干扰条件下基于Bayesian博弈的认知制导雷达波形设计

甘奕夫, 李 伟, 赵俊龙

(空军工程大学信息与导航学院，西安，710077)

当前制导雷达在复杂电磁环境中工作性能受到严重影响，尤其是当敌方目标对制导雷达实施压制干扰和欺骗干扰时，雷达和干扰间存在二元零和非合作博弈现象。在博弈过程中，不仅制导雷达可自适应优化其发射信号，而且具有电子对抗能力的目标也可实时捕获和精准干扰。现有相关文献大多围绕制导雷达和非智能干扰间对抗展开研究，并未考虑双方在获取信息不完全条件下的博弈策略选取。因此，研究不完全信息条件下雷达和干扰间相互博弈如何进行，雷达如何优化发射波形以应对干扰并提升检测性能是当前极为重要的课题。

在雷达波形设计领域常用优化准则有MI、MMSE、SINR等。文献[1]最早提出利用最大化目标脉冲响应和回波间互信息量(MI)准则和信噪比(SNR)准则在能量约束条件下设计雷达波形。文献[2]给出了一种MI和MMSE之间的关系，指出在相同功率约束下采用这两种准则优化波形可以得到相同效果。文献[3]则进一步指出在非高斯噪声环境中，基于MI和MMSE准则设计的波形与目标和噪声特征向量相关。文献[4]采用最大化雷达接收机端信干噪比(SINR)准则对分布式MIMO雷达发射信号矩阵进行优化，文献[5]则在此基础上推导得出SINR的频域表达式。

近年来，国内外学者对雷达和干扰间博弈现象广泛关注，文献[6]率先提出基于MI准则的Stackelberg博弈波形设计，文献[7]研究发现基于信息理论的MI准则难以应用于非高斯杂波环境下的雷达波形求解，可采用SINR准则进行杂波条件下波形设计。文献[8]基于SINR准则研究了多目标条件下的雷达资源分配方法，但未研究制导雷达波形设计，文献[9]从信息获取不完全角度出发，研究了MIMO雷达博弈过程中的天线功率分配，但未考虑杂波影响，且不适用于制导雷达博弈。

针对上述问题，本文从不完全信息条件出发，对制导雷达和干扰间非合作博弈展开研究，首先在雷达信号发射-接收模型基础上，建立雷达和干扰Bayesian博弈模型，依据文献[10]提出的海萨尼转换方法，利用概率集合形式表示未知信息，将不完全信息博弈转换为等价的完全信息博弈；而后，采用SINR准则设计博弈优化波形，在功率约束条件下，通过注水法分配信号频域能量，最后通过仿真分析验证波形效果，提升认知制导雷达对目标的检测性能。

1 模型构建

1.1 雷达信号模型

假设雷达发射与接收信号分别为x(t)与y(t)，信号带宽和功率约束为W与PS。目标脉冲响应h(t)为时间Th有限的随机模型，r(t)为接收滤波器脉冲响应，令H(f)与R(f)分别为h(t)与r(t)的傅里叶变换。噪声n(t)为零均值高斯信道过程，其功率谱密度PSD为Snn(f)，在W内不为零。杂波c(t)为非高斯随机过程，功率谱密度Scc(f)在W内不为常数。功率约束PJ的干扰机信号为j(t)，其PSD为J(f)。图1为制导雷达发射-接收信号模型。

图1 制导雷达发射-接收信号模型

如图1所示，接收滤波器输出端信号y(t)表达式为：

y(t)=r(t)*(x(t)*h(t)+x(t)*c(t)+

n(t)+j(t))

(1)

式中：“*”为卷积运算。

令ys(t)=r(t)*(x(t)*h(t))和yj(t)=r(t)*(x(t)*c(t)+n(t)+j(t))分别为信号分量与干扰分量。则t0时刻SINR频域表达式为：

(2)

目标脉冲响应为时间有限随机模型，可用能量谱方差(ESV)表示[11]：

(3)

式中：μh(f)是H(f)的均值，假设为零。将式(3)代入式(2)，根据施瓦兹不等式可得:

(4)

(5)

式中：K为频率采样数：Δf为频率采样间隔；KΔf=W。

1.2 Bayesian博弈模型

不完全信息博弈是指博弈参与者对于其他参与者的信息(目标类型、行动策略、效益函数等)不了解或了解的不够准确，也称为Bayesian博弈。针对这种情况，HARSANYI[10]提出在博弈中引入一个虚拟的参与者“自然”，通过“自然”赋予每个参与者各类型出现的概率或概率密度函数，进行博弈，这种方法即称为“海萨尼转换”，目前已成为处理Bayesian博弈的标准方法。

制导雷达和干扰间不完全信息博弈过程，可分为2个阶段：第1阶段为自然的行动选择，根据参与者类型的空间概率分布选择目标类型；第2阶段为去除自然后其他参与者的完全信息博弈，即雷达和干扰根据自然选择的目标概率分布进行动态博弈。由文献[10]可知，上述过程体现的是一个二元零和博弈，等价于双方直接将未知目标可能的概率集合作为目标类型进行完全信息动态博弈，下面用目标概率集合对目标类型进行表示。

假设雷达方不清楚目标散射特征、干扰方未知雷达接收机端噪声，但双方可通过未知变量可能的先验分布对未知信息进行估计，其余信息双方已知。下面构建雷达与干扰Bayesian博弈模型，以概率集代替目标信息，采用注水法对信号进行优化设计。雷达和干扰Bayesian博弈模型可表示为：

G=〈P,T,A,θ,U〉

(6)

参与集：P={雷达,干扰机}表示博弈参与者。

类型集：T=Tr×Tj，其中，Tr={σ1，σ2，…，σI}表示探测目标可能具有的目标散射系数，Tj={n1，n2，…，nI}表示雷达接收端噪声功率。在此模型中，雷达接收机的局部噪声功率水平决定了雷达的类型，目标散射系数决定了目标的类型。

行动集：A=Ar×Aj，其中，Ar={S(f1)，S(f2)，…，S(fk)}为雷达行动策略，即雷达发射波形，Aj={J(f1)，J(f2)，…，J(fk)}为干扰机行动策略。

概率集：θ=θr×θj，其中，θr={Pσ1，Pσ2,…，PσI}表示不同类型的目标可能出现的概率集合，θj={Pn1,Pn2,…,PnI}表示雷达接收端不同等级的噪声概率。

效用集：U={Ur,Uj}，其中，Ur=max{SINR}为雷达效用函数，目的是最大化雷达发射波形在接收机端的SINR，Uj=min{SINR}为干扰机行动策略，旨在通过设计干扰信号，降低雷达接收SINR。

1.3 检测模型

根据统计判决理论，文章中讨论的雷达检测问题可定性为假设检验问题，解决该问题的基本方法为经典Neyman-Pearson(NP)定理[13]。根据NP定理，制导雷达对目标的检测问题可视为在2种假设中做出选择的二元假设检验问题：

其中：H0为零假设；H1为备选假设。根据NP准则建立NP检测器[4]，则制导雷达对目标检测概率PD为：

(7)

2 信号优化策略

2.1 无博弈的单边优化

假设制导雷达可根据环境与目标的先验知识，自适应改变发射波形[16]。在单边优化过程中，假定干扰方仅在信号频带W内以有限功率释放高斯白噪声干扰。以max{SINR}为雷达效用函数(简称为max策略)，雷达发射信号优化如下：

(8)

式中：PS与PJ为雷达与干扰信号能量限制。由于干扰波形功率谱在频带W内均匀分布，目标函数仅取决于|X(fk)|2。由式(8)可知，目标函数是关于|X(fk)|2的凸函数，功率约束为线性，因此可用拉格朗日乘子法求解式(8)，得:

L(|X(fk)|2,λ)=

(9)

对式(9) 取|X(fk)|2的导数并令其为零，得到最大化SINR的|X(fk)|2，利用注水定理重新分配频域能量:

|X(fk)|2=

(10)

同理，智能干扰机为降低雷达性能，尽可能减少雷达接收机端SINR，假设雷达信号频谱在带宽W内均匀分布，可根据min{SINR}效用函数(min策略)对干扰信号进行设计：

(11)

式(11)中目标函数为凹函数，J(fk)的功率约束是线性的，以此求得干扰优化波形为:

J(fk)=

(12)

2.2 获取信息不完全的二次注水优化策略

2.2.1 雷达策略

不完全信息条件下，假设雷达可获得杂波、噪声等先验信息，但不能准确估计目标类型，为了实现信号优化，需通过前期获得的先验知识估计目标类型。假设雷达端已知干扰方依据min策略对干扰信号进行设计，则雷达估计的干扰信号可表示为：

(13)

构建拉格朗日乘数方程得：

(14)

解得雷达估计的干扰波形为：

Jr(fk)=

(15)

由此可以将雷达信号优化策略表示为：

(16)

L(|X(fk)|2,λ2,λ3)=

(Scc(fk)|X(fk)|2+Snn(fk))

(17)

求解上述方程，得到经过二次注水法重新分配频域能量的雷达信号：

(18)

2.2.2 干扰策略

假设干扰机对雷达接收机端噪声没有准确信息，但其对我方雷达可能噪声功率水平有大致了解，因此可采用min策略对干扰信号进行优化：

(19)

式中：ni(fk)为干扰机估算的噪声功率谱；Pni代表ni(fk)为真实值的概率，构建拉格朗日乘数方程得：

(20)

解得干扰波形为：

(21)

最终，不完全信息条件下雷达和干扰之间博弈的信号策略表示为：

(22)

2.3 雷达和干扰迭代注水优化策略

假设雷达和干扰双方虽不清楚对手信息，但能够捕获对手波形，进行实时动态博弈，此时可得Bayesian博弈模型下雷达迭代注水算法，算法流程如表1所示。

表1 Bayesian模型中迭代注水法

依据式(7)中雷达波形优化准则，求解雷达最优波形，式(23)表示制导雷达和干扰机在迭代过程中优化策略。

(23)

由于目前在雷达领域Bayesian纳什均衡还未得到数学定义[17]，难以通过数学推导方式验证Bayesian纳什均衡点的存在性，本文直接通过仿真测试迭代注水方法是否收敛，验证制导雷达与干扰机Bayesian博弈中纳什均衡解的存在性。

3 仿真分析

3.1 固定功率性能分析

首先对等功率条件下制导雷达和干扰机不完全信息博弈展开分析，验证Bayesian模型中迭代注水算法是否收敛。图2中显示在不完全信息博弈中雷达接收机端SINR随迭代过程的收敛情况，可以看出雷达与干扰经历8次迭代后，SINR最终收敛于9.503 dB，证明在制导雷达与干扰Bayesian模型中存在着博弈纳什均衡解，通过迭代注水算法可实现雷达不完全信息博弈的最优策略。图3中展示不完全信息博弈中的纳什均衡现象。

图3 Bayesian博弈各策略的SINR收益

图2 Bayesian博弈中雷达SINR随迭代周期变化关系

图4 雷达和干扰在不同子频带中频率分配策略

3.2 变化功率性能分析

下面对不同功率下雷达波形性能展开分析。假设干扰机功率PJ=(10～30)dB，图5中显示了二次注水、迭代注水波形在不完全信息博弈过程中雷达功率分配策略随干扰功率变化情况。

图5 不同干扰下雷达功率分配策略

由图5(a)可知，在二次注水法中，随干扰功率上升，雷达会提高频带3、4中的功率分布，降低其余频带功率。由雷达对目标特性的估计值可见，频带3、4的目标冲激响应最为强烈，同时频带4的TCR要高于频带3，所以雷达会增加频带3、4的功率且频带4要高于频带3；在其余子频带内，功率降低顺序分别为频带1、2、5，这同在该频带的估计目标冲激响应值一致，表明在二次注水法中，雷达会依据所估计的目标特性同干扰进行博弈对抗。

观察图5(b)可知，在迭代注水法中，随干扰功率升高，雷达倾向于提高低TCR频带1、2、3中的功率，降低高TCR频带4、5的功率。这说明在迭代过程中，雷达更倾向于躲避干扰的影响，而非正面对抗。在雷达估计的目标特性中，频带3中目标冲激响应的占比要远高于实际，仅次于频带4，但干扰却在频带3内释放的干扰功率远低于频带4，所以雷达对频带3中的功率提升更为明显。

图6显示了Bayesian博弈中雷达对扩展目标的检测概率，可见在不完全信息条件下通过博弈理论优化的雷达波形仍可实现较高的性能提升，雷达对信息估计的准确度会影响提升效果。

图6 Bayesian博弈中雷达波形对目标检测概率

对比二次注水法和迭代注水法知，在干扰功率低于雷达时(PJ≤20 dBw)，经过动态博弈的迭代注水波形可进一步提升检测性能；当干扰功率高于雷达时(PJ>22 dBw)，虽然在博弈过程中雷达迭代注水方法可进一步针对干扰设计优化波形，但由于雷达对目标的估计并不等同于实际值，雷达方会对战场博弈形势产生一定的误判[20]，而干扰方却已知目标信息，导致雷达在博弈中处于下风，对比二次注水法，雷达检测性能并未提升，反而还有些许的下降。

综上，基于Bayesian博弈的二次注水及迭代注水波形设计方法可应用于提升不完全信息条件下的雷达目标检测性能，但对未知信息估计的准确程度极大地影响雷达探测性能。

4 结语

针对电子战中我方制导雷达和敌方干扰机不能获取对手完全信息的问题，本文研究了不完全信息条件下制导雷达与干扰机Bayesian博弈模型，利用目标可能出现的概率集合对未知目标进行表示，并以此为基础，将二次注水法及迭代注水法应用于Bayesian博弈模型。仿真表明所设计的波形优化算法在Bayesian博弈中具有收敛性，能够达到纳什均衡，对比线性调频信号，迭代注水信号及二次注水信号检测概率最高可分别提升15.41%，12.79%。证明了所设计波形优化方法在制导雷达与干扰不完全信息博弈中的可行性。