几何的多面性

《数学艺术》作者：[美] 斯蒂芬·奥内斯译者：杨大地出版社：重庆大学出版社出版时间：2021年3月页数：240定价：88元

纵观历史，来自各个学科的思想家都给柏拉图多面体（正多面体） 赋予了近乎神秘的性质。认为它们隐藏着宇宙深处的奥秘。它们看来很简单，但总给人看不透的感觉;人类花了几千年的时间去探索多面体。它们，特别是三维的柏拉图多面体，使我们感到愉悦，同时给我们带来无穷的困惑。它们对艺术家们也具有天然的吸引力，艺术家们常坐在这些几何学的基石上面沉思，寻找灵感和神秘。

大众的数学艺术

数学雕塑家乔治·哈特说，数学是一门观察模式的科学。模式随处可见：在音乐中，在照片中，在建筑中都有，水晶的形状或地球的轨道倾斜也是一种模式。成年人常常要学会用数学来理性地看待世界，但是哈特说，孩子们有一个优势，那就是他们自然而诚实地看待世界。但随着年龄的增长，他们就会失去这个优势。

哈特经常进行雕塑建筑探索活动，带领他的观众，甚至是幼儿园的儿童，进入数学景观的各个角落，如拓扑学和立体几何学。哈特用他的雕塑作品和手工作坊来挑战数学的教学方式。许多人把数学与痛苦的乘法训练和死记硬背的几何证明联系起来。学生通常不会感觉到這门学科的美妙、优雅和神奇的一面。直到进入大学里的数学学习。到那时，往往为时已晚。许多可能成为数学家的人已经选择了其他的领域。

哈特定期访问世界各地的中学和大学。当我们访谈的时候，他刚从越南的五所学校回来，他在那里作讲座，并帮助那里的团队建造了定制的大型几何雕塑。在他离开后很长的一段时间里，这些雕塑都将屹立在那里。这些项目把团队建设和自学数学课结合起来。

在哈特的一生中，他一直在用他在周边寻找到的材料建造几何雕塑。他记得他还是个孩子时，第一个作品是一个对称的奇怪玩意，由许多牙齿制成。他用过刀、叉子、勺子、光盘、软盘、铅笔、回形针、画笔和牙刷等来制作三维艺术品。他的大部分作品来源于柏拉图多面体，这是由一些二维平面上的多边形通过边和顶点连接组成的形体。

柏拉图多面体

他说：“从某种意义上说，我总是从让我感兴趣的数学开始，并试图把它变成物理的东西。” 20 世纪 90 年代初，他开始创作雕塑，当时他还是长岛石溪大学通信理论与工程专业的一名教授。一开始雕塑只是一种爱好，他说：“后来，它渐渐变成了一种痴迷。”1999 年，纽约市的沃帕尔画廊正在展出 M.C. 埃舍尔的作品，布展方同意同时展出哈特的一些作品。他说：“这让我意识到我是个雕塑家。”

乔治·哈特的雕塑《尚普》，直径4英尺（约1.2米），安放在佛蒙特州曼彻斯特的博安博顿学院。它的30个相同的组件模仿了一群海怪――尚普兰湖的传奇生物。

现在，他有一间家庭工作室，里面装满了砂轮和锯子等工具，还有激光切割机和 3D 打印机。他的工具库里还包括一些他自己制作的工具，这些工具可以按他的要求固定、弯曲和改变材料，没有任何现成的设备可以做到。

哈特不仅热衷于培养下一代对数学的热情，他还希望他们自己去发现数学。由于材料成本等因素，他的雕塑制作成本可能高达数万美元，而公立学校往往没有预算。在过去的几年里，他和数学教育家伊丽莎白·希斯菲尔德（Elisabeth Heathfield）一直致力于使雕塑更便宜的项目计划，让任课教师可以在课堂预算之内承受，甚至利用可以下载的视频。该项目被取名为“使数学可视化”。

他还是另一个努力扩大数学吸引力的项目的先驱者。哈特帮助创建了“数学博物馆”，这是美国唯一的数学博物馆，于 2012 年在纽约市开馆。哈特在它的设计和内容上花了五年的时间。自开放以来，超过 50 万人参观了这家博物馆。

哈特希望“数学博物馆”只是数学“正常化”趋势的开端，他希望数学像我们的语言一样普及。他和希斯菲尔德设想了一个世界性的数学中心网络，功能类似于图书馆，作为公共空间，人们可以聚集在网上一起学习和分享有关数学的想法

艺术背后的数学：多面体家族

柏拉图多面体很特殊，在三维空间只有五种正多面体可以存在。它们包括立方体，它有 6 个正方形面;正四面体，它有 4 个正三角形面;也包括正八面体，它有 8 个正三角形面;正二十面体，它有 20 个正三角形面;最后是正十二面体，有 12 个面，都是正五边形。

几千年来，人们一直在赞美、分析、改造这些形体，甚至将它们神圣化。它们确实很特别，因为它们是仅有的五种的正凸多面体。首先，它们的面必须是正多边形，而且必须是相互全等的。（这意味着它们的大小和形状是一样的。）其次，每个顶点有相同数目的面在此相交。

我们称它们为柏拉图多面体，是因为希腊天文学家柏拉图在公元前 360 年左右在其著

作《蒂迈欧篇》（Timaeus）中描述了它们，但希腊人并不是唯一知道它们的人。一些学者认为，在苏格兰发现过一些雕刻过的石头呈现出柏拉图多面体的形状，每一块都有棒球那么大，这表明一些古老的文化可能至少在柏拉图之前一千年就已经知道柏拉图多面体了。

柏拉图不仅描述了这些多面体，他还非常崇敬它们。他把其中的四个同当时认为构成世界的四大基本元素“火、土、水、气”联系起来。正四面体代表“火”;立方体代表“土”;而“水”由正二十面体代表;“气”则对应于正八面体。对于剩下的正十二面体，柏拉图在《蒂迈欧篇》上写道：“神使用正十二面体来安排整个天空星座的秩序。”

在《几何原本》中，欧几里得证明了只能有五种柏拉图多面体，不可能再有多的了。柏拉图把正多面体和神圣的几何学联系起来，但他并不是唯一这样做的人。 1596年，德国数学家和物理学家约翰尼斯·开普勒发表了《宇宙奥秘》一书，当年他只有 24 岁。他笃信上帝是按照柏拉图多面体来建造太阳系的。

当时天文学家只知道六颗行星。开普勒想知道为什么会有六颗行星，为什么它们会以交错的方式，沿着递增的轨道绕太阳运行。柏拉图多面体给了他一个答案。开普勒纯粹是凭借着想象力，在没有任何证据的情况下，将行星轨道和正多面体联系在一起。

想象一下，你在每个柏拉图多面体周围画上一个外接球面。开普勒指出，通过使用特定（但看起来是随意的）顺序将这些球体和正多面体彼此嵌套在一起，你就可以得出一个几何构型，在这个几何构型中，柏拉图多面体之间的距离和行星轨道之间距离的比例刚好是一样的。开普勒认为它是一只迷人的碗。“地球的轨道是衡量所有事物的尺度;它的轨道在一个球面上。框住它的轨道球面的是一个正十二面体，而包围这个正十二面体的圆球面则是火星

的轨道;再往外面，框住火星轨道球面的是正四面体。”开普勒写道。“你现在知道行星数

目是六个的原因了。”开普勒相信柏拉图多面体和行星的轨道，以及自然界的所有比例，都是由上帝决定的。

开普勒的研究在许多方面都是出于宗教的追求。但在 2011 年，波士顿大学的天文学家肯尼思·布雷彻指出，将《宇宙奥秘》看成科学研究的一个重要转折点是出于其他原因。开普勒想知道行星轨道这样安排的意义，他超越了观察手段，而大胆使用数学上的因果关系。虽然他调整了他的柏拉图多面体模型，直到它与行星的轨道大体一致，但这充其量只是一个巧合。

13种阿基米德多面体

几个世纪以来，数学家们用其他方法来扩充和探索柏拉图多面体。例如，你可以作星形扩展。你可以选择正多面体的一个面，然后把它相邻的面所在平面延展，直到它们相交。对所有的面也都这样做。

还有其他的多面体家族。有 13 种阿基米德多面体，它们的边都具有相同的长度，但是由两种或更多种的正多边形组成。就像柏拉图多面体一样，它们具有高度的对称性，这使得它们作为研究群论和晶体形状的人来说很有吸引力。

长期以来，艺术家们一直对这些形体非常入迷，这些形体既是数学的主题，也是艺术的主题。甚至连达·芬奇也愛在笔记本上涂鸦多面体。（达·芬奇对几何非常感兴趣，他推荐了一种描绘多面体的风格，就是只画它们的边，这样才能让观察者看透多面体，看到它们顶点是如何连接的。）柏拉图多面体的魅力持续了几个世纪，对哈特这样的艺术家来说，他们从中找到了诠释经典的新方法，展示了柏拉图多面体的永恒。