放任局部 收获成功

安徽省霍邱县第一中学(237499) 冯克永

高中阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.灵活运用是检验师生数学素养高低的试金石.处理好局部与整体的关系是逻辑推理素养的重要体现,很多师生特别关注问题的整体破解,忽视根据题目的结构特征巧用局部解题.巧用局部破整体就像是一眼活水,只要我们做一个有心人,放任局部,大胆尝试,勇于探索,常可从中攫取新的解法,提升自己的数学素养.兹举数例,以飨读者.

例1已知函数则

解析自变量成等差数列的函数值之和联想到倒序相加求和策略,需探寻f(x) +f(1−x) 的值是多少,由化局部得f(x+两式相加得= 2,进一步得到f(x)+f(1−x)=2,所以

评注化整体为局部,利用局部奇函数的特征进行两式相加,再倒序相加是破解此题的关键,很值得回味.

例2已知x≤ 0,y≤ 0,且x+y= 2,求证:x2y2(x2+y2)≤2.

解析由x≤0,y≤0,x+y= 2 得0 ≤xy≤1和x2+y2≤= 2,因不等式反向而调整,将x2y2(x2+y2)化为两个局部xy与相乘,因0 ≤xy≤1 和2,所以x2y2(x2+y2)≤2.

评注均值不等式及局部运算是破解此题的利器,师生要有强烈的局部运算意识.

例3若数列{an}满足:a1= 3,=2(n≤2),a40=81,求通项公式an.

解析直接去分母有点繁,将2 及分式分开进行局部处理得可以快速得到an+1−an=an −an−1,所以数列{an}是以3 为首项,d为公差的等差数列,由a40= 3+39d= 81 得d= 2,所以an=2n+1.

评注根据条件等式的结构特征,妙用局部获巧解,凸显局部的解题功能.

例4若函数f(x) = 2a2lnx+−x(a >0)存在两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,证明:

解析:由f′(x) == 0 有两个不等的正实根x1,x2得x1+x2=不妨令0

代入化简得k=与x1,x2不和谐,利用局部大于整体进行放缩即证成立,对其化简得则t −2a2lnt −令g(t) =t −2a2lnt −则g′(t) = 1−t>1,所以g′(t)>0,g(t)>g(1)=0,所以

评注利用局部大于整体进行放缩妙不可言,很值得关注.

例5求函数f(x) =的最大值.

解析此题sin 2x,sinx,cosx共存,整体利用换元法或导数法很难处理,顺着展开后的数字特采用局部因式分解得

评注顺着展开后的数字特采用局部因式分解,再利用两部法破解最值是神来之笔,耐人寻味.

例6当x≤0 时,求证:ln2(1+x)+e−2x+sinx≤

解析只要ln2(x+ 1)、e−2x与sinx共存,直接作差构函数证明很难.“和必分”转化为证明三个不等式:(1)ln2(1+x) ≤;(3) sinx≤x同时成立即可.

由ln2(1+x) ≤得ln2(1+x)−≤0,令f(x)=ln2(1+x)−则

令g(x) = 2(1+x)ln(1+x)−x2−2x,则g′(x) = 2 ln(1+x)−2x,令h(x) = 2 ln(1+x)−2x,则h′(x) =所以g′(x) =h(x) ≤h(0) = 0.于是f′(x) ≤f′(0) = 0,所以f(x)在[0,+∞)上为减函数.于是f(x)≤f(0)=0,所以(当且仅当x=0 时等号成立)(1)成立.

由e−2x≤及1 +x >0 得ex≤1 +x,令F(x) = ex −1−x,则F′(x) = ex −1 ≤0.所以F(x)在[0,+∞) 上为增函数,于是F(x) ≤F(0) = 0,所以(当且仅当x=0 时等号成立)(2)成立.

由sinx≤x得sinx −x≤0,令k(x) = sinx −x,则k′(x) = cosx −1 ≤0,k(x) 在[0,+∞) 上为减函数,于是k(x) ≤k(0) = 0,所以sinx≤x(当且仅当x= 0 时等号成立)(3)成立.

由(1)+(2)+(3)得ln2(1+x)+e−2x+sinx≤+x成立.

评注整体作差构函数证明较难,利用加法化整体为局部,各个击破是思维的一大亮点,应引起高度重视.

以上数例可以看到局部的解题魅力,逻辑推理的解题应用有广阔的研究空间,笔者在此方面只做了肤浅的探索,还未进行深层次的研究,期待大家的进一步探索.