双边刚性约束非光滑双摆的碰撞周期解

郭秀英　张刚　田瑞兰

摘要： 構建双边对称刚性约束的非光滑双摆模型，研究简谐激励作用下该系统的碰撞周期解及其存在条件。应用模态分析法，引入矩阵理论，构造恰当的可逆变换矩阵，在理论上计算出物理参数和碰撞恢复系数的取值范围，并给出双碰周期解的解析表达式。在理论结果的基础上，利用碰撞恢复矩阵作为衔接条件，采用理论分析和数值模拟相结合的方法，分析系统小角度运动的碰撞周期解。

关键词： 非线性振动; 非光滑双摆; 碰撞周期解; 对称刚性约束; 恢复系数

中图分类号： O322; O29    文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2021）01-0185-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.021

引  言

近几年，随着机器人技术的发展，机械臂设计和动力学行为研究成为机器人技术的重要研究课题。如何构建合理的数学模型模拟机械臂的运动是理论研究的重点^[1?2]。物理双摆是传统的高维非线性系统，具有丰富的非线性动力学行为^[3?4]。大量的研究结果表明，双摆可以模拟机械臂的运动模式。实际上，随着机械臂的动作细化和外置驱动的安装要求，需要考虑机械臂链接处的缝隙和阻尼，还需要考虑外置驱动的类型和安装方式。因此，可以将机械臂简化为有外置简谐激励的碰撞双摆。研究这类碰撞双摆的周期运动，可从理论上为机械臂的设计提供合适的物理参数和几何参数，提高机械臂的应用舒适度、使用安全性，延长其使用寿命。

目前，关于碰撞摆类系统的研究集中在数值模拟和低维系统的解析法研究^[5?9]。文[5?6]开展了碰撞单摆系统的次谐分叉和混沌判据的解析方法推广研究。文[7]研究了单自由度非线性振子的谐波、亚谐波和混沌运动。文[8?9]研究了一类具有对称约束或对称碰撞的非光滑系统的周期运动和动力学行为。而针对高维非光滑、不连续系统，解析法的研究结果迄今为止仍鲜为人知。主要通过数值模拟和实验观察物理参数和碰撞对系统的影响，研究高维非光滑系统的分叉和混沌现象^[10?14]。文[14]建立了一类具有对称刚性约束的三自由度碰撞振动系统的Poincaré映射，研究了一类三自由度含间隙双面碰撞振动系统Poincaré 映射的叉式分岔的反控制问题。尽管针对非光滑摆研究周期解有了一定的研究，但是周期解的解析表达式十分繁杂，很难应用于工程实际，且周期解存在的条件表达式也很难推广到高维非光滑双摆系统。进一步地，在非光滑双摆周期解的研究中均未涉及两个自由度都发生碰撞的工况。

本文以基座受简谐激励的铰链链接双摆为基础，构建双边对称约束的非光滑双摆模型，研究两个自由度多点碰撞周期解的类型，利用矩阵理论^[15?16]，引进可逆变换，讨论碰撞周期解存在的理论条件和碰撞周期解的解析表达式，并利用Matlab进行数值模拟和验证。

1 碰撞双摆模型和运动方程

4 结  论

碰撞双摆有复杂的动力学行为，因其碰撞产生的非线性，多点碰撞情形的多样性，一般很难得到其碰撞周期解的解析表达式。 本文针对水平激励下的双边碰撞双摆进行建模和理论分析，利用模态叠加法和矩阵理论，讨论并推导了系统小角度振动时双边双碰周期解的存在条件和周期解析解表达式。 数值模拟表明，该方法可以较好的预测碰撞周期解的存在性。引进矩阵工具，可以方便地计算出碰撞周期解的积分常数和存在条件，为求解高维系统的碰撞周期解提供了计算工具。针对其他类别的碰撞周期解只要找到合适的碰撞恢复矩阵，计算过程是类似的，为机械臂的研究和设计奠定了理论基础。为工程人员研究高维系统周期解提供理论指导。

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Abstract： A double pendulum model with bi-lateral rigid constraint is constructed under harmonic excitation. The impact periodic solution of a nonlinear dynamic system under harmonic excitation and its existence conditions are studied. Adopting the modal analysis and matrix theory， an invertible transformation is introduced to obtain the parameter conditions for the existence of the impact periodic solution of the system. On the basis of the theoretical calculation results， applying Matlab software， numerical simulation is carried out to obtain the impact periodic solution of the system with small angle motion， which verifies that the theoretical research results have certain theoretical guidance in engineering practice.

Key words： nonlinear vibration; non-smooth double pendulum; impact periodic solution; symmetric bilateral rigid constraint; coefficient of restitution

作者简介： 郭秀英（1976?），女，讲师。电话：（0311）87935502，18132660586;E-mail：guoxiuying4086@sina.com

通讯作者： 田瑞兰（1977?），女，教授，博士生导师。电话：（0311）87936096，15511336389;E-mail：tianrl@stdu.edu.cn