论电路之用：电路理论在非电学科中的应用

田社平， 孙 盾， 张 峰

(1. 上海交通大学 电子信息与电气工程学院， 上海 200240；2. 浙江大学 电气工程学院， 浙江 杭州 310027)

0 引言

电，无处不在，无时不在。电路，作为电的应用形式之一，深刻地改变了人类社会生活。电路在应用时非常方便，又使得电路得到了极为广泛的应用。因此在电路理论课程教学中，如何强调电路应用的形式、特点、作用，以展现电路应用的魅力，如何使这一展示过程有机地融合到课程教学之中，是一个值得探讨的课题。

电路理论的内涵十分丰富，它不仅极大地指导和推进电路应用实践，而且电路理论中有很多原理和方法具有普适性，它们对其他的非电学科也适用的。这些原理和方法在某种程度上也起到了推动非电学科发展的作用。

不可否认，电路理论的教学过程，也是电路理论的应用过程。尽管如此，如果能够在教学中适当插入一些电路理论在非电学科中应用的例子，则对加深学生对电路理论的理解，开阔学生的视野，定会有所助益。本文结合笔者的教学和科研实践，讨论电路理论在其他学科领域的应用实例，以就教于大家。

1 机电相似理论及应用

某些线性非时变集中参数电路模型与经典质点动力学模型之间可以建立一一对应关系[1]。这种对应关系就构成了机电相似理论的基础。

1.1 机电相似规则

在电路系统中，基尔霍夫定律表明，对于任意集中参数电路中的任一节点，有∑fk=0；对任一回路，有∑uk=0。而在机械系统中，牛顿第二定律可表示为∑Fk=ma，如果将-ma定义为惯性力，则牛顿第二定律又可表示为∑fk=0，亦即一个质点在任意时刻所受的合外力与惯性力之和为零。

从上述的分析中可以看到，描述集中参数电路系统的基尔霍夫定律与描述机械系统中质点运动的牛顿定律在形式上是一致的。因此，以此为依据，可以很容易得到电路系统与机械系统中相似的元件与物理量。

机械力学量和电学量可采用力-电压相似规则，也可采用力-电流相似规则。如果采用力-电压相似规则，则可得到机械动力学规律和电路规律的相似关系如图1所示，由此可得机械力学量和电学量之间的对应关系如表1中第1、2列所示。采用力-电压相似规则时，机械结构的接点(同一刚体上所有点都认为是同一接点)对应电路的回路或网孔。

图1 力-电压相似规则

类似地，也可采用力-电流相似规则，得到机械力学量和电学量之间的对应关系如表1中第1、3列所示。采用力-电流相似规则时，机械结构的接点对应电路的节点。

表1 机械力学量和电学量对应关系

机电相似理论建立起了电路系统和机械动力学系统线之间的联系，它可以让我们能够应用电路理论来分析机械动力学系统。

1.2 机电相似理论的应用实例

图2(a)为一机械动力学系统，其接点数为2，对应于坐标x1、x2。按照力-电压相似规则，该系统包含两个力回路：f[u]-m1[L1]-c1[R1]-c2[R2]；m2[L2]-k[1/C]-c1[R1]。画出对应电路如图2(b)所示，可列写出电路网孔方程为

(b) 力-电压相似电路

(a) 机械动力系统

(1)

注意到式(1)中的第二式实际上是二阶微分方程，因此，整个系统的阶数为3。如果给定电路的激励u(t)以及网孔电流的初始值i1(0+)、i2(0+)、[di2(t)/dt]|t=0+，就可以求出网孔电流的响应，进而求出其他电路变量的响应。其中，[di2(t)/dt]|t=0+满足

(2)

由机电相似理论，可以对应写出图2(a)系统的动力学方程为

(3)

式中，v1=dx1/dt，v2=dx2/dt。同样，为了求得v1、v2的解，必须给出v1、v2的初始值、[dv2(t)/dt]|t=0+以及激励力f的表达式。

类似地，按照力-电流相似规则，相似电路应有两个独立节点，第一个独立节点连接电流源i[f]、电容C1[m1]、电导G1[c1]及G2[c2]；第一个独立节点连接电容C2[m2]、电感L[1/k]、电导G1[c1]。画出相似电路如图2(c)所示，可列写出电路节点方程为

(c) 力-电流相似电路图2 机电相似理论的应用

(4)

由机电相似理论，可以对应写出图2(a)系统的动力学方程，与式(7)完全相同。可以看出图2(b)、题2(c)两个电路互为对偶，式(1)与式(2)互为对偶。

(7)

构建一个电路要比构建相似的机械动力系统容易得多，而且具有极高的成本优势和时间效益。因此，机电相似理论在机械动力系统的实验研究中具有广泛的应用。

2 2相量法及应用

相量法由德裔美国电机工程师施泰因梅茨于1893年创立，它是计算交流电路的一种实用方法。随着电路理论的发展，相量法已经成为电路理论的重要内容，并在电路分析和设计中得到极为广泛的应用。相量法的应用还不止于此，它对任何正弦激励的线性非时变系统是普适的，因此，相量法在其他非电工程领域也得到了广泛的应用。相量法中的阻抗、导纳、网络函数等概念在机械振动、机电一体化、热力学系统、控制系统等领域都是常见的概念[2, 3]。例如，对图3所示的单自由度振动系统，其运动方程为

图3 单自由度振动系统

(5)

由式(4)就很容易理解在机械振动理论中所定义的机械阻抗、机械导纳、传递函数(网络函数)的含义。图3系统所对应的机械阻抗为

Z(jω)=-ω2m+jωc+k

(6)

这是因为上述定义所给出的表达式具有阻止系统振动的性质。这里机械阻抗的定义是以位移作为响应的，称为位移阻抗。在机械振动理论中也可以速度或加速度为响应定义阻抗，分别称为速度阻抗和加速度阻抗。它们分别见表2所示。机械阻抗的倒数则被定义为机械导纳。而传递函数(对应电路理论中的网络函数)则可表示为

正如电阻电路的分析方法可以类推至电路的相量域分析，电路理论的原理和方法借由相量法亦可在工程领域得到很好的应用。下面举例说明。

如图4(a)所示，某设备置于基础之上，构成一两自由度振动系统，基础受到一正弦振动力的激励。忽略m1、m2的重力作用，试分析设备的振动速度响应。

按照力-电压相似规则，作出系统阻抗模型图如图4(b)所示，图中各阻抗为

(8)

得到阻抗模型图之后，就可以应用电路理论的方法来进行分析。例如，运用戴维南定理，可得等效阻抗图如图4(c)所示，其中

(9)

由图4(c)等效阻抗图，不难求得设备的振动速度为

(10)

由上述分析过程可以看出，只要作出振动系统的阻抗图，接下来的分析就是相量法的应用。当然，也可按照力-电流相似规则作出阻抗图，再进行分析[4]。

(a)两自由度振动系统

(c)等效阻抗图图4 两自由度振动系统示意图

3 互易定理在振动分析的应用

电路理论中的互易定理由诺贝尔物理学获得者瑞利爵士于1877年首次提出[5]，该定理在通信领域具有广泛的应用，是电路理论的重要定理之一。该定理指出：对互易电路，如果互易激励和响应的端口，则转移函数不变。例如，将激励端口的电压源和响应端口的电流表互换位置后，电流表的读数不变。

在其他工程系统中也存在具有互易特性的系统，因此电路的互易定理可类推应用于这些系统的研究之中。在机械系统中，互易定理可以表述为[6]：对于线性机械结构，j处作用的单位力在i处产生的位移，等于i处作用的单位力在j处产生的位移，它也称为位移互等定理。互易定理在机械系统结构分析、动力学研究中具有广泛的应用。

如图5所示为通过弹簧耦合的三质量振动系统[7]，在力P1、P2、P3的作用下，m1、m2、m3产生的位移分别为x1、x2、x3，则位移响应与力激励之间满足

图5 通过弹簧耦合的三质量振动系统

(11)

式(11)中的矩阵称为柔度影响系数矩阵，其中的参数fij，表示仅在位置j施加单位力时，在位置i产生的位移。例如，对f12，有

(12)

显然，由互易定理易知，柔度影响系数矩阵是一对称矩阵。基于这一结论，在通过实验法求柔度影响系数矩阵时，只须求出参数fij(i≤j)即可，其他参数可直接由互易定理求得，从而节约了实验成本。

4 结语

电路作为电的应用形式之一，具有极为广泛的应用，它促进了科学和技术的发展，也改变了人类的生活。我们在进行电路课程教学时，既要让学生掌握电路理论的基本概念、基本原理和基本方法，同时还应让学生了解电路在非电领域的应用；既要让学生感受到电路理论的美与趣，同时还应让学生感受到电路之用的魅力。本文从电路应用的角度出发，略举电路理论在非电学科中应用的若干例子，如果将其融入课程教学，可以让学生领略电路理论的广阔应用场景。