便利店杂货运输中将不同货物配送到商店[19]等。其次，取货MCVRP则主要应用于逆向物流[47]中，比如生活垃圾回收行业[48]中使用多隔间车辆前往多个回收点收集不同类别废弃物、家畜收集行业[25]中使用多隔间车辆前往农场收集不同种类动物以及动物奶收集行业[26]中使用多隔间车辆前往各产奶点收集不同动物奶等。而对于取送货MCVRP，它是正向物流和逆向物流相结合，根据客户是否要求同时取送货，其又可分为同时取送货的MCVRP和分别取送货的MCVRP。其中，同时取送货的MCVRP研究的较少，虽然其应用场景在实际物流中存在但不多见，比如便利店杂货运输中可能需要在对某产品进货的同时让厂家把该类已回收或过期的产品也取走（回收的坏产品需要做标记）。目前，只有胡卫等[49]（2016）在研究多温共配问题时结合同时送取货，构建了基于同时送取货的机械式冷冻区隔间多温共配模型，并利用遗传算法进行求解，结果表明与传统冷链专车配送模式相比，多温层冷链配送模式能有效降低成本。而对于分别取送货的MCVRP，它使用取货和送货两种车队来分别对客户进行服务。如Huang等[30]（2015）提出并解决了一个带有随机需求和容量限制的选址路径模型，模型中将车队划分为取货和送货两个车队以形成两套不同的配送路线，之后使用禁忌搜索算法对其进行了求解。

2.7  多目标MCVRP

经典MCVRP仅存一个目标，往往是车辆总行驶距离最短或车辆数最少。而随着现实情况的愈加复杂，需要考虑更多相关因素，这不仅使得MCVRP模型中约束条件增多，其目标函数也变得复杂了。就单目标MCVRP而言，除了考虑最短路径[50]或最少车辆[11]外，还可能进一步与其他甚至多个目标加权组成单目标，比如在带软时间窗的MCVRP模型中考虑违背时间窗的惩罚成本[4]、选址路径问题模型中考虑新建车场费用[30]、冷链物流多温共配问题模型中考虑制冷成本和货损成本[46]甚至碳排放成

本[14]等。需要注意的是，多个目标之间其实往往存在着矛盾或冲突，若只通过单目标加权中调节权值大小的方法来权衡这些目标则较难，并且单目标加权求和只能逼近凸的帕累托面。而要求多个目标在给定区域内同时尽可能最佳的多目标优化问题则直接求解而不存在确定权值的问题，而且其帕累托解集能包含更多有效信息。因此，多目标MCVRP也逐渐被学者们研究，且前期主要考虑的是双目标MCVRP，后期则开始逐渐考虑三目标的MCVRP。例如Sun[51]（2015）建立了多温共配问题的双目标二进制整数规划模型，其目标函数是同时将物流成本以及影响环境的碳排放成本最小化;孙丽君等[16]（2018）分别以总配送成本和车辆间工作量差距为目标，构建了考虑司机工作量均衡的成品油配送的多目标优化模型，并提出了一种新型的Split_Assign算法对第二代非支配快速排序遗传算法（Nondominated Sorting Genetic Algorithm II，NSGA-II）进行改进以用于求解;而詹红鑫等[15]（2019）则针对成品油配送中的多车型MCVRP，以配送成本最小、配送风险最小以及油品准时送达这三个目标建立了成品油配送多目标路径优化模型，并基于邻域搜索的思想提出了求解该多目标问题的多目标变邻域搜索框架。Tsang等[52]（2020）针对冷链物流中的多温共配问题，建立了同时优化行驶时间最小、使用车辆数最少以及客户满意度最大这三个目标的数学模型，并提出一种两阶段多目标遗传算法优化器用于求解。

3  结束语与展望

多隔间车辆路径问题（MCVRP）是一个涉及隔间容量约束、时间窗口、多车型可选、信息动态等的复杂路径规划问题。本文主要是根据其问题特征，把MCVRP问题归纳为7类，并从问题的角度分别进行了综述。鉴于篇幅有限，关于MCVRP求解方法的综述将另文阐述。

随着现代物流中待运产品多样性特征的出现，MCVRP的应用场景也在逐渐增加，与此同时，一些新的运输需求也将被提出，相应的MCVRP新扩展问题需要被研究以满足相应的需求。本文建议未来的研究与发展可着重以下五个方面：（1）使用新型交通工具，比如电动车、可替代燃料车，甚至无人驾驶车等;（2）软硬时间窗共存，即部分客户是硬时间窗要求而其他客户是软时间窗要求;（3）需求点随机产生，即在配送过程中突然随机产生需求点，是就近优先配送还是原计划配送后回程取货;（4）客户服务优先级，即如何对不仅有多种产品需求且不同客户间可能存在不同优先级的客户群体进行合理配送;（5）更多目标函数，即当模型中出现四个甚至更多个目标的MCVRP时，如何求解该类高维多目标优化问题以及如何对其得到的目标前沿进行可视化。

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