核心素养导向下的“图形新定义”试题的命制与思考

李淑琴

【摘要】“图形新定义”试题是中考数学试卷中出现的一类新题型.这类题型因为其独特的特点，受到中考试卷命题专家的喜爱.文中主要就对核心素养导向下的“图形新定义”试题的命制进行探讨，希望可以为该类试题的命制提供借鉴.

【关键词】试题;命题;图形新定义;中考

近年来，随着课程的不断改革，在中考数学试卷中出现了一类新的题型——“图形新定义”试题.这类试题情境设计新颖、题型创新、巧思妙设，对学生考查的背景相对公平，受中考试卷命题专家们的喜爱.该类试题按照一定的条件（规则）给出一个学生从没见过的图形定义，要求学生认真阅读理解定义（概念），通过类比学习，进行知识的迁移，探究并解决所提出的问题.这类试题的特点在于考查学生自主学习能力、图形的积累经验、逻辑推理能力;考查教师平时教学中是否让学生经历自主学习、探究新知、应用新知来获取新知识的数学活动过程.纵观近几年的数学试卷，发现新定义试题如果在选择题或填空题中，一般也是后面一两题，难度系数比较大;如果是作为解答题出现，题目偏长，也是难度系数大的压轴题，所占分值也较多.很多学生看到解答题中的材料阅读题就感到没信心，自动退缩，从而导致无法认真静心阅读材料，就很难从材料中发现性质和规律等.这是中考中的一大失分点.

新定义试题一般有以下几种：（1）定义新运算;（2）规律题型中的新定义;（3）探索题型中的新定义;（4）阅读材料题型中的新定义;（5）定义初、高中知识衔接新知识;（6）定义新概念.因此，教师在平时教学时，应注重学生的数学阅读理解能力的培养，在平时练习中有意识地添加一些阅读型题型，指導学生在阅读时用笔画出关键字词，寻找有利条件，找出规律，养成良好的数学阅读习惯.有一些新定义试题会给出适当的例子，引导学生懂得在例子中找出原理和规律，学会归纳“例子”提供的方法，采用类比、模仿等方法进一步解答.

本文将通过本人命制的一道“图形新定义”试题及获奖的历程，谈谈对命制“图形新定义”试题的思考与过程，以求教于同行.

一、试题及评析

例1 定义：△ABC中，若线段BM与CN交于点O，且满足∠A+∠NOM=180°，则称BM，CN为△ABC的关联线.

（1）特殊验证：如图1所示，∠A=60°，BM与CN分别平分∠ABC与∠ACB.求证;BM，CN为△ABC的关联线.

（2）模型应用：如图2所示，BM和CN为△ABC的关联线.求证：BM·AC=AB·CN.

（3）拓广延伸：如图3所示，四边形ABCD中，AB//CD，点E与点分别在AB和BC上，DE，AF交于点G，满足∠B+∠EGF=180°，问：AB·DE=BC·AF是否成立？请说明理由.

解题思路分析 （1）中利用特殊角度，及相关的角平分线的性质求出∠MON=120°，从而得到∠A+∠MON=180°.

（2）中利用关联线的定义，得出∠ANC=∠BMC;由结论想到构建三角形相似.在已知一组对角相等的情况下，想到分别过点B，C作垂直来构建直角三角形相似.再利用等面积法，达到线段之间的转化.从（1）到（2），体现了从特殊到一般的过程.

（3）由三角形转为四边形，学生自然而然地类比（2）的学习方法及探究过程，先进行角的转化，得到∠AED=∠BFA，再分别过点A，B作垂直，构建∠AED，∠BFA所在的直角三角形相似.借助结论中提到AB，BC，需构建这两线段所在的三角形全等，从而得出结论.

试题评析 本题在三角形的基础上，模仿三角形中线的定义，重新定义了一种教材中没有出现过的线段——三角形的关联线.通过研究其概念、性质，类比学习教材中学习图形性质的方式，先学习概念，再研究其性质，最后学会判定的数学研究的学习活动过程.本题目设置了三小题，试题难度层层上升.通过本题，重在培养学生转化与化归、三角形相似的判定与性质、从特殊到一般、类比学习、数学建模等初中数学重要思想，发展学生在复杂抽象的情境中建立严谨的逻辑思维及进行合情推理的思维认知及数学能力.

二、命题思考

余文森教授在《核心素养导向下的课堂教学》中提到，教师在平时教学中应渗透核心素养的培养，在核心素养导向下，使学生养成积极探索、自主学习、主动探究的学习习惯.而通过中考数学中“图形新定义”试题的导向作用，能有效地检测教师在教学中是否引导学生对数学对象的本质问题进行思考.此题的命制过程，处于以下几点思考：

（1）选好题材，下好图形定义

在选取教材题源时，首先考虑教材中的几何定义、定理等进行合理的条件、结论互换形成新的性质或者定理，或者在原有的几何结论中添加限制条件，得出新的结论，这样的题源既源于教材又高于教材.实际上，在教材中有很多丰富的、有探究意义的数学活动、实验与探究，这都是我们命制题目时可选取的好题源.

编制这道中考模拟题的灵感来自于2018年江苏苏州二模的一道试题，原题是这样的：

如图4所示，AD是△ABC的角平分线，且满足AD2=DB·DC，我们称AD是△ABC的比例中项线.

如图5所示，△ABC中，AB=AC=2，AD是△ABC的比例中项线.求BC的长;

如图4所示，AD是△ABC的比例中项线，设k=AB·ACAD2.问k的值是否为定值，若是定值，求出k的值.若不是，说明理由.

众所周知，三角形中两内角的平分线的夹角（锐角）等于第三个内角的一半与 90°的和.由此，本人从原结论中受到启发，由“两个内角的平分线”改为“在三角形内部相交的任意两条线段BM与CN”和满足条件“∠A+∠NOM=180°”，就下了一个新的定义“三角形的关联线”.

（2）巧思妙设，创设问题情境，突出数学思维过程

有了新的定义，就可以围绕新定义设置问题了.教材中通过学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决相关的问题来巩固所学知识.为了更好的激发学生原有的数学知识经验，本人对“三角形的关联线”的研究也应该按照这样的思路进行.本试题通过“特殊验证”“模型应用”“拓广延伸”三个问题的设置，揭示了学习数学本质的一般历程：从特殊到一般，从基础图形到四边形的延伸.学生解题时借助定义中“∠A+∠NOM=180°”的条件，发现解题的一个关键是要进行角的转化，从而构造三角形相似，再通过类比学习，以及熟悉的相关的知识与应用，如角平分线的性质、构建三角形相似等，非常有利于学生展示自己的成果.

三、解法呈现

如图6所示，∵BM与CN分别平分∠ABC与∠ACB

∴∠1=12∠ABC，

∠2=12∠ACB……1分

∴∠COB=180°-（∠1+∠2）

=180°-180°-∠A2=90°+12∠A=120°……2分

∵∠NOM=∠COB

∴ ∠A+∠NOM=120°+60°=180°

∴ BM，CN是三角形的关联线……3分

（2）分别过点B，C作BG⊥AC于G，CH⊥AB于H.

∵BM，CN是△ABC的关联线

∴∠A+∠M0N=180°

∴∠1+∠AMB=180°

∠AMB+∠2=180°

∴∠1=∠2……4分

∴△BGM∽△CHN

∴BGCH=BMCN……6分

∵12BG·AC=12CH·AB……7分

∴BGCH=ABAC

∴BM·AC=AB·CN……8分

（3）如圖8所示，分别过点A，B，D作AM⊥CB于点M，BT⊥CD于点T，DN⊥BA于点N.

∵∠CBA+∠EGF=180°

∴∠1+∠BEG=180°

∵∠2+∠BEG=180°

∴∠1=∠2

∵∠M=∠N=90°

∴△AFM∽△EDN……9分

∴AFDE=AMDN……10分

∵ △ABM∽△BCT……11分

∴AMBT=ABBC

又DN=BT

∴AFDE=AMDN=AMBT=ABBC

∴AFDE=ABBC……13分

∴AF·BC=AB·DE……14分

核心素养导向下的“图形新定义”试题在于创新命题的背景，但万变不离其中，考查的数学核心本质还是学生已有的知识体系、阅读理解能力、知识迁移能力及解决问题的策略.这类“新定义试题”考查的知识面广，也常常在解答过程中会渗透一些数学思想方法，如：分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等.作为当代教师，不能就题论题，

应懂得在教学过程中一步步渗透数学思想方法，这也是培养学生核心素养的一种有效方法.

因此，“题在书外，根在书内”是命题的基本原则，教学中应重视概念的教学、重视材料的阅读.在平时教学时，也应多设计一些“全新”的试题，让学生利用现有的认知去解决新的情境中未知问题，从而克服这种不战而败的心理障碍;也可以在教学中运用类比联想即由此及彼的类比思考，把陌生的、要解决的问题，转化为与之有关的熟悉问题，用熟悉的知识给予解决，对要解决的问题从多角度、多侧面去联想，在有关的熟悉的问题、知识和技能中比较、分析、推理逐渐发现并促成要解决的问题转化为熟悉的问题予以解决.而在命制题目时，也因赋予了“新定义”，这就要求命制题目时必须对新定义的概念名词有内涵也得有外延，有创新，能体现数学思想方法，才会有研究的价值.

【参考文献】

[1]余文森.核心素养导向下的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]高峰.对“图形新定义”试题的命题思考[J].数学教学，2016（11）：40-44.

[2]蔡德清.新定义中考数学试题的命题阐释与思考[J].福建教育，2016（46）：36-38.