浅析曲线变换在函数图象变换中的应用策略

曹明宽

摘 要：高中数学中的曲线变换和函数图象变换，主要有平移、伸缩和对称变换。广义上的函数图象变换就是曲线的变换，但曲线变换的适用范围更广阔，不仅能使函数的图象变换更简单，判断函数的奇偶性，求函数的反函数，还能解决函数图象变换不能应用于曲线变换的弊端。

关键词：曲线变换;函数图象;图像变换

一、 引言

在近年的高考试题中，函数图象变换是高频考点，主要考查学生的数形结合能力与逻辑推理能力。函数图象的变换主要从三角函数图象的平移和伸缩变换开始，又引入了函数图象的对称变换和翻折变换。在解析几何中又引入了曲线的中心对称变换和轴对称变换，由于引入的时间节点不同，导致学生不能把函数图象变换与曲线变换完美地融合，造成了解题时的困惑。为了解决这一问题，文章主要从曲线变换入手，把曲线变换与函数图象变换融合起来，使曲线变换的规律能广泛应用于函数图象变换，同时也能解决解析几何中的变换问题。

二、 研究曲线变换与函数图象变换的意义

在学习函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质时，主要是学习函数图象的平移与伸缩变换，教材中的平移伸缩变换规律是针对函数y=f（x）而言的，而且仅限于解决三角函数的图象变换问题，并不能延伸应用到其他函数的图象变换。在学习圆锥曲线的对称变换后只是掌握了“把方程中的x换成-x方程不变，则曲线关于y对称，把方程中的y换成-y方程不变，则曲线关于x对称，把方程中的x，y分别换成-x，-y方程不变，则曲线关于坐标原点对称”，不能从本质上认清变换的实质，把知识融为一体，给解决变换问题带来困惑。

从方程的曲线和函数的图象看，函数的解析式y=f（x）就是曲线的方程，所以曲线的变换能完全适用于函数图象的变换，从函数概念看，曲线的方程不都是函数的解析式，所以函数图象的变换规律并不都适用于曲线的变换。如果把函数的解析式y=f（x）变形为y-f（x）=0，令F（x，y）=y-f（x），则函数的解析式就是方程F（x，y）=0。在函数图象变换的教学中引入曲线的变换，把曲线变换与函数的图象变换深度融合，就能从本质上让学生理解变换的实质，提高数学的解题能力。

三、 曲线变换的规律

（一）曲线在水平方向上的平移变换

设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任一点，则F（x′，y′）=0，把曲线F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）个单位后，点（x′，y′）对应的点为（x，y），则x′=x-a，y=y′，所以把曲线F（x，y）=0水平向右平移a（a>0）个单位后所得曲线的方程为F（x-a，y）=0，同理可得，向左平移a（a>0）个单位后得到的曲线方程为F（x+a，y）=0。

（二）曲线在竖直方向上的平移变换

设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任意一点（x′，y′），把曲线竖直向上平移b（b>0）个单位后，点（x′，y′）的对应点为（x，y），则x′=x，y′=y-b，又因为点（x′，y′）在曲线F（x，y）=0上，所以把曲线竖直向上平移b（b>0）个单位后所得的曲线方程为F（x，y-b）=0，同理可得，曲线F（x，y）=0沿竖直向下的方向平移b（b>0）个单位后得到的曲线的方程为F（x，y+b）=0。

（三）曲线在水平方向上的伸缩变换

设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任一点，则F（x′，y′）=0，把曲线F（x，y）=0上每一點的横坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），纵坐标不变，设点（x′，y′）在所得曲线上的对应点为（x，y），则ωx′=x，又因为纵坐标不变，所以y=y′，所以把曲线F（x，y）=0上的每一点的横坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），纵坐标不变，得到的曲线的方程为F1ωx，y=0。

（四）曲线在竖直方向上的伸缩变换

设点（x′，y′）是曲线F（x，y）=0上的任一点，则F（x′，y′）=0，把曲线F（x，y）=0上每一点的纵坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），横坐标不变，设点（x′，y′）在变换后所得曲线上的对应点为（x，y），则ωy′=y，又因为横坐标不变，所以x=x′，所以把曲线F（x，y）=0上的每一点的纵坐标扩大ω（ω>1）倍或缩小ω（0<ω<1），横坐标不变，得到的曲线的方程为Fx，1ωy=0。

四、 曲线变换的应用

曲线变换在数学中的应用非常广泛，主要有平移伸缩变换和对称变换的应用。除此之外，曲线的变换在解析几何中的应用也很多，延伸探究就会发现，曲线的变换还和函数的奇偶性及函数的反函数有关，可以用曲线变换判断函数奇偶性，求函数的反函数，下面来谈谈曲线变换的应用。

（一）曲线变换在函数图象变换中的应用

曲线变换在函数图象变换中，主要有平移与伸缩变换，对应的题型主要有三种，一是已知函数与变换求变换后的函数，二是已知变换和变换后的函数，求变换前的函数，三是知道变换前和变换后的函数，求变换。

例1 把函数y=sin2x的图象沿水平方向向右平移π3个单位后，竖直向上平移3个单位，再把所得图象上每一点的横坐标扩大2倍，纵坐标缩小12，求变换后所得图象对应的函数的解析式。

解析：根据曲线变换的规律，经过水平和竖直方向上的平移变换后，只需把函数y=sin2x中的x和y分别换成x+π3和y-3就得到y-3=sin2x-π3，再经过水平和竖直方向上的伸缩变后，只需把y-3=sin2x-π3中的x和y分别换成12x和2y就得到2y-3=sin212x-π3，化简得所求函数的解析式为y=12sinx-2π3+32。

例2 把函数y=f（x）图象上每一个点的纵坐标扩大3倍，横坐标不变，再向上平移2个单位就得到函数y=x2的图象，求函数y=f（x）的解析式。