考虑翘曲应力中性轴偏移的箱梁剪力滞效应分析

杨青山，刘世忠，周 倩

（1.兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2.甘肃省庆阳市建筑设计院，甘肃 庆阳 745000）

0 引言

薄壁箱形截面梁因其良好的抗弯和抗扭性能，而被广泛应用。梁体受到横向荷载时，截面正应力沿着上、下翼缘板的水平方向分布并不均匀，被称为剪力滞效应。

多年来，许多学者对箱梁剪力滞效应进行了研究。其中基于最小势能原理的变分法应用较多。由变分法还可进一步发展出分析剪力滞效应的一维梁段有限元法［1-3］。Reissner［4］首次利用变分法进行无悬臂的矩形混凝土箱梁剪力滞效应分析。进行变分法分析时，选取广义位移建立横向翘曲函数最为关键［5，6］，其反映了翘曲位移在翼板中的横向分布。倪元增等［7］、CHANG 等［8］假设考虑剪力滞效应后应力中性轴仍通过截面形心，采用翼缘转角最大差值作为广义位移进行分析。Dezi 等［9］、LUO 等［10］、韦成龙等［11］对箱梁的悬臂板、顶板、底板采用 3 个不同的转角最大差值作为广义位移进行剪力滞分析以提高精度。杨绿峰等、张元海等将剪力滞附加挠度作为广义位移，将箱梁受弯挠度分解为基于平截面假定的初等梁理论计算出的挠度和剪力滞效应产生的附加挠度，物理意义更为明确。根据弹性理论，截面正应力的合力应等于外荷载产生的截面轴力，合力矩应等于截面弯矩。倪元增等以附加翘曲位移的方式考虑了翘曲应力合力为零的自平衡条件；蔺鹏臻等［12］分析了翘曲应力中性轴为形心轴时，产生的附加轴力对剪力滞效应影响较小；周坚等［13，14］以修正位移函数的方式考虑了翘曲应力合力矩为零的平衡条件。张元海等通过修正翘曲位移函数考虑轴力平衡条件，引入剪力滞广义力矩考虑弯矩平衡条件。以上分析研究中，多假设剪力滞效应产生的翘曲应力在竖向的中性轴与截面形心轴重合。以此为出发点，为满足截面应力合力及合力矩的平衡条件，再对翘曲位移函数进行修正，同时引入广义力等概念，分析计算过程较为抽象和复杂。

为简化概念，本文考虑剪力滞翘曲应力中性轴与截面形心轴有相对偏移，以箱梁腹板的弯曲截面转角φ和剪力滞附加挠度f作为广义位移构造横向翘曲位移函数；利用变分法推导翘曲应力和附加挠度计算公式。并在所提出的分析方法得到验证的基础上，运用参数分析法，对是否考虑翘曲应力中性轴的偏移对箱梁截面正应力的不同影响进行研究。

1 翘曲位移函数及截面正应力

图 1 所示的单室箱梁在竖向荷载q（x）作用下发生挠曲变形，坐标系原点 O 位于截面形心。过 O*的水平线为剪力滞翘曲应力的中性轴位置。OO*的距离即为翘曲应力中性轴相对于截面形心轴的偏移量。z*为与 O*相对应的竖向坐标。由图 1 可知，有关系z*=z-hu*+hu。记顶板、底板和悬臂板的面积分别为A1=b1tu、A2=b2tb、A3=b3tu，对于形心轴的惯性矩分别为I1=A1hu2、I2=A2hb2、I3=A3hu2，对于翘曲应力中性轴的惯性矩为I1*=A1hu*2、I2*=A2hb*2、I3*=A3hu*2；腹板对于中性轴的惯性矩为Iw=tw（hu3+hb3）/3，对于翘曲应力中性轴的惯性矩为Iw*=tw（hu*3+hb*3）/3；As=A1+A2+A3，Is=I1+I2+I3，I=Is+Iw，Is*=I1*+I2*+I3*，I*=Is*+Iw*。

图1 箱梁纵向横向简图

截面任一点处的纵向位移u（x，y，z）由基于平截面假定的弯曲变形和剪力滞效应产生的附加变形效应组成，其函数表达式为：

式中：u0（x，z）为平截面假定下弯曲变形产生的纵向位移，m；uw（x，y，z）为剪滞效应产生的翘曲位移，m；φ=ω′-γ为平截面假定下梁体的截面转角，rad；ω为包括弯、剪效应在内的竖向总挠度，m；γ为截面竖向剪切应变，rad，假定剪力全部由腹板承担且剪应力在腹板均匀分布，则γ=Q/（GAW），Q为截面处的剪力，kN，G为弹性剪切模量，MPa，AW为腹板的截面积，m2；ωξ（y，z*）为剪力滞翘曲位移函数；f为剪力滞附加挠度，m，f′为因剪力滞效应产生的腹板截面转角，rad。

假定箱梁截面中腹板始终保持为平面仅发生φ和f′的转角，各翼缘板及腹板的剪力滞位移函数ωξ（y，z）可以表示为：

式中：α为与截面几何参数相关的待定系数，反映了翘曲应力在翼缘板横向的相对变化幅度。对于顶板，z*= -hu*，bi=b1；对于底板z*=hb*，bi=b2；对于悬臂板z*=-hu*，bi=b3；对于腹板ωξ（y，z*）=z*。

由弹性理论的几何方程和物理方程，由（1）式可求得截面正应力：

式中：σ0（y，z）为基于平截面假定的正应力，MPa；σw（x，y，z）为剪力滞翘曲应力，MPa；E为杨氏弹性模量，MPa。

以及翘曲位移函数中参数α=-πI*/（2Is*）。

若不考虑翘曲应力中性轴相对于截面形心轴的偏移，则hu*=hu，α=-πI/（2Is），此时截面翘曲应力仅满足合力矩为零的条件。以上推导可知α和hu*均与外荷载形式无关，仅取决于截面的几何参数。

2 控制微分方程建立及求解

以上述翘曲位移函数为基础，按能量变分法的一般求解过程列出总势能泛函表达式，结合结构在荷载作用下处于平衡状态时其总势能的一阶变分为零的条件，可得出控制微分方程和自然边界条件如下：

对x求导，并考虑q（x）=-Q′可得

附加挠度微分方程（10）的通解一般形式为：

式中：C1～C4为待定常数，可由箱梁两端的边界条件确定；f*为与q（x）相关的特解。确定常数C1～C4时的边界条件为：固定端，f=0，f′=0；简支端f=0，f″=0；自由端，f″=0，f（3）-k2f′=0。

对于承受满跨均布荷载q（x）=q的简支梁，其剪力滞附加挠度计算公式如下：

对于图 2 所示跨内承受集中力P作用的简支梁，附加挠度为分段函数，左右两梁段分别用下标L和R来区分。其应满足的边界条件和连续性条件如下：

图2 跨内承受集中力的简支梁

利用以上条件代入式（10），可求得集中力作用下剪力滞附加挠度计算公式如下：

利用（12）～（14）式计算得出f′′代入（6）式中即可求得截面各点处的翘曲应力。

3 算例分析

跨径为 800 mm 的有机玻璃简支箱梁模型［15］，截面尺寸及计算位置如图 3 所示。在跨中截面腹板顶对称作用集中力，总值为P=272.2 N。材料弹性模量为 3 000 MPa，泊松比为 0.385。

图3 箱梁模型截面尺寸（单位：mm）

将用本文方法求得跨中截面正应力值与文献［15］提供的有限元计算值和实测值列于表 1 中进行比较。由表 1 可以看出本文计算值与有限元结果和模型实测结果总体吻合良好，验证了本文方法的合理性。

表1 简支箱梁模型应力比较 MPa

图 4 所示为用本文方法求得的跨中截面正应力（记为σ*）与不考虑翘曲应力中性轴偏移求得的应力值（记为σ）的对比图。可以看出是否考虑翘曲应力中性轴对形心轴的偏移，会影响到翘曲应力在箱梁竖向，顶缘和底缘中的分布。其中前者顶板的应力变化幅度更大，即σ*包络σ；后者底板的应力变化幅度更大，即σ包络σ*。定义正应力相对差值：

图4 箱梁截面正应力对比

本算例中，腹板顶部λn=-10.35 %（|σ*|＞|σ|），腹板底部λn=-10.71 %（|σ*|＜|σ|），影响差别较大。

4 几何参数影响分析

从上节算例分析可以看出，因是否考虑翘曲应力中性轴的偏移而产生的截面正应力的差别较大。以往文献由于分析方法的不同对于此因素的影响程度研究较少。由前文分析可知翘曲位移函数中参数α和中性轴的位置hu*均与外荷载形式无关，仅随截面几何参数变化。为研究各几何参数的影响趋势，本文结合前述算例，在不同高宽比和宽跨比条件下，分析因是否考虑翘曲应力中性轴偏移而产生的截面正应力的差别。

4.1 高宽比 h/b1 的影响分析

梁高h分别取 80，100，120，150 mm，其余条件均同上节算例。此时h/b1分别为 0.8，1.0，1.2，1.5。跨中截面上、下翼缘板正应力相对差值λn如图 5 所示。

图5 不同高宽比下跨中截面应力相对差值

由图 5 可知，不同高宽比下简支箱梁跨中截面上、下翼缘的相对应力差值曲线偏差很小，绝对值均在 3 % 以内。即不同高宽比下，是否考虑翘曲应力中性轴的偏移对截面正应力影响不大。

4.2 宽跨比 b1/l 的影响分析

跨径l分别取 500、1 000、2 000、4 000 mm，其余条件均同上节算例。此时b1/l分别为 0.2，0.1，0.05，0.025。

由图 6 可知：正应力相对差值横向变化曲线与翘曲位移函数变化规律一致，呈余弦函数变化。其中若考虑翘曲应力中性轴的偏移，翘曲位移函数中参数α=-1.741 4；若不考虑，则α=-1.806 3；两者很接近。所以虽然宽跨比不同，但图 6 中各条曲线的横向变化趋势基本一致。不论是否考虑翘曲应力中性轴的偏移，其横向的翘曲位移零点位置基本相同。随着宽跨比的增大，翘曲位移零点两侧的正应力相对差值绝对值也在增大。当宽跨比大于 0.1 时，箱梁横向位置 0，100，200 mm 处正应力相对差值即超过 5 %；当宽跨比为 0.2 时，以上横向位置处正应力相对差值均超过 20 %。因此，当宽跨比较大时，若不考虑剪力滞翘曲应力中性轴相对于形心轴的偏移，将对应力结果产生较大影响。

5 结论

1）为同时满足剪力滞翘曲应力在截面上的合力及合力矩平衡条件，考虑翘曲应力的中性轴相对截面形心轴发生偏离，基于此可以建立更合理的翘曲位移函数。通过求解变分法控制微分方程，得出简支梁在均布荷载及跨内集中力作用下的翘曲应力和附加挠度计算公式。以此计算简支模型梁的应力值与有限元解和实测值吻合良好，验证了本文方法的合理性。

2）同时考虑薄壁箱梁截面的弯曲挠度、剪切挠度和剪力滞附加挠度建立翘曲位移函数，利用变分法推导控制微分方程的过程说明，剪力滞效应与初等梁理论下的弯曲及剪切效应相互解耦。

3）通过参数分析因是否考虑翘曲应力中性轴偏移而产生的应力差别，结果表明高宽比的影响较小而宽跨比的影响较大，且宽跨比越大，相对差值越大。当宽跨比为 0.2 时，应力相对差值可达 20 % 以上。因此，对于宽跨比较大的箱梁应力求解，为提高精度，应考虑剪力滞翘曲应力中性轴相对于截面形心轴的偏移。Q