微分博弈视角下政府对中低端养老地产投入优化研究

刘珈辰，马乂琳

(中国民用航空飞行学院 机场工程与运输管理学院，四川 广汉 618307)

国家统计局公布的数据显示，2019年全国65岁以上老年人口达到1.76亿，占总人口比重的12.57%，老年抚养比增长至17.8%，居民人均预期寿命达到77.3岁，未来全国人口老龄化将进一步加剧。根据《大健康产业蓝皮书：中国大健康产业发展报告》预测，2050年老年人口总消费为61.26万亿元，是2020年的8.73倍。随着社会养老压力和养老需求的持续增加，养老地产作为一种具有巨大潜力的产业不断发展壮大，各大房地产企业、保险公司纷纷进军养老地产行业。养老地产不是老年住宅，是指以城市养老社会机构或房地产开发商提供的养老住宅为载体，在为老年人提供适老化居住环境的同时，提供生活照料、医疗护理及精神慰藉等服务[1]，只有在满足居住设施的适老化的同时满足老年照护服务，才能被称之为养老地产[2]。

相比欧美国家，中国的养老地产行业发展仍处于早期阶段，发展尚不成熟，主要表现在两个方面。一方面，由于养老地产项目投资大、资金回收周期长、盈利能力不强，国内私营养老地产项目定价较高，主要针对收入和消费水平较高的高端市场客户，对于中低端市场客户的开发还较少，仅能满足较小部分的市场需求，供给严重不足；另一方面，国内养老地产项目大多都是重建设轻运营，重地产轻养老，特别是中低端养老地产项目，存在“挂羊头卖狗肉”的现象，很多项目采用全部出售项目房屋的方式快速回笼资金，不重视老年人入住后的服务质量，导致老年人居住满意度普遍较低。同时，由于资金雄厚的大型房企和保险公司大多耕耘于高端养老地产项目，中低端养老地产项目服务供应商又不愿意加大资金投入，导致收入和消费水平不足的老年人难以享受到优质的养老服务。由此可见，目前养老地产的主要供需矛盾在于中低端养老地产服务供给和消费者满意度的优化。

中低端养老地产的高质量发展需要政府的深度参与。从公平的视角看，满足社会养老需求，解决中低收入老年人群体的养老问题是政府不容推却的责任，政府必须提供优质的养老公共服务，有必要建设一批养老服务设施，甚至主导投资建设运营中低端养老地产项目。从效率的视角看，政府的人力、财力有限，社会资本才是中低端养老地产发展的主要力量。政府通过土地供应、税收优惠、成本补贴、购买服务等政策激励和引导社会资本参与中低端养老地产并改善服务质量是推动中低端养老地产发展的根本手段。目前学术界对政府参与养老地产项目的研究已经有一定的成果。毛艳华[3]通过博弈论的方法研究了政府在购买养老服务时的监管问题，提出了政府在支持养老产业发展的同时要加大服务监管力度。唐铁军[4]认为应该从宏观方面理清财政补助和价格补偿方面的关系后通过政策完善养老服务竞争机制。傅沂等[5]基于Van Damme模型，构建了政府和养老地产开发商的两阶段演化博弈模型，讨论了政府和开发商的行为策略选择。但是，上述研究主要集中在政府在养老地产项目补贴、监管和完善竞争机制等方面如何发挥作用等问题，并未区分政府不同决策行为对养老地产服务供应商和消费者的影响，同时也缺乏对中低端养老地产项目的研究。基于此，本文将重点研究政府不同决策行为如何影响消费者满意度以及中低端养老地产服务供应商和政府收益，并分析政府如何优化参与中低端养老地产的投入行为。

政府行为不仅会影响中低收入养老地产项目消费者的居住满意度，也会对中低端养老地产服务供应商行为产生影响，具体如图1所示。将政府投入行为分为直接投入行为和间接投入行为。直接投入行为是指政府对养老地产项目周边环境进行改善，包括引入医院、建设公园绿地、建设老年文化设施、改善交通出行条件等，为老年消费者提供更好的居住环境，提高老年消费者的居住满意度。间接投入行为是指通过激励中低端养老地产项目服务供应商改善中低端收入老年人的养老服务质量。本文主要将政府和中低端养老地产服务供应商作为研究对象，采用微分博弈的方法，分别讨论在政府对中低端养老地产项目周边环境进行直接投入下，两种不同间接投入对中低端养老地产项目的影响，在满足中低端养老地产项目的消费者居住满意度的同时优化政府的投入决策，以期为政府引导鼓励中低端养老地产项目的发展提供理论支持。

图1 政府投入行为对消费者居住满意度的影响路径

1 模型的基本假设

中低端养老地产服务供应商的服务优化会增加养老地产消费者的需求，但服务优化的同时也会增加成本，因此，中低端养老地产服务供应商是否会优化服务与自己是否能取得更多的收益有关。

假设1：中低端养老地产项目消费者居住满意度由养老地产项目服务供应商服务努力程度以及政府对养老地产周边环境改善、医院建设等直接投入有关，是一个动态变化的过程，因此，该中低端养老地产项目消费者居住满意度的动态方程为

(1)

式中：α为中低端养老地产服务供应商的服务努力系数；β为政府对于养老地产周边环境建设规划等直接投入的努力系数；u(t)和v(t)分别为中低端养老地产服务供应商和政府的努力程度；δ表示不利因素对消费者满意度的影响。

假设2：当中低端养老地产服务供应商提高服务努力程度时，成本也会随之增加，政府提高直接投入行为的努力程度时，成本也会随之增加，养老地产服务供应商和政府直接投入行为的成本函数分别为

(2)

(3)

假设3：中低端养老地产项目的需求量与消费者居住满意度和价格相关，居住满意度越高，价格越低，该中低端养老地产项目的需求越大，因此，需求函数为

Q(t)=Q0+θq(t)-πP

(4)

式中：θ为服务满意度对需求影响系数；π为价格对需求影响系数，政府对中低端养老地产项目提供成本分担补贴或者购买服务时会要求服务供应商价格在一定的范围内变化，假定价格在博弈期间是不变量；Q0为初始需求量。

假设4：讨论政府的两种间接投入对养老地产服务供应商以及消费者居住满意度的影响，分别是对中低端养老地产服务供应商的成本分担以及购买中低端养老地产服务供应商的服务。

假设5：在政府和中低端养老地产服务供应商的博弈过程中双方具有一个相同的贴现率ρ。

假设6：模型中所有参数都是与时间无关的常数，可以通过调研获得。

2 模型的建立及求解

2.1 政府对中低端养老地产服务供应商成本分担情形下的博弈模型

政府成本分担情形下，中低端养老地产服务供应商追求自身盈利最大化，政府追求经济效益和社会效益最大化，参考牟玲玲[6]的研究，中低端养老地产服务供应商的努力程度增加了政府的间接社会效益，而养老地产项目服务需求量的增加提高了服务供应商的直接收益，因此中低端养老地产服务供应商和政府的目标函数分别为

(5)

(6)

式中：M1为中低端养老地产服务供应商的边际收益；M2为对中低端收入老人提供优质服务的社会效益影响系数。

根据最优控制解法，设V1、V2满足HJB方程分别为

(7)

(8)

将上述方程右端最大化得

(9)

(10)

将式(9)、式(10)代入式(7)、式(8)，整理得

(11)

(12)

由式(11)、式(12)的微分方程特点可知，关于q的值函数为一阶线性方程，因此，设

V1(q)=b1q+d1,则V′1(q)=b1

(13)

V2(q)=b2q+d2,则V′2(q)=b2

(14)

将式(13)、式(14)代入式(11)、式(12)，运用待定系数法，解得

(15)

(16)

(17)

(18)

将式(15)和式(18)代入式(9)和式(10)，得中低端养老地产服务供应商的最优努力程度和政府的最优直接投入行为努力程度分别为

(19)

(20)

再将V′1(q)、V′2(q)、uN、vN代入式(1)，可得该中低端养老地产老年人居住满意度最优轨迹为

qN=λ+(q0-λ)e-δt，λ=(auN+βvN)/δ

(21)

将式(15)～式(18)代入式(13)、式(14)，得该中低端养老地产服务供应商和政府的最优收益分别为

(22)

(23)

2.2 政府购买中低端养老地产服务供应商服务情形下的博弈模型

根据《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，地方政府应该对“三无老人”给予一定的救助，不少地方政府为“三无老人”提供了养老服务费用。假如养老地产项目中有一部分服务由政府购买后免费提供给了“三无老人”，费用为E，中低端养老地产服务供应商和政府的目标函数分别为

(24)

(25)

按照2.1节相同解法，可得中低端养老地产服务供应商的最优努力程度和政府的最优直接投入行为努力程度分别为

(26)

(27)

可得该中低端养老地产老年人居住满意度最优轨迹为

qN=λ+(q0-λ)e-δt，λ=(auN+βvN)/δ

(28)

养老地产服务供应商和政府的最优收益分别为

(29)

(30)

3 算例分析

通过相关调研以及文献查阅，对模型中出现的参数赋值如下：

α=0.2,β=0.4,δ=0.1,θ=0.4,π=0.2,E=1,ku=0.6,kv=0.5,q0=2,ρ=0.1,w=0.2,M1=0.3,M2=0.4。

通过MATLAB对问题进行分析，由图2可知，随着政府成本分担比例的增大，中低端养老地产服务供应商努力程度逐渐提高，而随着政府购买服务投入的增大，服务供应商努力程度并没有变化，因此，相比购买服务的方式，中低端养老地产服务供应商的努力程度对成本分担方式更加敏感。

图2 政府不同间接投入下中低端养老地产服务供应商努力程度

由图3可知，在政府成本分担情形下该养老地产项目的老年人居住满意度最优轨迹大于政府购买服务的情形。在成本分担下，政府投入与中低端养老地产服务供应商的成本投入相关，服务供应商成本投入越高，同样投入比例下政府投入总额越高，这在一定程度上可以激励养老地产服务供应商加大成本投入，改善老年人的服务水平。在政府购买服务的情形下，因中低端养老地产服务供应商在政府方获得的补贴和自身服务努力程度不相关，养老地产服务供应商改善服务的动力不足，因此消费者的居住满意度不如成本分担情形。

图3 政府不同间接投入下消费者最优居住满意度

由图4和图5可知，在政府直接投入相同且间接投入总额一致的情形下，政府分别采用成本分担和购买服务两种决策行为时中低端养老地产服务供应商和政府的效益存在差别，且成本分担情形下中低端养老地产服务供应商和政府的效益要大于购买服务情形。

图5 政府总投入相同时不同间接投入下的政府收益

接下来对相关参数进行灵敏度分析，由于篇幅有限，仅对参数β进行讨论。由图6可知，在同一时刻，无论是在成本分担还是购买服务行为下，老年消费者居住满意度都随着政府直接投入努力系数的增大而增大。表明老年消费者居住满意度对政府直接投入努力越敏感时，即政府的直接投入努力越容易转化为老年消费者满意度时，对提高老年消费者长期居住满意度的影响效果越好。

图6 参数β对老年消费者最优居住满意度的影响

4 结论及建议

政府对养老地产项目的投入分为直接投入行为和间接投入行为，将间接投入行为分为政府成本分担和购买服务两种情形，讨论了在政府对中低端养老地产项目周边环境进行直接投入下，两种不同间接投入对中低端养老地产项目影响，在满足中低端养老地产项目的消费者居住满意度的同时优化政府的投入决策。通过研究，得到如下结论：

1)相比政府购买服务，成本分担更能够促使中低端养老地产服务供应商提高服务努力程度。

2)政府成本分担情形下中低端养老地产老年人居住满意度轨迹优于政府购买服务情形。

3)当政府投入一定时，成本分担情形下无论是政府效益还是中低端养老地产服务供应商效益都大于购买服务情形。

因此，政府应尽量采用成本分担的模式对养老地产项目进行支持。在实际应用中，存在一部分“三无老人”养老的具体问题，需要政府直接购买服务，此时政府应该加强对中低端养老地产服务供应商服务的监管，规定服务供应商的最低服务标准，以避免政府对中低端养老地产服务供应商的投入没有达到激励养老地产供应商提高服务的情形。

4)老年消费者满意度对政府直接投入越敏感时，对提高老年下消费者长期居住满意度效果越好。因此，政府在选择直接投入项目时，应充分考虑老年人的具体需求，同时，还要根据养老地产服务项目的具体情况注意投入的重复度问题，以增大投入影响系数。比如，养老地产项目本身比较大，环境比较好，老年人中不能自理的比例较多，政府此时对周边环境改善的效果就没有引入医院对该项目老年消费者居住满意度影响大。