平分土地是难事？

文 黄 韦

在日常生活和工作中，很多时候需要将几何图形的面积等分。今天我们就来欣赏这样一个等分平行四边形面积的故事。

喀什素有“丝路明珠”之美誉，自然风光秀丽壮美，各式美食令人流连忘返。一天，阿凡提骑着毛驴去喀什旅游。他来到一个村庄，一位老人家正在为两个儿子分土地的事情犯愁。他家土地的形状是一个平行四边形（如图1），地里还有一口井（用点P表示）。兄弟俩想平分这块土地，并且都需要用井水浇地。但是那口井并不在土地中间。两个儿子因为分地的事情闹得不可开交，正当二人僵持不下的时候，有人给他们出主意说：“既然我们都分不了这块地，不如请阿凡提先生来帮你们解决，他肯定有办法。”于是，兄弟俩将事情的原委告诉阿凡提，并请阿凡提帮忙分地。只见阿凡提沉吟片刻，说道：“你们按照我的方法，一定能平分这块地，并且那口井你们两个人都可以使用。”

图1

图2

图3

图4

原来，阿凡提将水井与土地的四角分别相连（如图2），将地分成四块，每个人拿面对面的两块。这样，两个人就可以拿到一样多的土地。

这个故事很有趣，看似简单，但其中蕴含着丰富的几何知识。

我们可以用平行四边形的相关知识对这一方法加以证明。

证明：如图3，过点P作PH⊥CD于点H，延长HP交AB于点G，则PG⊥AB，连接PA、PB、PC、PD。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC。

兄弟俩起初对阿凡提的分法很满意，可是没过多久，两个人又吵起来了。因为自己的两块土地并不连在一起，而是散落在两个地方，和别人的土地混在一起。这样分散的小块土地，自然不利于耕种，两兄弟都希望自己的土地更集中。于是老大又找来阿凡提帮忙，“聪明的阿凡提先生，我们想让自己的土地集中在一起，你还能想出其他的分法吗？”阿凡提思考片刻，让兄弟两人到地里画出这块地的对角线，然后将其交点与井口位置相连并延长，如图4，从而得到了两块面积相等的土地。众人看到，纷纷赞叹阿凡提智慧过人。同样，我们可以用平行四边形的相关知识对这一方法加以证明。

证明：如图4，连接AC、BD交于点O，连接OP，延长PO交AB于点M，延长OP交CD于点N。

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AB=CD。

易得△BMO≌△DNO，

∴S△BMO=S△DNO，

∴S四边形BMNC=S△BCD＋S△BMO-S△DNO=S△BCD。

易得△BCD≌△DAB，

∴S△BCD=S△DAB，

平行四边形是中心对称图形。根据中心对称图形的性质，我们可以发现，经过对称中心的任意一条直线都能把它分成两个全等形。所以经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分。我们可以利用这个结论，解决一些图形面积的等分问题。

馕作为新疆历史悠久的特色食品，一直深受大众喜爱，维吾尔族的烤馕设备最主要是馕坑。兄弟俩计划在土地的一侧建造一座长方形的馕坑EFGH（如图5）。如果不考虑水井的因素，你能帮助兄弟俩平分土地吗？

图5

图6

根据刚才得到的结论，我们可以分别画出这块地和馕坑的对角线，然后将两个交点M、N相连并延长（如图6），这样，我们就可以将剩余的土地分成面积相等的两部分。亲爱的同学们，你们想明白了吗？