基于多项式优化的车辆自主换道轨迹规划＊

施卫，夏涛

（江苏理工学院 汽车与交通工程学院，江苏 常州 213001）

前言

车辆换道在驾驶过程中是非常普遍的，数据表明交通事故中有一部分的原因就是车辆进行车道更换引起的。因此，对于车辆进行自主换道的研究就显得十分重要了。换道轨迹的规划是车辆能否自主换道的基础和关键，精准合理的换道轨迹有助于车辆安全平稳地完成换道操作。目前国内外学者对换道轨迹规划进行了许多研究，Margolis 等人[1]考虑直接施加转弯和制动力的点质量简化模型，最优控制用于求解换道平均曲率半径最小化问题，从而规划出一条避免碰撞的换道最佳路径。张志超等人[2]通过将车速、换道的横向距离和横向最大加速度作为参数，创新地设计出X-Sin 函数换道轨迹曲线，将得出的轨迹与其他换道轨迹进行比较，X-Sin 换道曲线拟合度更高。长安大学王畅等人[3]提出七次多项式模型来对车辆换道轨迹进行规划，结合换道时初始和结束边界条件对初始表达式进行运算，得到换道轨迹的函数表达式。

本文在比较其他换道轨迹方法的基础上，建立基于五次多项式的换道轨迹规划模型，根据换道初始时刻和结束时刻车辆状态量进行轨迹求解运算，得出一条光滑连续且符合实际的轨迹曲线。同时考虑到换道的舒适性和效率性，建立了轨迹优化函数，通过引入k1 和k2 两个权重系数进行分析，得出了不同权重比下的换道最优时间，使得车辆的换道轨迹更加优化。在Carsim/Simulink 中对建立的换道轨迹模型进行仿真验证。

1 基于多项式的换道轨迹模型设计

1.1 换道场景假设

由于城市交通道路环境复杂多变，给研究带来很大的困难，故本文对交通道路环境作出了简化，只考虑交通流密度比较低的城市双车道环境下的某些情况，不考虑行人、障碍物及红绿灯对自主换道的影响，从而减小了研究难度。如图1 就是简化下的一个普遍的城市道路双车道换道场景。

图1 城市双车道换道场景示意图

如上图所示，B 车为自主换道车辆，B1 和B4 分别为当前行驶车道上前车和后车，B2 和B3 分别为目标车道上的前车和后车。当B 车满足换道条件下，从当前行驶车道左转驶入目标车道，正好行驶到车B3 和车B2 之间，从换道开始到换道结束没有与任一车辆发生碰撞，则换道完成。

1.2 换道轨迹数学模型建立与求解

如图2 所示为换道车辆的换道初始时刻和结束时刻的状态图，车辆从图示初始状态位置换道到结束状态位置，以初始位置车辆的质心为坐标原点，x 轴正方向为纵向行驶方向，y 轴正方向为横向行驶方向，假定车辆在车道中行驶时都是沿着车道中心线，并且车辆在换道过程中横向运动和纵向运动相对独立，互不影响。

图2 车辆换道场景状态变化图

换道初始时刻的车辆状态的各个参数可以由车载传感器获取，其参数为：初始纵向位置x（t0），初始横向位置y（t0），初始纵向速度，初始横向速度，初始纵向加速度初始横向加速度初始状态的各个参数值为：

换道结束时刻的车辆状态的各个参数是由车辆自身属性、道路条件和目标期望共同决定的，其参数为：结束时纵向位置x（te），结束时横向位置y（te），结束时纵向速度结束时横向速度，结束时纵向加速度，结束时横向加速度。

结束状态的各个参数值为：

式中：te为换道结束所用时间，Xe为车辆换道结束时纵向总位移，vxe为换道结束时的纵向速度，h为换道横向总位移。

本文选取五次多项式函数来描述车辆换道的横纵向运动，其函数为：

式中：x（t）、y（t）分别为在t 时刻车辆的纵向行驶距离和横向行驶距离，ai、bi（i=0，1，2，3，4，5）为多项式系数。

将式（1）和式（2）得到的12 个已知条件代入到式（3）中可得：

为了求解式（3）和（4）的轨迹函数，用矩阵来进行计算，可以简化运算过程。令a=[a5a4a3a2a1a0]T，b=[b5b4b3b2b1b0]T，X=[0vx00Xevxe0]T，Y=[0 0 0h0 0]T。

由a=M-1X，b=N-1Yb，可求解到换道轨迹函数：

由换道轨迹（5）可以发现，整个换道过程换道轨迹与换道总时间te、换道横向总位移h、初始纵向速度vx0和结束时的车辆纵向速度vxe有关。由于车辆横向换道总位移即车道宽度h取得是定值3.75m，并且因为换道过程换道时间较短，这里为了简化分析，假定换道过程中车辆的纵向速度不发生改变，即vx0=vxe，所以现在只有换道总时间和车辆的纵向速度影响着换道轨迹形状。

1.3 模型仿真分析

运用Matlab 对两种情形的换道轨迹进行研究：换道时间一定，不同的车辆纵向速度对轨迹的影响；车辆纵向速度一定，不同的换道时间对轨迹的影响。

（1）换道时间一定，这里取te=4s，纵向车速分别取15m/s，20m/s 和25m/s 三种情况。

（2）当纵向速度一定，这里取vx=20m/s，换道时间te分别取4s，5s 和6s。

由图3 可以看出，当换道时间一定时，车辆以不同的纵向速度换道时，其轨迹也是有差别的，速度越大它的整体轨迹曲率就越小，反之越大，换道曲率过大会导致车辆发生侧滑等问题，从而影响换道的横向稳定性。从图4 和5 可以看出，在纵向速度一定的情形下，不同的换道时间对换道轨迹和车辆横向加速度影响较为明显。换道时间越短，车辆的横向加速度变化就越大，换道轨迹的曲率也就越大，所以选取合适的换道时间不仅对换道轨迹有一定的影响，也对车辆横向加速度产生比较大的影响，并且会影响换道的稳定性与舒适性。

图3 换道时间一定，不同纵向车速的换道轨迹图

图4 纵向速度一定，不同换道时间的换道轨迹图

2 轨迹优化控制器设计

通过建立五次多项式车辆的换道轨迹，从而得出了不同的换道时间对车辆的横向加速度[4]有比较大的影响，而换道车辆的横向加速度对换道的舒适性有很大的关系，换道时间的长短同时也影响着换道的效率。由图5 可知，换道时间越短，虽然换道的效率提高了，但横向加速度的变化越陡，舒适性就会降低；相反换道时间越长，换道效率会降低，但横向加速度变化就越平缓，舒适性就会增加。因此考虑换道舒适性与效率性[5]，建立换道轨迹评价函数，对换道时间和横向加速度进行权衡，从而选取合适的换道时间。建立换道时间和横向加速度的评价函数为：

图5 换道横向加速度随时间变化图

式中：te为换道完成时间，temax为换道完成的时间最大值，ay为车辆换道横向加速度，aymax为车辆自身所能达到的最大横向加速度。

同时考虑到舒适性和效率性，在式(6)中加入两个权重系数k1和k2，且k1+k2=1，可以通过调整k1和k2之间的比值来权重换道时的舒适性和效率性。

通过对轨迹评价函数（7）进行最小值求解可以得到轨迹规划优化函数：

在换道时k1和k2的大小受到车辆之间的纵向安全距离的影响，当换道车辆与附近车辆的距离较小时，则此时应该着重考虑效率性，k2的比重就会大些；反之当距离较大时，应当着重考虑舒适性，则k1的比重就会大些。k2的取值由换道车辆B 与周围车辆间最小换道安全距离与初始纵向距离的比值来确定。

通过车辆自身的参数和道路条件，得到轨迹优化函数的约束条件：vx＜vxmax，vy＜vymax，|ay|≤aymax，0＜te≤temax。

3 仿真实验分析

3.1 仿真参数设置

3.1.1 车辆参数设置

主换道车辆B 的参数如表1 所示，初始车道前车B1 的速度为16m/s，位置在换道车辆前方30m；目标车道前车B2的速度为22m/s，位置在换道车辆左前方35m；目标车道后车B3 的速度为20m/s，位置在换道车辆左后方30m。

表1 车辆部分参数

3.1.2 轨迹规划参数设置

横向位移0≤y≤3.75m，横向加速度0≤ay≤0.4g m/s2，换道时间0＜te≤6s。

3.2 仿真实验与分析

设置换道车辆Toyota_Prius（B）纵向以20m/s 的速度进行换道。

图6 车辆换道过程仿真动画

如图7 所示为不同的权重系数k1和k2之比下的轨迹优化函数J 随时间的变化曲线，从图中可以发现优化函数J 曲线的最小值所对应的时间为该权重比下的最优换道时间。k1反映的是换道时的舒适性，而k2反映的是换道时的效率性，由图所示，当权重比k1/k2的值越来越大时，函数J 的最小值所对应的最优换道时间也在随之增大，当舒适性的比例在不断增大时，效率性相应地减少，换道时间也就更长，与实际情况相符。

图7 不同权重比下优化轨迹函数J 随时间变化图

图8 为相同换道环境下，采用优化模型后的换道轨迹与非优化的换道轨迹对比图。由图可以发现，优化后的换道轨迹在完成换道时的纵向距离缩短了，换道时间也相应地减少了，表明了优化后的换道模型在考虑舒适性和效率性的同时，对于道路上的突发情况，可以更快地作出反应，从而进一步保证了换道的安全性。

图8 优化轨迹与非优化轨迹对比图

4 结论

由上述仿真实验中，可以发现本文提出的轨迹规划方法可以较好地拟合车辆的换道轨迹，通过建立轨迹优化函数使得换道更加舒适和安全，对之后的无人驾驶换道技术奠定基础。