井眼轨迹单根控制的新计算方法

鲁港 钟晓明 李胜中 来建强

1.北京四利通控制技术股份有限公司；2.中石化西南石油工程公司装备处；3.中国石化中原石油工程公司装备处

井眼轨迹控制是定向钻井中的重要任务，在进行井眼轨迹控制方案设计时，通常是从当前井底的井斜角和方位角出发，钻进ΔL进尺之后，井斜角和方位角达到预定值，这其中要确定未知的井眼曲率或工具面角［1-2］，使用空间圆弧模型可以比较方便地计算出设计方案参数。定向井工程师在现场进行轨迹控制时，是根据钻具组合造斜能力，先复合钻进某些进尺，再滑动钻进至预定的井斜角和方位角；或者先滑动钻进至预定的井斜角和方位角，再使用复合钻进方式完成一个单根的剩余进尺。在这一过程中，需要确定的施工参数是滑动钻进的工具面角以及复合和滑动进尺各是多少。韩志勇［3-4］教授建议在圆弧型设计轨道控制时，使用恒装置角曲线模式。

笔者根据现场定向井工程师的思路，给出了井眼轨迹单根控制设计方案的计算方法。约定本文计算公式中，凡是具有长度量纲的参数，其物理单位皆为m；角度参数的物理单位皆为弧度(rad)；井眼曲率的单位为rad/m。在算例中转化为工程单位：角度单位为°，井眼曲率单位为(°)/30 m。

1 恒工具面角模型

在滑动钻进时，钻具组合是给定的，钻具组合造斜能力和工具面角基本上保持不变，因此用恒工具面角模型来描述滑动钻进所形成的井眼轨迹比空间圆弧模型更恰当一些，因为在空间圆弧模型中，工具面角是随井深而变化的，而恒工具面角模型［1-4］是满足“井眼曲率和工具面角恒定”的曲线。

井斜角变化规律为

方位角变化规律为

式中，ω为工具面角，κ为井眼曲率， ΔL为井深增量，α和 α0分别为井眼轨迹上任意井深和初始井深处的井斜角，φ 和 φ0分别为井眼轨迹上任意井深和初始井深处的方位角。

定义

根据洛必达法则［5］可知：将式(1)代入式(2)，可将方位角变化规律简写为

记ΔN=N-N0、ΔE=E-E0、ΔH=H-H0分别为北坐标增量、东坐标增量和垂深增量，则当α =α0时，

当α ≠α0时，

式(8)、式(9)中的积分需要使用数值积分公式［5］来计算，例如Simpson数值积分公式，但是计算量比较大。方敏等［6］使用幂级数展开技巧给出了一种计算量较小的新方法。

2 单根控制方案设计

假设钻具组合造斜率 κh是已知的，单根长度为ΔLg，复合钻进进尺为ΔL1， 滑动钻进进尺为 ΔL2、工具面角为 ω2，滑动钻进形成的井眼轨迹为恒工具面角曲线，则成立以下方程组

式中， αA和 φA分 别为当前井底的井斜角和方位角，αB和 φB分别为预定钻达的井斜角和方位角。

在方程组(11)，有3个未知数 ΔL1、 ΔL2、 ω2，只要任给一个 ΔL1值 ，就可以确定出ΔL2值，再从后2个方程确定出工具面角ω2。从方程组(11)可得

工具面角的定义范围是 0≤ω2＜2π。在工程上常常使用-180°≤ ω2＜180°，故本文公式中约定-π≤ω2＜π。

由于三角函数的周期性，单独从式(11)的第1式或第2式并不能唯一确定角度 ω2，参见图1，正确的计算公式是：

(1)当s2+c2≠1时无解；

(2)当|s|≤1并 且|c|≤1时：

需要注意的是，如果已知参数给定的不合适，可能求不出滑动钻进的工具面角 ω2。 ΔL1必须满足的约束条件为

其中，δL=0.5 m。

图1 工具面角的变化范围Fig.1 Variation range of tool face angle

3 方案设计优选

由于适当给定复合进尺 ΔL1就可以求出滑动钻进工具面角 ω2、使得单根结束时的井斜角和方位角达到预定值，这说明控制方案可以有很多种。这么多种设计方案中，必有一种设计方案是最佳的。

在做设计方案时，除了知道要控制的井斜角αB和 方位角 φB之外，实际上还知道目标点(B)的NEH坐标 (NB,EB,HB)。不同的设计方案结束点的NEH坐标是不同的，它与目标点(B)的距离也是不同的，认为这个距离达到最小时的设计方案是最佳的。

设井底(A)的NEH坐标为 (NA,EA,HA)，复合钻进结束时的NEH坐标为 (N1,E1,H1)，滑动钻进结束时的NEH坐标为(N2,E2,H2)，ΔN2、ΔE2、ΔH2由式(5)～(7)或者式(8)～(10)来计算，则有：

滑动钻进结束点与目标点B的距离为

改变段长 ΔL1，如果距离达到最小值，则是最佳方案，此时的 ΔL1、 ΔL2、 ω2即为最佳控制参数。图2给出了某算例距离随 ΔL1变 化的曲线，可见当 ΔL1增加时，距离逐渐减小，达到最小值后又逐渐增大；距离曲线的几何特征是(单峰)下凸连续曲线，故可使用二分法求最小值点，下面给出两种数值算法。

图2 滑动钻进结束点与目标点的距离随复合钻进进尺的变化Fig.2 Variation of the distance from the target point with the compound drilling footage

3.1 算法一

给定复合进尺分辨率dL=0.01 m，在 ΔL1的允许取值区间(式(14))中取等间距点

如果单根长度 ΔLg≈10 m，则算法一至多需要1 000次计算就可以求出最佳控制参数的近似值，误差至多为1 0-2，这对于工程应用来说，近似值已经足够准确，但是缺点是计算量比较大。

3.2 算法二

简记Y={ΔL1,ω2,d}，称之为一个计算点。给定复合进 尺 精度 dL=10-m和 距 离 精度 ε=10-p，其中m≥2、p≥4,均为正整数。

(0)初始：令

分别计算滑动钻进结束点与目标点B的距离，相应的计算点记为Y[1]、Y[3]、Y[3]。

如果d[m]=min{d[1],d[2],d[3]}≤ε， 则计算点Y[m]记为最小值点，结束。

(2)判断：如果d[m]=min{d[a],d[2],d[b]}≤ε，则计算点Y[m]为最小值点，循环结束。

(3)选择：当d[a]≤d[1]且d[a]≤d[2]， 称1 /a/2是一个下凸构型；当d[b]≤d[2]且d[b]≤d[3]， 称2 /b/3是一个下凸构型。

如果 1/a/2 和 2/b/3都 是下凸构型，则：当d[a]≤d[b]时 ，令Y[3]=Y[2]、Y[2]=Y[a]， 转(1)；当d[a]＞d[b]时，令Y[1]=Y[2]、Y[2]=Y[b]， 转(1)。如果只有1 /a/2是下凸构型，则令Y[3]=Y[2]、Y[2]=Y[a]， 转(1)。如果只有2/b/3是下凸构型，则令Y[1]=Y[2]、Y[2]=Y[b]，转(1)。否则令Y[1]=Y[a]、Y[3]=Y[b]，转(1)。

由于复合进尺区间每次循环后都缩小1/2，故至多计算M次就可以求出近似最小值点。

取 δL=0.5 m， ΔL1max= 9.5 m， dL=10-6m，则M≈23，这个次数比算法一的1 000次减少50多倍。

4 算例

4.1 算例1

为检验算法二的性能，制作一个算例。设计钻具组合造斜能力 κh=7.87(°)/30 m，单根长度ΔLg=10 m，复合钻进长度 ΔL1=3 m，滑动钻进长度ΔL2=7 m，工具面角 ω2=6 0°，井底井斜角 αA=30°、方位角φA=120°，使用这些数据计算出来的单根结束时的井斜角、方位角、坐标增量见表1，其中实数至多保留小数点后8位有效数字是为了考察算法二的性能。算法二的精度参数取 dL=ε=10-10。其求解结果为： ω2=6 0.000 000 012 7°， ΔL1=2.999 999 997 3，ΔL2=7.000 000 002 7，d=9.263×10-11，其他计算结果见表2。求解结果表明，算法二非常正确地求出了最佳设计参数。

4.2 算例2

现场计算中，数据一般只能保证小数点后2位有效数字。将表1中数据保留小数点后2位有效数字，见表3。算法二的求解结果为： ω2=60.277 1°，ΔL1=2.926 7， ΔL2=7.073 3，d=0.001 85，其他计算结果见表4。求解结果表明，算法二求出的最佳设计参数与制作算例时使用的参数非常接近。

表1 算例1的已知数据Table 1 Known data of example 1

表2 算例1的计算结果Table 2 Calculation result of example 1

表3 算例2的已知数据Table 3 Known data of example 2

表4 算例2的计算结果Table 4 Calculation result of example 2

4.3 算例3

待钻井眼轨设计数据的井身点的数据见表5，由于井眼轨道设计使用的是最小曲率法(空间圆弧模型)，工具面角在设计井段上不是常数，表中的11.97°是设计井段开始点的工具面角，11.37°是结束点的工具面角。使用“复合+滑动”钻进方式进行施工参数优化设计，钻具组合造斜能力κh=7.87(°)/30 m，使用算法二求得： ω2=19.352 1°，ΔL1=2.970 0， ΔL2=7.029 97，d=0.029 9，井身参数计算结果见表6。

表5 算例3的已知数据Table 5 Known data of example 3

表6 算例3的计算结果Table 6 Calculation result of example 3

5 结论

(1)对于现场单根控制问题，用“线段+恒工具面曲线”建立了“复合+滑动”钻进数学模型，给出了使用正弦值和余弦值计算工具面角的正确公式。

(2)对于单根控制设计的求解，使用最优化思想给出了两个数值算法，尤其是算法二的计算量很小，满足实时控制的要求。

(3)使用理论模型算例和实际钻井数据对算法进行了大量验证，结果表明，在理论模型算例的情形，算法二能够无限精确地反求出理论模型参数；在实际钻井数据的情形，算法二也能比较精确地求出控制参数。

(4)本文是针对现场定向井工程师研制的数学模型和求解算法，既可以适用于现场定向井工程师用于单根钻进时进行施工参数设计，也可以适用于电控系统的实时反馈控制。